必修四-任意角與弧度制--知識點(diǎn)匯總

1、必修四-任意角與弧度制-知識 點(diǎn)匯總（教師版）美博教育任意角與弧度制知識梳理: 一、任意角和弧度制1、角的概念的推廣定義：一條射線0A由原來的位置，繞著它的端點(diǎn) 0按一定的方向旋轉(zhuǎn)到另一位 置0B就形成了角，記作：角或可以簡記成。（1）“旋轉(zhuǎn)”形成角，突出“旋轉(zhuǎn)”（2） “頂點(diǎn)”“始邊” “終邊”“始邊”往往合于x軸正半軸（3）“正角”與“負(fù)角”一一這是由旋轉(zhuǎn)的方向所決定的。例 1、若 90135，求 和 的范圍。（0,45）（ 180,270）2、角的分類：由于用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴(kuò)大了?？梢詫⒔欠譃檎?、 零角和負(fù)角。正角：按照逆時針方向轉(zhuǎn)定的角。零角：沒有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)的角

2、。負(fù)角：按照順時針方向旋轉(zhuǎn)的角。例2、（ 1）時針走過2小時40分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是 （2）將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是 3、“象限角”為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來討論角，角的頂點(diǎn)合于坐 標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊合于x軸的正半軸。角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個象限，稱為軸線角。例1、30 ; 390;330是第象限角 300;60是第象限角585; 1180是第象限角2000是第象限角。例2、(1) A=小于90°的角 , B=第一象限的角，則AH B=_ (填序號) 小于90°的角0。90&

3、#176;的角第一象限的角以上都不對(2)已知A=第一象限角 , B=銳角 , C=小于90°的角，那么A、B、C關(guān) 系是()A. B=AHCB . BU C=C C . A C D . A=B=C例3、寫出各個象限角的集合：例4、若 是第二象限的角，試分別確定 2，的終邊所在位置.2解T是第二象限的角， k 360° +90°v vk 360° +180°( k Z).(1) v 2k 360° +180°v 2 v 2k 360° +360°( k Z)，2是第三或第四象限的角，或角的終邊在 y軸的非

4、正半軸上.(2) v k 180° +45°v _ v k 180° +90°( k Z)，2當(dāng) k=2n (n Z)時,n 360° +45°v v n 360° +90°2當(dāng) k=2n+1 (n Z)時,n 360° +225°v v n 360° +270°.2是第一或第三象限的角2拓展：已知 是第三象限角，問-是哪個象限的角？3v 是第三象限角， 180° +k 360°v v270° +k 360°( k Z)，60°

5、; +k 120°v v 90° +k 120°.3 當(dāng)k=3m(M Z)時，可得60° +m- 360°v v 90° +m- 360°( m Z).3故-的終邊在第一象限.3 當(dāng)k=3m+1 (m Z)時，可得180° +m- 360°v v 210° +m- 360°( m Z).3/故-的終邊在第三象限3 當(dāng)k=3m+2 (m Z)時，可得300° +m- 360°v v 330° +m- 360°( m Z).故的終邊在第四象限3綜上可

6、知，是第一、第三或第四象限的角.34、常用的角的集合表示方法1、終邊相同的角：(1) 終邊相同的角都可以表示成一個 0到360的角與k(k Z)個周角的和。(2) 所有與 終邊相同的角連同 在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合S |k 360 , k Z即：任何一個與角 終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和注意：1、k Z2、是任意角3、終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同。終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍。4、一般的，終邊相同的角的表達(dá)形式不唯一o例1、(1 )若 角的終邊與角的終邊相同，則在0,2上終邊與一的角終邊相54同的角為 o若9角的終邊與8n /5的終邊

7、相同則有：B =2kn +8n /5 (k 為整數(shù))所以有：9 /4=(2k n +8n /5)/4=k n 12+2 n /5當(dāng)：0W kn /2+2 n /5 < 2n有：k=0時，有2n /5 與9 /4角的終邊相同的角k=1時，有9n/10與9 /4角的終邊相同的角(2)若 和 是終邊相同的角。那么在例2、求所有與所給角終邊相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大負(fù)角:(1) 210 ;(2)1484 37 .例3、求，使 與900角的終邊相同，且180，260 .2、終邊在坐標(biāo)軸上的點(diǎn):終邊在x軸上的角的集合：| k 180 ,k Z終邊在y軸上的角的集合：| k 180 9

8、0,k Z終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|k 90 ,k Z3、終邊共線且反向的角：終邊在y=x軸上的角的集合：|k 18045 ,k Z終邊在y x軸上的角的集合：|k 18045 ,k Z4、終邊互相對稱的角:若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：360 k若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱,則角與角的關(guān)系：360 k 180若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：180 k角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系:360k90例1、若k360,m 360(k,mZ）則角與角的中變得位置關(guān)系是（）°A.重合B.關(guān)于原點(diǎn)對稱 C.關(guān)于x軸對稱D.有關(guān)于y軸對稱例2、將下列各角化成0到2的

9、角加上2k （kZ）的形式(1) 19(2)3153例3、設(shè)集合A x|k36060 x k 360300 ,k ZB x | k 360210x k360 ,k Z ,求 AB, A B.二、弧度與弧度制1、弧度與弧度制：弧度制一另一種度量角的單位制，它的單位是rad讀作弧度定義：長度等于的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。A如圖： A0B=1rad , A0C=2rad ,周角=2 rad注意:1、 正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是02、 角 的弧度數(shù)的絕對值-（I為弧長，r為半徑）r3、 用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）用角度制和弧度制來度量任

10、一非零角，單位不同，量數(shù)也不同4、在同一個式子中角度、弧度不可以混用2、角度制與弧度制的換算弧度定義：對應(yīng)弧長等于半徑所對應(yīng)的圓心角大小叫一弧度角度與弧度的互換關(guān)系：360 = rad 180= rad 1=rad 0.01745rad1801rad18057.3057 18注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零例1、把67 30'化成弧度例2、把3 rad化成度5例3、將下列各角從弧度化成角度(1) rad36(2) 2.1 rad3(3)- rad5例4、用弧度制表示：1終邊在x軸上的角的集合2 終邊在y軸上的角的集合三、弧長公式和扇形面積公式l r ;S

11、1lR 1 r22 2例1、已知扇形的周長是6 cm面積是2 cm,則扇形的中心角的弧度數(shù)是 _1_ 或4_例2、若兩個角的差為1弧度，它們的和為 1 ,求這連個角的大小分別為。4例3、直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對的弧長一 1653例4、（ 1）一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形 的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少？（2） 扇形的周長為20 cm當(dāng)扇形的圓心角 等于多少弧度時，這個扇形的 面積最大？例5、（ 1）已知扇形的周長為10，面積為4,求扇形中心角的弧度數(shù)；（2）已知扇形的周長為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大？最大

12、面積是多少？（七）任意角的三角函數(shù)（定義）1.設(shè)是一個任意角，在 則P與原點(diǎn)的距離r的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P (x,y )xi2 iy2Jx2y202 .比值y rx cos 一r叫做的正弦記作：sin1 ;比值x叫做的余弦rr記作:比值yx叫做的正切記作：tan-;比值-叫做的余切xy記作:cot比值L叫做 的正割 記作： sec -;比值-叫做 的余割 記作：xxyrcsc y注意突出幾個問題：角是“任意角”，當(dāng) =2k + (k Z)時，與 的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。實(shí)際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù) r 0，而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應(yīng)由象限確疋三角函數(shù)在各象限的符號： 定義域：ysinycotycosysecytanycsc4.是第二象限角，P