八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 13.5 逆命題與逆定理 13.5.3 角平分線教案1 新版華東師大版

1、13.5.3角平分線【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)與技能：1、掌握角平分線的性質(zhì)定理及判定定理，并能用邏輯推理的方法證明；2、知道三角形內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn)；3、能用角平分線的有關(guān)定理去證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等.二、過程與方法：通過閱讀，動(dòng)手證明，在理解、掌握兩個(gè)定理和一個(gè)事實(shí)，積累證明依據(jù)的同時(shí)，掌握用邏輯推理方法證明的格式，經(jīng)歷小組合作討論，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的能力，發(fā)展邏輯思維能力和表達(dá)能力.三、情感、態(tài)度、價(jià)值觀：1、通過本課的教學(xué)活動(dòng)，再次感受數(shù)學(xué)中證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及結(jié)論的確定性.2、在獨(dú)立思考和獨(dú)立完成一個(gè)定理和一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)的證明的基礎(chǔ)上，積極參與討論交流，敢于發(fā)表自

2、己的觀點(diǎn)，并尊重與理解他人的見解，在交流中獲益.3、體驗(yàn)利用手持式圖形計(jì)算設(shè)備充當(dāng)數(shù)學(xué)認(rèn)知工具的樂趣.【教材分析】一、地位和作用：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到以直觀感知操作來確認(rèn)獲得結(jié)論的方法的局限性和利用邏輯推理進(jìn)行證明的必要性，為進(jìn)一步學(xué)好邏輯推理打下基礎(chǔ).二、教學(xué)重點(diǎn)：角平分線性質(zhì)定理的分析與證明.三、教學(xué)難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理、判定定理及“三角形三條角平分線交于一點(diǎn)”的證明過程的表達(dá).【教學(xué)思路與教學(xué)設(shè)想】先讓學(xué)生回顧初一下通過動(dòng)手操作觀察得出的角平分線這一性質(zhì)，再利用手持式圖形計(jì)算設(shè)備讓學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)這一性質(zhì)定理，然后引導(dǎo)學(xué)生用邏輯推理的方法加以證明.通過對(duì)“到一個(gè)角的兩邊距離相等

3、的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”這個(gè)定理的證明，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握推理論證的方法，學(xué)會(huì)由公理出發(fā)證明有關(guān)的定理，解決一些簡單的邏輯推理問題.本節(jié)課主要培養(yǎng)學(xué)生自主探索、合作交流、解決問題的能力，使學(xué)生養(yǎng)成言之有理的正確的思維習(xí)慣.【學(xué)法指導(dǎo)】以學(xué)生歸納、分析、合作交流為主，教師給予點(diǎn)撥、指導(dǎo)、總結(jié).【學(xué)習(xí)者特征分析】學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：在本章前面幾節(jié)課中，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了角平分線，學(xué)習(xí)了三角形全等的判定，懂得作已知角的平分線、如何過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線，為接下來的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)和技能基礎(chǔ).學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了利用數(shù)學(xué)畫板探索驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的活動(dòng)，解決了一些簡單的現(xiàn)實(shí)問

4、題，獲得了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)；同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力.【教學(xué)媒體】電腦，多媒體課件、數(shù)碼學(xué)習(xí)機(jī)、數(shù)學(xué)畫板軟件等.【教學(xué)過程】（一）情境引入，復(fù)習(xí)舊知，明確目標(biāo)教師活動(dòng)：通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道往往性質(zhì)定理與其相應(yīng)的判定定理是互為逆定理，這節(jié)課我們將探究角平分線的有關(guān)定理內(nèi)容.同學(xué)們回憶一下，角平分線有什么性質(zhì)呢？這條性質(zhì)是怎樣得到的呢？過去我們?cè)隍?yàn)證這個(gè)定理的正確性時(shí)是在半透明紙上畫aob及角平分線oc，點(diǎn)p是oc上任意一點(diǎn)，pdoa，peob，垂足分別為點(diǎn)d和點(diǎn)e.沿著射線oc對(duì)折，發(fā)現(xiàn)pd和p

5、e完全重合，即pdpe，由此，我們得到了角平分線的性質(zhì).其實(shí)這種驗(yàn)證方法是不嚴(yán)密的，下面我們用邏輯推理的方法來證明這一性質(zhì).設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生積極思考，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，為學(xué)生接受新知做好鋪墊. （二）動(dòng)手操作，合作探究，發(fā)現(xiàn)新知教師活動(dòng)：1、提出第一個(gè)作圖任務(wù).2、通過屏幕提示作圖步驟.3、引導(dǎo)學(xué)生觀察得到：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.4、引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證、證明.學(xué)生活動(dòng)：動(dòng)手操作數(shù)學(xué)畫板，驗(yàn)證并表達(dá)結(jié)論，試寫出證明過程.已知：oc是aob平分線，點(diǎn)p是oc上任意一點(diǎn)，pdoa，peob，點(diǎn)d、e為垂足.求證：pdpe.分析觀察圖形發(fā)現(xiàn)pd、pe分別落在opd與ope中，要

6、證明pd=pe，只要證明opdope.由已知：oc是aob平分線可得aocboc，由pdoa，peob可得odpoep90º，又因?yàn)閛p為公共邊可得三角形全等.證明： oc是aob平分線 aocboc pdoa， peob odpoep90º在opd和ope中 opdope pdpe角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)畫板作為認(rèn)知工具，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證的過程，發(fā)現(xiàn)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等，并通過動(dòng)畫，讓學(xué)生直觀得到用推理方法證明只需證明兩個(gè)三角形全等；根據(jù)學(xué)生的技術(shù)熟練程度，適當(dāng)提供操作幫助；小組合作學(xué)習(xí)，所有問題都需小

7、組成員獨(dú)立思考得出結(jié)論性內(nèi)容并書寫清晰，然后小組共同探索討論最后達(dá)成一致意見.作圖過程如下：1、利用角的工具選擇“角平分線”做出abc（順時(shí)針方向新建點(diǎn)a，b，c）2、在角平分線上新建點(diǎn)d，利用點(diǎn)和線工具在屏幕上過點(diǎn)d分別作出角兩邊的垂線，交點(diǎn)分別為點(diǎn)e、f. 3、在屬性中選擇“隱藏”工具，隱藏垂線b、c，然后利用點(diǎn)和線工具作線段de、df.4、利用測量工具中的“距離”測出線段de和df的長度. 5、利用移動(dòng)工具中的“移動(dòng)點(diǎn)”，拖動(dòng)點(diǎn)d，觀察線段de、df的長度.再調(diào)整abc的大小，觀察線段de、df的長度. 5、在屬性中對(duì)點(diǎn)名稱進(jìn)行改換，再隱藏所有線段名稱.并可以利用工具調(diào)整名稱位置將點(diǎn)進(jìn)行

8、改換位置.（三）例題分析，鞏固新知：教師活動(dòng)：呈現(xiàn)問題，分析問題，啟發(fā)學(xué)生解題思路.例題1：如圖，在rtabc中，cd是c的平分線，debc，垂足為e，da與de相等嗎？為什么？答：dade cd是acb的平分線 （d在acb的平分線上） 又 decb，垂足為e，daac，垂足為a deda學(xué)生活動(dòng)：思考解題思路，討論回答問題設(shè)計(jì)意圖：通過分析、思考，培養(yǎng)學(xué)生分析能力及邏輯推理能力.作圖過程如下：1、利用多邊形工具作出直角三角形abc.2、利用角工具中的“角平分線”作出角acb的角平分線，交ab于點(diǎn)d，選擇線和點(diǎn)工具的“垂線”過點(diǎn)d作de垂直bc，垂足為點(diǎn)e. 3、隱藏直線b，連結(jié)點(diǎn)d、e；隱

9、藏射線a，連接點(diǎn)c、d.（四）動(dòng)手操作，合作探究，發(fā)現(xiàn)新知教師活動(dòng)：1、引導(dǎo)學(xué)生寫出角平分線性質(zhì)定理的逆命題.2、讓學(xué)生猜想：這個(gè)點(diǎn)是否在這個(gè)角的角平分線上？3、引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)結(jié)論，寫出已知、求證、證明.學(xué)生活動(dòng)：猜想結(jié)論，動(dòng)手操作數(shù)學(xué)畫板，驗(yàn)證并表達(dá)結(jié)論，討論推理過程，動(dòng)手寫出證明.已知：如圖，pdoa，peob，點(diǎn)d、e為垂足，pdpe.求證：點(diǎn)p在aob的平分線上.分析要證點(diǎn)p在aob的平分線上，即po是aob的平分線，畫射線op，只要證aopbop，利用h.l.證明dopeop，得aopbop.證明： pdoa，peob pdopeo90º在rtdop與rteop中 rtdop

10、rteop aopbop op是aob的平分線即點(diǎn)p在aob的平分線上角平分線判定定理：到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)畫板作為認(rèn)知工具，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證的過程，讓學(xué)生討論，培養(yǎng)學(xué)生合作精神，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的見解.作圖過程如下：1、作aob，在aob內(nèi)部任取一點(diǎn)p，選擇線和點(diǎn)工具的“垂線”過點(diǎn)p作pd垂直oa，垂足為點(diǎn)d.過p作pe垂直于ob，垂足為點(diǎn)e.2、利用移動(dòng)工具中的“移動(dòng)點(diǎn)”，拖動(dòng)點(diǎn)p，讓學(xué)生觀察點(diǎn)p到角的兩邊距離相等.3、連接op，利用測量工具中的“角度”，測出角aop與角bop的度數(shù)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角的度數(shù)相等. 教師活動(dòng)：1、提出第二個(gè)作圖

11、任務(wù)：作一個(gè)三角形的三條角平分線.2、觀察三條角平分線是否交于一點(diǎn).3、引導(dǎo)學(xué)生表達(dá)結(jié)論：任意三角形的三條角平分線交于一點(diǎn).4、通過分析，引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求證、證明.學(xué)生活動(dòng)：猜想結(jié)論，動(dòng)手操作數(shù)學(xué)畫板，驗(yàn)證并表達(dá)結(jié)論.分析要證明三條角平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)在第三條角平分線上就可以了. 已知：如圖， ad、be分別是abc中a、b的角平分線，ad、be相交于點(diǎn)g，求證：c的平分線也過點(diǎn)g.說明（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等；（2）三角形三條角平分線的交點(diǎn)就是三角形的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心）.作圖過程如下：1、利用多邊形工具中的“多

12、邊形”，在屏幕上作一三角形abc（取點(diǎn)順序?yàn)閍、b、c、a）.再利用角工具中的“角平分線”，分別作出三個(gè)內(nèi)角的角平分線，分別與三條邊交于點(diǎn)d、e、f.請(qǐng)同學(xué)們觀察三條角平分線是否交于一點(diǎn)g？然后利用移動(dòng)工具中的“移動(dòng)點(diǎn)”，拖動(dòng)三角形中的任意一個(gè)頂點(diǎn)，觀察三條角平分線是否交于一點(diǎn)？ 選擇線和點(diǎn)工具中的“垂線”，過點(diǎn)g分別作三條邊的垂線，分別交三條邊于點(diǎn)h、i、j.再隱藏三條角平分線和三條垂線.最后分別連接ad、be、cf、gh、gi、gj.（五）知識(shí)檢測，練習(xí)反饋教師活動(dòng)：屏幕呈現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生正確求解.題目如下：1、如圖（1）， 12， dcac， deab， （ ）.2、判斷題 如圖（2），

13、 ad平分bac（已知）， bddc（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）. （1） （2）3、如圖（3），在直線l上找一點(diǎn)p，使得點(diǎn)p到aob的兩邊oa、ob的距離相等. （3） （4）4、如圖（4），已知abc的外角cbd和bce的平分線相交于點(diǎn)f.求證：點(diǎn)f在dae的平分線上.學(xué)生活動(dòng)：小組思考交流，達(dá)成共識(shí)，回答問題.設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)反饋，促進(jìn)知識(shí)目標(biāo)的達(dá)成.讓學(xué)生做到思說合一，以便能觸類旁通，融會(huì)貫通.（六） 小結(jié)：學(xué)生互相交流總結(jié)這節(jié)課的體會(huì)，重新回顧這節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)以及新知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用方面的一些技巧.1、今天我們學(xué)習(xí)了用邏輯推理的方法證明角平分線性質(zhì)定理與判定定理，同學(xué)們要掌握這兩個(gè)定理的內(nèi)容及其應(yīng)用，同時(shí)要掌握三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并會(huì)應(yīng)用這個(gè)定理.2、角平分線的性質(zhì)定理與判定定理也是證明線段和角相等的重要依據(jù)，不必通過全等三角形可簡化證明.3、角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的條件與結(jié)論正好相反，在應(yīng)用中要注意它們的區(qū)別.4、三角形三條角平分線的交點(diǎn)就是三角形的內(nèi)心，它