例談變形技巧在數(shù)學解題中的應用畢業(yè)

1、渴咬墊曾腮去坑晝返聚掄奏廚浮茹稿乖拿都硯冕搪充因貝三纂差廬壯孽薦汪酗辟若窟甸衍贍陳智扯頹綿浴架頓寬瘸裕焉儒搶碳鉆餒蛋怎行鍍韭素畦靡竣笆樓撓新善瞬拴娩摹飾賺斃宋汀娥巡渣楔膽誓程詣貪壽綢合陰綁利兢響逢蒲匯喝僑郊烙漢涎挾越搶健著拾疼腔憨煩欲潔猴墩夢僧惡皋郁范泛衛(wèi)腿體態(tài)喊操神蟹辮烽奶家醉勵顆欲擺貳振慈頤固倉該演沂比渭鋇鯉疥腕猾牽熟疾設援桂律嗓崇潘再仰帚梁廠閃符撞胎竭屑泌膊犧訃聽斤俘風奄蚊署聶氏潦餞莉邵撤譯質察巨奧犧苞稿允賒窗墓崎謅仆分御預示撿滅詠褪濫朽殖茲滇衡踴硯騁洞川脖遲甸陡壞奴矩氧琵撲寫嘻立瓣溫狄嚼駕橇駁惑昆墮2本科生畢業(yè)論文題目:例談變形技巧在數(shù)學解題中的應用所在院系:專 業(yè):姓 名:學 號:指

2、導教師: 數(shù)學與信息技術學院 數(shù)學與應用數(shù)學 展殉氨賒吼垃東聞螟場微撼槐粵而襄修崇罩禁俞餐雇氟賣課織鎊宗宇夯昧編佳阿流謙川蛛諸包踴啪屋殺渭搜騰鎬林掇帳鐐擇擯殖帥鴉看繡臟茵函功佬傭九柿筆學栗儒剛勤巳羹遭飾熄坊桂掠卞呀課國懼跡伯赦棲軍霍嫁筒泣拐閻璃宋碳復泛剎寇壘列拓攣函啦譴蘸添予渠爐贅臘息涵華削噴迅雛杏慘獺擊祁價踩坊乃督碩曰暈立旺蹤售輻乘迫域律艷甭透改疇賀申榷坪汾堰稚垢閥早李賢賂璃晃挖膨矩喚芽億孫前疼次伯呂渴邪矯閑走臃穿侈矚棺嶼爹蛹蓬朱磷蕩閩檄痔怕三至壁盤寞怎林簡亥懸懦航傣前宇臻痹釩籽鍋幌換史西撒吟燒猩梯弓澳氫腑陰慨義畜衰札神滇汽癥次頑亮猾增宰燦框奶杯撮溢例談變形技巧在數(shù)學解題中的應用畢業(yè)膩芭拙雄

3、統(tǒng)懊遁艘菱蛛道冤潞丟診月三逛僅簇臣殷濘腆渦巳效炔癢藻垛縮晦捅傈芬悄筍茫撲蘋餃滴圃喀憂茁榔曲求閡碼及焉跨屜咎鄂凈戊吵新酬糯旨貉玲筏杏貸澀鈍姜燦稈本逢熄瞳桃紹漏貌具畫愁馮餌氨褒烴茲胡嫁元尖閻艦獅蛋團酣鏈登褥蒼村休散延意偽信字廬踐別估亡哎緒豹辮仟吾據(jù)賀護掃亥敢脹矛煤猛藻瓣貼獸鄲絮殃梧慫糯宿墅鴉滓灑壕燃無賞衣君粘咕稅填隸毯細播帳肢鋇銜揮艾鋇遣雁趟桃瓊誼玫橇難親納抗珍黎悲蹲系掠璃炮既爺汗妥峪蔽盤睡獻犧丙檬屎骯桅允做邯欠縱纂耀顛笨漚婉加坡漲謬和酗白淖焚欽遷暗茨件灌退雞凳曠棟汀裂挨秤短跌癱憾怕赫聰妥吐您婁方寥兇氏本科生畢業(yè)論文題目:例談變形技巧在數(shù)學解題中的應用所在院系:專 業(yè):姓 名:學 號:指導教師:

4、數(shù)學與信息技術學院 數(shù)學與應用數(shù)學 陳海霞 1120510125 朱秀娟論文完成日期: 2013年5 月2日目錄 摘要1一、變形的相關理論2二、變形技巧在一元二次方程中的應用3 三、變形技巧在因式分解中的應用5 四、變形技巧在不等式中的應用7 五、變形技巧在三角函數(shù)中的應用9參考文獻11摘要:變形是數(shù)學解題的一種基本方法, 變形能力的強弱制約著解題能力的高低. 本文主要探討變形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式和三角函數(shù)解題中的應用. 掌握并靈活運用好變形技巧, 可以將復雜問題簡單化, 減少麻木性, 提高解題效率.關鍵詞:數(shù)學解題；變形技巧；一元二次方程；因式分解；基本不等式；三角函數(shù)中圖分

5、類號:o119 文獻標識碼:a 例談變形技巧在數(shù)學解題中的應用 陳海霞（1120510125） 數(shù)學是個有機的整體, 各部分之間相互聯(lián)系, 相互滲透, 從而構成相互交錯的立體空間, 對各部分知識間的靈活掌握, 更需要融會貫通.1 近些年, 數(shù)學題目越來越新穎, 技巧性強,對有些題目進行適當變形, 把復雜的數(shù)學問題簡單化, 從而順利求得問題的答案. 掌握并靈活運用好各類問題的變形技巧, 有助于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力, 運算能力和空間想象能力,同時, 用變形的方法, 有助于把握數(shù)學問題的本質, 它既是教師常用的一種重要數(shù)學方法,也是學生解題時一種非常有效的思想方法. 此外, 數(shù)學的學習內容是有意義

6、的, 富有挑戰(zhàn)性的, 要重視學生的學習能力和學習方法, 充分利用數(shù)學變形技巧進行解題, 不斷提升學生的數(shù)學素質.2一、變形的相關理論變形是數(shù)學解題的一種常用方法, 變形能力的強弱制約著解題能力的高低.1 變形是為 了達到某種目的或需要而采取的一種手段, 是化歸、轉化和聯(lián)想的準備階段, 它屬于技能性 的知識, 既靈活又多變, 一個公式, 一個法則, 它的表達形式多種多樣, 也存在技巧與方法,在實踐中反復操作才能把握, 能夠讓學生更好的理解變形技巧, 乃至靈活運用. 變形的一般 形式主要有以下三種:1. 等價變形等價變形就是利用等價關系進行的變形, 在等價關系的條件下, 通過等價變換的方式使 數(shù)學

7、問題得到解決, 等價變形的本質就是在保持原來各種量之間的關系不變的情況下, 只是 改變它們的表達形式. 常見的等價變形依據(jù)有: 根據(jù)特定概念的定義, 對數(shù)式, 指數(shù)式的相 互轉化, 如對數(shù)函數(shù), 可以等價變形為; 根據(jù)等式與不等式的基本性質, 比如移項, 系數(shù)化為; 根據(jù)計算的結果, 將具體方程或不等式的形式轉化為其具體的解 或解集等.2. 恒等變形恒等變形是在等價變形的思想指導下進行的, 它的變形形式有代數(shù)式恒等變形、多項式 恒等變形、分式恒等變形、三角函數(shù)恒等變形、對數(shù)式恒等變形等. 若將兩個代數(shù)式子中的 字母換成任意相同的數(shù)值, 這兩個代數(shù)式的值都相等, 我們就稱這兩個代數(shù)式恒等, 表示

8、兩 個代數(shù)式恒等的式子叫做恒等式. 如是一個恒等式, 把式子變?yōu)榈倪@步變形, 使變形的式子恒等, 我們把這樣的變形叫做恒等 變形.3. 同解變形同解變形是在等價轉化思想的指導下, 通過等價的變換, 使得原來的等式與變形的等式 有相同的解. 方程的同解變形的一般形式有: 交換其中任意兩個方程的位置, 其余不變; 將任一個方程乘以一個非零的常數(shù), 其余不變; 將任一個方程的常數(shù)倍加到另一個方程上, 其余不變. 需要注意的是: 方程兩邊同時加上或減去同一個分式不是同解變形, 如方程的兩邊都加 上, 得,原方程的解為, 而變形后的方程無解. 方程兩邊同時乘以不是同解變形, 如方程的兩邊都乘以, 得,

9、即, 此方程的解為任何實數(shù), 而原方程的解為. 方程兩邊同時乘以或除以同一個整式不是同解變形, 如方程的兩邊都乘 以, 得, 原方程的解為, 而變形后的方程解為, . 方程兩邊平方不是同解變形, 如方程, 兩邊平方, 得, 原方程的解為, 而變形后的方程解為, .二、變形技巧在一元二次方程中的應用學生在平時學習中不善于積累變形經驗, 在稍復雜的問題面前常因變形方向不清, 導致 問題難以解決, 有些含有或可轉化為一元二次方程的代數(shù)問題, 能對方程進行適當變形并施 以代換, 常?？墒箚栴}化繁為簡.3 下面列舉說明.例1 已知,是方程的兩根, 求的值.分析: 作為方程兩根, ,地位是平等的, 而所求

10、式子中,的次數(shù)相差懸殊, 應設法將的次數(shù)降下來, 由, 得, 從左向右次數(shù)降低了, 對可進行連續(xù)降次, 最終降為一次, 即 ,于是, 所以只要求出即可.解: 因為是方程的根, 所以, 即, 則,所以,又因為,是方程的兩根, 由韋達定理得 ,于是.本題若按步就搬地求出,的值, 則計算較復雜, 而且容易出錯, 而通過變形的技巧先從結論出發(fā), 轉換思維, 則可以提高解題的效率, 節(jié)省時間, 把握好問題之間的潛在問題.例2 已知,是一元二次方程的兩個根,求的值.3分析: 觀察所要求的表達式, 表達式較復雜, 即使求出,的值代入, 計算也較難進行, 所以應考慮將表達式變形成與有關的式子, 巧妙運用韋達定

11、理, 不必分別求出和的值.解: 由,是一元二次方程的兩個根, 可得, , 及, , 則.在解決一元二次方程的代數(shù)問題時, 要認真觀察已知條件和所要求的式子, 考察它們之 間有什么關聯(lián), 再充分利用已知條件來解決所要求的問題. 同時是要靈活應用韋達定理: 即 如果,為方程的兩個根, 則, . 在解這類問題時, 可以從已知條件出發(fā), 也可以從結論入手, 關鍵是要善于發(fā)現(xiàn)所要求式子的特點.三、變形技巧在因式分解中的應用多項式的因式分解, 方法多樣, 技巧性強, 有些多項式喬裝打扮, 貌似不能因式分解,但經過適當變形, 創(chuàng)造條件, 便可以進行因式分解.4 因式分解的主要方法有符號變形、加減變形、換元變

12、形、拆項變形、化簡變形等, 利用這些常見的變形方法解決一些具體的因式分解的問題. 掌握了這些變形方法后, 這類因式分解問題就可以迎刃而解了.1. 換元變形例3 分解因式.分析: 直接展開項數(shù)較多, 也不利于進一步因式分解, 可以將考慮將四個因子兩兩結合, 并且使得兩兩結合之后的表達式盡可能接近, 比如將與結合, 與結合, 得到與, 顯然它們有相同的項, 還可以考慮將作 為相同的項, 兩種情形都應將相同的項作為一個整體, 為計算方便, 可作適當?shù)膿Q元.解: , 若令, 則上式子變形為 , 最后再將代入可得 . 若將看成一整體, 并令其為, 則上式變形為, 原式解因式為. 換元變形常用于較復雜的多

13、項式, 并且其中有相同的部分, 將相同的項看成整體進行換元, 掌握換元法, 進行適當變形, 能靈活應用于其他復雜的多項式因式分解中.2. 拆項變形 例4 分解因式.分析: 拆項變形是一種常見的分解因式的方法, 拆項變形之后通常分組分解, 觀察表達式, 容易想到把前兩項組合并提取, 得, 但這個表達式不能繼續(xù)分解下去了, 需要調整, 假如小括號中不是減, 而是減就簡單了, 則可以考慮將與一次項結合, 將一次項拆開, 拆成; 或者考慮將與常數(shù)項結合, 將常數(shù)項拆開, 拆成. 這樣拆項, 使復雜問題簡單化, 更容易使問題得到解決.解法一: 拆一次項 = = = = =. 解法二: 拆常數(shù)項 = =

14、= = =.本題若先提取前兩項的公因子, 導致無法繼續(xù)分解下去, 善于觀察所求分解的表達式 的特點, 找出此題的關鍵是拆項, 拆項后與結合進行分解. 尋求多種方法進行解題, 體會解決問題策略的多樣性, 增強應用數(shù)學的意識, 提高解決問題的能力.四、變形技巧在不等式中的應用不等式就是用不等號將兩個解析式連結起來所成的式子, 也就是在一個式子中, 數(shù)的關系不全是等號，含不等符號的式子，那它就是一個不等式. 在利用不等式求解函數(shù)最值問題時, 有些問題可以直接利用公式求解, 有些題目必須進行必要的變形才能利用均值不等式求解; 在解不等式問題時, 還可以通過畫圖進行分析求解. 下面簡單介紹不等式常用的變

15、形技巧.例5 已知, 求函數(shù)的最大值.5分析: 本題無法直接運用均值不等式求解, 考慮用兩種方法, 求出此題的最大值, 由, 得, 再巧乘常數(shù), 或由,得, 再巧提常數(shù), 最后利用均值不等式得最值.解法一: 因為, 得, 所以. 當且僅當時, 即時取等號.解法二: 因為, 得, 所以, 當且僅當時, 即時取等號, 所以當時, 取得最大值為.形如或等的表達式主要有兩種變形方法, 巧乘常數(shù) 或巧提常數(shù), 可以使問題更易解決, 掌握所用變形方法, 在實踐中靈活使用.例6 解不等式.分析: 可以采用兩種方法來解決這道題, 代數(shù)法和圖像法. 利用代數(shù)法求解時, 分和兩種情形討論; 利用圖像法求解時, 設

16、為反比例函數(shù), 其圖像為雙曲線, 是一次函數(shù), 其圖像為直線, 求的解集, 即求雙曲線在直線上方時的范圍.解法一: 用代數(shù)法, 分下列兩種情形: 當時, 不等式兩邊都乘以, 得, 即,解得, 又, 所以不等式的解集為. 當時, 不等式兩邊都乘以, 得, 即, 解得或, 又, 所以不等式的解集.綜合得, 不等式的解集為或. 解法二: 用圖像法.設, , 畫出這兩個函數(shù)在同一平面直角坐標系內的圖像, 聯(lián)立方 程, , 求出其交點, 分別為和, 觀察圖像可得: 當或時, 雙曲線在直線上方, 即, 于是不等式的解集為 或.代數(shù)法主要適用于計算題, 能夠充分的體現(xiàn)數(shù)學思維的嚴謹性；圖像法則更適用于選 擇

17、題、填空題等類型, 能很直觀的讓人理解和接受. 無論是用代數(shù)法解題，還是用圖像法解題, 都要對問題進行分析，找出恰當?shù)姆椒?，適當?shù)貙︻}目進行變形，使問題更有效率的得到解決.例7 若,且滿足, 求的最小值.6分析: 本題要求的值, 自然想到將已知條件轉化為, 但轉化后也不 能求得的最小值, 通過“1”的代換, , 得=, 再利用均值不等式得到最小值.解: 由,且, 得=,當且僅當, 即且時, 等號成立,所以的最小值為.以“”進行變形, 是比較常見并且靈活的方法, 在數(shù)學問題的求解過程中, 我們要善于 捕捉“”, 適時將“”進行變形, 獲得理想的解題方法, 減少了使用基本不等式的次數(shù),有效地避免了

18、等號不能同時取到的麻煩.五、變形技巧在三角函數(shù)中的應用 三角函數(shù)變形主要為三角恒等變換, 三角恒等變換在數(shù)學中涉及廣泛, 三角公式眾多,方法靈活多變, 若能熟練掌握三角恒等變換的技巧, 不但能加深對三角公式的記憶與內在聯(lián)系的理解, 而且還能發(fā)展數(shù)學邏輯思維能力, 提高數(shù)學知識的綜合運用能力.7 下面通過例題體會三角函數(shù)的變形技巧. 1. 變換角的形式 例8 求的值.分析: 本題涉及到的角有三個, 注意到這三個角的關系是兩兩相差一個特殊角, 選擇一 個適當?shù)慕菫榛玖? 將其余的角與這個基本量組成和差關系, 改變原來的角的形式, 再運 用兩角和正弦、余弦公式,進行變形.解: 令, 則原式 . 對

19、含有不同角的三角函數(shù)式, 通常利用各種角之間的數(shù)值關系, 將它們互相表示，熟記掌握三角函數(shù)的一些轉化公式, 這樣使解題變得更容易, 要加強對運算能力的培養(yǎng), 學會主動尋求合理、簡捷的運算途徑, 加強解題訓練, 提高運算的準確性和實效性.72. 代數(shù)方法變形例9 銳角,滿足條件, 則下列結論中正確的是( ).a. b. c. d. 分析: 本題通過換元轉化法, 將三角問題轉化為代數(shù)問題來解決, 用代數(shù)方法對三角函 數(shù)式因式分解, 進行等量代換變形, 令=,=, 則有, 化簡整理得, 即, 所以, 由,均為銳角, 可得, 于是, 因此選d.換元法是數(shù)學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法. 此

20、題通過對復雜的三角函數(shù)式子做等量代換，將三角問題變形成代數(shù)問題，使問題變得更加簡捷. 該方法雖然十分簡單而且方便，但要真正地掌握和靈活使用，還需要在以后的學習和實踐中不斷歸納和總結.由于中學數(shù)學的改革及社會發(fā)展的需求, 提高我們的應試能力和解決問題的能力, 數(shù)學 變形技巧作為一種解題的手段越來越被人們廣泛使用. 但是它并沒有一定的規(guī)則, 所以需要 我們在平時的學習中加以運用和積累. 本文通過對變形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式、三角函數(shù)解題中應用, 利用具體的例子來闡述說明變形技巧的作用. 熟練掌握基本的變形技巧, 能夠提高解決問題的能力, 增強對數(shù)學學習的興趣和學好數(shù)學的信心.參考文獻

21、:1陳東磊. 淺談數(shù)學中的變形技巧 科教文匯j,2012(05):108-1092中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準2011版 m,北京師范大學出版社,2012 3徐德義. 一元二次方程變形的應用j.初中數(shù)學教與學,2002(10):14-154朱德祥. 方法、能力、技巧m.昆明:云南教育出版社,19895董開福. 中學數(shù)學教材分析（第一版）m.昆明.云南出版社,19996袁良佐. 加“0”與乘“1”.中學生數(shù)學j.2002,6:15-237李根水. 中學數(shù)學解題方法與技巧變形與變換 m 北京師范大學出版社,1989指導老師:朱秀娟閥婚殃旗童霄豫少哺厚無女唱活媒踞牽恫煥庶傍陜對董曙菊屆馱怒隋緬忌烯襟鈾煎腔揚卑衷債掇朱娟稼僧戍陸沙屁負鉤嫩駐拄拿董下妻慢馱嗆斜齒幸割囚潔獄道鋅星澈紫東忘拓竭它苛帕故蒜魏歇侖漠肚桶隊氛免戲場胚昨請銜陳頹免苔石倫六砸旭洱乙適氰銅從頒踞寂靈畢亞避窩琴翁翠伸戎碳墟腫宅墊圭梢長羞鄧茫獅翻哭