統(tǒng)計(jì)學(xué)第四章

1、第四章 差異量教學(xué)目的：1.理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和差異系數(shù)等概念；2.掌握各種差異量指標(biāo)的計(jì)算方法。數(shù)據(jù)的分布特征不僅有集中趨勢(shì)，還有離中趨勢(shì)。以動(dòng)態(tài)的眼光，從不同的角度看，數(shù)據(jù)是向中間變動(dòng)的，也是向兩端變動(dòng)的。兩組數(shù)據(jù)可能平均水平相同，但兩組數(shù)據(jù)的分布特征并不完全相同?！救纭?比較下列兩組數(shù)據(jù)A組：88、82、73、76、81B組：92、86、70、72、80兩組平均數(shù)但RA=887315，R=927022。即A組較集中，B組較分散。因此，我們描述一組數(shù)據(jù)的分布特征，既要描述其集中趨勢(shì)，也要描述其離中趨勢(shì)。差異量：表示一組數(shù)據(jù)的離中趨勢(shì)或變異程度的量稱為差異量。

2、常用的差異量指標(biāo)有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和差異系數(shù)。第一節(jié)全距、四分位距、百分位距一、全距全距：是一組數(shù)距中最大值與最小值之差。優(yōu)點(diǎn)：意義明確，計(jì)算方便。缺點(diǎn)：反應(yīng)不靈敏，易受極端值影響。二、四分位距（一）四分位距的的概念四分位距:是指一組按大小順序排列的數(shù)據(jù)中間部位50%個(gè)頻數(shù)距離的一半。QD：表示四分位距；Q3：表示第三四分位數(shù)；Q1：表示第一四分位數(shù)。所以：四分位距的公式又為： （二）四分位數(shù)的計(jì)算方法1、原始數(shù)據(jù)計(jì)算法 （1）將數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列；（2）分別求出三位四分位數(shù)（點(diǎn)）；（3）代入公式計(jì)算。【例如】：有以下16個(gè)數(shù)據(jù)25、22、29、12、40、15

3、、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30，其中四分位距的計(jì)算方法如下：（1）先將原始數(shù)據(jù)從小到大排列好； 12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40Q1=18 Md=27 Q3=34（2）求出Q1、Md、Q3；（3）將Q1、Md、Q3的得數(shù)代入公式（4.1）。2、頻數(shù)分布表計(jì)算法利用頻數(shù)分布表計(jì)算公式為：關(guān)鍵是分別計(jì)算P75和P25，百分位數(shù)計(jì)算方法掌握了，這里的計(jì)算就不會(huì)有什么問題。（三）優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：意義明確，不受極端值影響。缺點(diǎn)：反應(yīng)不靈敏。三、百分位距百分位距：是指兩個(gè)百分位數(shù)之差。常用的百分位距有兩種：P90

4、P10和P93P7優(yōu)點(diǎn)：意義明確，不受極值影響。缺點(diǎn)：反映不靈敏。第二節(jié) 平均差一、平均差的概念平均差：是指每個(gè)數(shù)據(jù)與本組數(shù)據(jù)的平均數(shù)（或中位數(shù)）之差的絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)（用MD表示）。二、平均差的計(jì)算方法1、原始數(shù)據(jù)計(jì)算法公式為：【如】：求88、82、73、76、81的平均差。2、頻數(shù)分布表計(jì)算法公式為：【例】：求表4.1中30數(shù)據(jù)的平均差。表4.130個(gè)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)60708090頻數(shù)512103組中值65758595三、平均差的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：意義明確，反應(yīng)靈敏。缺點(diǎn)：不適合代數(shù)運(yùn)算。第三節(jié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念1.方差：是一組數(shù)據(jù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)（用表示）。定義公式

5、為：2、方差的方根即標(biāo)準(zhǔn)差例：求72，78，80，86的方差和標(biāo)準(zhǔn)差解：（1）求算術(shù)平均數(shù)（2）求方差（3）求標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差的值越大，說明數(shù)據(jù)越分散。二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法1.原始數(shù)據(jù)計(jì)算法所以得：【例】：計(jì)算80、78、84、80、72的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解：2.頻數(shù)分布表計(jì)算法公式為：例題：參看教材48。三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：嚴(yán)密確定，反映靈敏，適合代數(shù)運(yùn)算。缺點(diǎn)：不太容易理解，易受兩極端值影響。第四節(jié) 相對(duì)差異量一、相對(duì)差異量的概念平均差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等都帶有單位，是絕對(duì)差異量。常常不能對(duì)不同組的數(shù)據(jù)差異直接比較。差異系數(shù)：也叫相對(duì)差異量，是指同一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與算術(shù)平均數(shù)的百

6、分比（用CV表示）。公式為：CV值越大，表明數(shù)據(jù)離散程度越大。二、差異系數(shù)的用途1.比較不同單位資料的差異程度?！纠}】：某班學(xué)生的平均身高為152cm，標(biāo)準(zhǔn)差為5.1cm;平均體重為47公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為3.2公斤，問該班學(xué)生身高變異大還是體重變異大?解：得：該班學(xué)生體重變異大。2.比較單位相同平均數(shù)差異較大的兩組資料的差程度。 【如】：某班語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)平均分為86.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為5.5分；英語(yǔ)平均分為71分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分，則： 所以，英語(yǔ)成績(jī)的變異大。3.可判斷特殊情況：一般CV值在5%35%之間。 第五節(jié) 偏態(tài)量和峰態(tài)量偏態(tài)量和峰態(tài)量：是判斷頻數(shù)分布是否為正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)量，是一種粗略指標(biāo)。正態(tài)性

7、檢驗(yàn)常用檢驗(yàn)。一、偏態(tài)量偏態(tài)量有兩種計(jì)算方法1.皮爾遜指數(shù)法當(dāng)SK=0則分布是對(duì)稱形；當(dāng)SK>0時(shí)，分布為正偏；當(dāng)SK< 0時(shí)，分布為負(fù)偏。【例】:某校200名學(xué)生的英語(yǔ)平均分為80分，中位數(shù)為82分，標(biāo)差為8分，其偏態(tài)度為：解：2.根據(jù)動(dòng)差來計(jì)算動(dòng)差：是指力與力距的乘積（力學(xué)中的概念）。當(dāng)=0時(shí)，分布對(duì)稱；當(dāng)>0時(shí)，分布是正偏態(tài)；當(dāng)<0時(shí)，分布是負(fù)偏態(tài)。計(jì)算時(shí)，N應(yīng)大于200.例題：參看教材57頁(yè)。二、峰態(tài)量峰態(tài)量：是用于說明分布曲線高狹和低闊程度的量。1.用兩個(gè)百分位距來計(jì)算當(dāng)Ku=0.263時(shí)，分布是正態(tài)峰；當(dāng)Ku<0.263時(shí)，分布為高狹峰；當(dāng)Ku>

8、0.263時(shí)，分布低闊。 表4.1 小學(xué)二年級(jí)80個(gè)學(xué)生身高的四分位距計(jì)算表身高頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)計(jì)算四分位距1151n1=12n2=12111834121812Q1126.4012410221272042Q3132.841301961QD3.221331273136477139279142180總和80【例題】：根據(jù)表4.1數(shù)據(jù)將計(jì)算出的P75=132.84，P25=126.40,P90=135.75，P10=122.5代入 公式（4.17），則峰態(tài)量為：2、根據(jù)動(dòng)差來計(jì)算當(dāng)4=0時(shí)，分布是正態(tài)峰；當(dāng)4>0時(shí)，分布是高狹峰；當(dāng)4<0時(shí)，分布是低闊峰。計(jì)算4時(shí)，N應(yīng)大于1000，峰態(tài)系數(shù)方比較可靠。表4.4 以平均數(shù)為原點(diǎn)四種動(dòng)差的計(jì)算表X56-15.5240.25-3 723.8857 720.1458-13.50182.25-2 460.3833 215.1361-10.50110.25-1 157.6312 155.1263-8.5072.25-614.135 220.1170-1.502.25-3.385.077420.56.2515.6339.08797.5056.25421.883 164.1084