向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義教案

1、 2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義教案 一、 教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：理解向量加法的含義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個(gè)向量的和；掌握向量加法的交換律與結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量運(yùn)算能力目標(biāo)：經(jīng)歷向量加法概念、法則的建構(gòu)過程，感受和體會(huì)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)概念的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力情感目標(biāo)：經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)來描述和刻畫現(xiàn)實(shí)世界的過程，體驗(yàn)探索的樂趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì)二、 重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：向量加法的定義與三角形法則的概念建構(gòu)；以及利用法則作兩個(gè)向量的和向量 難點(diǎn)：理解向量的加法法則及其幾何意義三、 教法學(xué)法教法運(yùn)用

2、了“問題情境教學(xué)法”、“啟發(fā)式教學(xué)法”和“多媒體輔助教學(xué)法” 學(xué)法采用以“小組合作、自主探究”為主要方式的自主學(xué)習(xí)模式 四、 教學(xué)過程新課程理念下的教學(xué)過程是一個(gè)內(nèi)容活化、創(chuàng)生的過程，是一個(gè)學(xué)生思考、體驗(yàn)的過程，更是一個(gè)師生互動(dòng)、發(fā)展的過程基于此，我設(shè)定了5個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：一、 創(chuàng)設(shè)情境 引入課題師：在前一節(jié)課中我們學(xué)習(xí)了一個(gè)新的量向量，今天就讓我們共同來探究向量的加法運(yùn)算，首先，請看課件（出示）點(diǎn)評：無論是臺球還是飛機(jī)，從最初的位置到達(dá)最終的位置都是經(jīng)歷了兩次位移，如果從作用效果角度來看，這兩次位移的作用效果就等于從起點(diǎn)到終點(diǎn)的一次位移，在物理上，我們就把這次位移稱作是之前兩次位移之和 【問題1

3、】位移求和時(shí)，兩次位移的位置關(guān)系是什么？如何作出它們的和位移？2 / 17兩次位移首尾相連，其和位移是由起點(diǎn)指向終點(diǎn)學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生討論，自主探究點(diǎn)評：位移是個(gè)物理量，如果拋開它的物理屬性，它正是我們研究的向量那么，受到位移求和的啟發(fā)，能否找到求解向量之和的方法呢？二、 實(shí)踐探究 總結(jié)規(guī)律【問題2】如圖所示，對于向量和如何求解它們的和呢？活動(dòng)設(shè)計(jì)：小組探究、代表匯報(bào)（1）.由他們自己得出問題的答案：“在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，平移使其起點(diǎn)為點(diǎn)O，平移使其起點(diǎn)與向量的終點(diǎn)重合，再連接向量的起點(diǎn)與向量的終點(diǎn)”（2）.鼓勵(lì)學(xué)生自己給出定義： 加法的定義：已知向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，則向量叫做向量的和記

4、作：即 （3）.向量加法的法則：和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則點(diǎn)評：加法的定義其實(shí)是用數(shù)學(xué)的作圖語言來刻畫的，這種方法經(jīng)常出現(xiàn)在幾何 中，這一點(diǎn)也更好的體現(xiàn)了向量加法具有的幾何意義和向量數(shù)形結(jié)合的特征“觀察小猴過河的動(dòng)畫短片”【問題3】平行四邊形法則有何特點(diǎn)？ 是平移兩個(gè)向量至共起點(diǎn) 【問題4】想想你遇到過一些可以用向量求和來解釋生活現(xiàn)象嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生以小組為單位討論，小組匯報(bào)比比誰的例子最多，最貼切三、 類比聯(lián)想 探究性質(zhì) 【問題5】請類比實(shí)數(shù)加法的性質(zhì)完成表格，并通過畫圖的方法驗(yàn)證你的結(jié)論實(shí)數(shù)的加法向量的加法性質(zhì)四、 數(shù)學(xué)運(yùn)用 深化認(rèn)識例1：如圖，已知、，作出a

5、bbaab 設(shè)計(jì)意圖學(xué)生會(huì)看到三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的適用性 ABCED例2：根據(jù)圖示填空（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） 設(shè)計(jì)意圖在訓(xùn)練三角形法則的同時(shí)，使同學(xué)們注意到三角形法則推廣到n個(gè)向量相加的形式即 向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義一.教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能: 通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，理解其幾何意義，理解向量共線定理。熟練運(yùn)用定義、運(yùn)算律進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，能夠運(yùn)用定理解決向量共線、三點(diǎn)共線、直線平行等問題。2.過程與方法:理解掌握向量共線定理及其證明過程，會(huì)根據(jù)向量共線定理判斷兩個(gè)向量是否共線。3.態(tài)度情感與價(jià)值觀：通過由實(shí)例到概念

6、，由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生自主探究知識形成的過程的能力，合作釋疑過程中合作交流的能力。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情感，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，勇于創(chuàng)新的精神。二.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律,理解向量共線定理。難點(diǎn)：向量共線定理的探究及其應(yīng)用。三.教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧問題1：向量加法的運(yùn)算法則？問題2：向量減法的運(yùn)算法則？ （二）新課講解1.向量數(shù)量積的定義【探究1】已知非零向量，作出和，你能說出他們的幾何意義嗎？問題1：相加后，和的長度和方向有什么變化？問題2：這些變化與哪些因素有關(guān)？一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記

7、作： ，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）（2）當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反。由（1）可知，當(dāng)或時(shí)，練2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律【探究2】問題一：求作向量和(為非零向量)，并進(jìn)行比較。問題二：已知向量、，求作向量和，并進(jìn)行比較。類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律得向量數(shù)乘的運(yùn)算律：設(shè)、為任意向量，、為任意實(shí)數(shù)，則有：結(jié)合律： 第一分配律：第二分配律： 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線形運(yùn)算。對于任意向量、及任意實(shí)數(shù)、,恒有。例5：計(jì)算(口答) (1) (2) (3) 3、向量共線定理【探究3】問題1：如果 (), 那么，向量與是否共線？問題2: 與非零向量共線， 那么，

8、？思考：1. 為什么要是非零向量？ 2. 可以是零向量嗎？向量共線定理 ： 向量與非零向量共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 例6.已知任意兩非零向量、，試作, ，。你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？CEABD【變式練習(xí)】如圖，已知、，試判斷與是否共線? 思考：在本題中，若B、C分別是AD、AE的三等分點(diǎn)，你能否利用向量關(guān)系來證明BCDE呢？總結(jié): 證明 向量共線； 證明 三點(diǎn)共線: 兩向量共線且有一個(gè)公共點(diǎn)若，即與共線且有一個(gè)公共點(diǎn)B，則A、B、C三點(diǎn)共線；直線AB直線CD。 證明 兩直線平行: AB、CD 不重合空間向量立體幾何知識點(diǎn)集錦一、空間向量的加法和減法：求兩個(gè)向量差的

9、運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則即：在空間任取一點(diǎn)，作，則求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則二、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量，記為的長度是的長度的倍三、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線四、向量共線充要條件：對于空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使五、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量六、向量共面定理：空間一

10、點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，共面，則七、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，則稱為向量，的夾角，記作兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：八、對于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作九、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作即零向量與任何向量的數(shù)量積為十、等于的長度與在的方向上的投影的乘積十一、若，為非零向量，為單位向量，則有；，；十二、空間向量基本定理：若三個(gè)向量，不共面，則對空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得十三、若三個(gè)向量，不共面，則所有空間向量組成的集合是這個(gè)集合可看作是由向量，生成的，稱為空間的一個(gè)基底，稱為基向量空間任意三個(gè)不共面的向量

11、都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底十四、設(shè)，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，以，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系則對于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量存在有序?qū)崝?shù)組，使得把，稱作向量在單位正交基底，下的坐標(biāo)，記作此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)十五、設(shè)，則若、為非零向量，則若，則，則十六、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點(diǎn)十七、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置十八、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量十九、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，則，二十、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則，二十一、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，則，二十二、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，其夾角為，則有二十三、設(shè)直線的方向向