AWGN信道下線性分組碼性能研究與仿真

1、北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)題 目 AWGN信道下線性分組碼性能研究與仿真 學(xué) 號 09010125 學(xué)生姓名 宮旭瑞 專業(yè)名稱 通信工程 所在系（院） 通信與信息工程系 指導(dǎo)教師 李殷 2013年 5月 30日their own conditions to develop the correct road, the maximum to avoid investment risk, gain profit.(three) vigorously promote the brand. To establish brand awareness, awareness of the use o

2、f brand, brand value, brand acquisition performance, enhance the competitive strength. Concentrated manpower, careful planning, packaging and publicity of a number of unique, market influence and coverage of the brand, the implementation of key breakthroughs, to enhance the competitive strength, wal

3、king business road the competition of alienation and characteristics, the pursuit of stability and development of the market.(four) to promote the integration of resources. To further broaden their horizons, effective integration of resources within the group, the city resources, other industries an

4、d regional resources, mutual trust, mutual benefit, seeking win-win principle, in the framework of national policies and regulations, strict inspection and argumentation, legal consultation, examination and approval procedures, strict regulation of economic activities, attract injection the social i

5、nvestment to the industry group, to achieve leveraging the development, ensure that the value of state-owned assets.(five) to strengthen the construction management personnel. Strengthen the management of education and training of cadres and workers of the existing business, firmly establish the con

6、cept of the market, enhance the sense of crisis to adapt to market competition, the sense of urgency, improve the ability to respond to market competition, improve management and operation of the market. At the same time, according to the need of industrial development, vigorously the introduction o

7、f high-quality management management personnel, and strive to build a high-quality professional management team, hard work, and promote the entire workforce knowledge structure, age structure, structure optimization and upgrading ability, enhance core competitiveness, adapt to the need of market com

8、petition.(six) seriously study the policy for policy. Serious research about social support the development of cultural undertakings in the country and the XX policy, especially the policy of industrial development, financial investment policy, financial policy and tax policy, and actively seek poli

9、cy, projects and funds, enterprise and industry group mission to promote leapfrog development.北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書姓名宮旭瑞學(xué)號09010125專業(yè)通信工程系（院）通信與信息工程系設(shè)計(jì)（論文）題目AWGN信道下線性分組碼性能研究與仿真題目分類 工程設(shè)計(jì)； 工程技術(shù)研究； 軟件工程（如CAI課題等）； 專題研究；藝術(shù)設(shè)計(jì)； 其他 題目來源 自然科學(xué)基金與部、省、市級以上科研課題； 企、事業(yè)單位委托課題； 院級課題； 自擬課題 其他 指導(dǎo)教師（指導(dǎo)教師組組長及成員姓名）職 稱工作單位

10、備注李殷講師北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院組長畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)的內(nèi)容和要求：信道編碼是為了改善數(shù)字通信系統(tǒng)的傳輸質(zhì)量。由于實(shí)際信道存在噪聲或干擾，發(fā)送碼元和接收碼元之間可能會存在差異，這種差異被稱為差錯。一般來講，信道噪聲和干擾越大，碼元產(chǎn)生差錯的概率也就越大。這就要求我們探索一類能夠最大限度保證信息傳輸?shù)目煽啃缘木幋a方式，使得傳輸差錯盡可能小。 從信道編碼的構(gòu)造方法來看，其基本思路是根據(jù)一定的規(guī)律在待發(fā)送的信息碼中加入一些多余的碼元，以保證傳輸過程的可靠性。而信道編碼的任務(wù)就是構(gòu)造出以最小冗余度換取最大抗干擾性能的“好碼”。本課題要求：1、 研究通信信道的特性；2、 信道編碼的基本原理；3、 線性分組

11、碼基本理論，循環(huán)碼的性能；4、 用MATLAB仿真AWGN信道下線性分組碼性能； 應(yīng)完成的工作和提交材料要求： 開題報(bào)告：3000字左右； 論文的中文摘要：200-300字左右，包含關(guān)鍵詞，并譯成英文。英文摘要以250個左右實(shí)詞為宜； 論文正文不少于15000字； 盡量結(jié)合課題，翻譯1500漢字以上的有關(guān)技術(shù)資料或?qū)I(yè)文獻(xiàn)； 參考文獻(xiàn)中，主要的文獻(xiàn)應(yīng)達(dá)到10篇以上，其中外文文獻(xiàn)在2篇以上。主要參考文獻(xiàn)（參考文獻(xiàn)不少于4篇，參考文獻(xiàn)目錄按GB/T77142005的要求填寫）：1鄧華等. MATLAB通信仿真及應(yīng)用實(shí)例詳解M.北京:人民郵電出版社，2003. 2徐明遠(yuǎn)，邵玉斌。MATLAB 仿真在

12、通信與電子工程中的應(yīng)用M.西安：西安電子科技大學(xué) 出版社，2005。 3樊昌信.通信原理第6版M.北京：國防工業(yè)出版社，2006.4吳偉陵.信息處理與編碼M.北京：人民郵電出版社，2005.5王新梅.糾錯碼原理與方法M.西安：電子科技大學(xué)出版社，1991.6McEliece R.J The Theory of Information and CodingM. Addision-Wesley Publishing Company,Inc,19977John G.Proakis.Digital Communications(4th ed.)影像版M.北京：電子工業(yè)出版社，2001.畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

13、進(jìn)度計(jì)劃（從正式啟動時間開始，以周為單位填寫）：第 1周-第 2周 課題調(diào)研、查資料、撰寫開題報(bào)告第 3周 根據(jù)查詢的資料確定總體設(shè)計(jì)思路，完成開題報(bào)告并上交.第 4周-第 7周 畢業(yè)設(shè)計(jì)單元部分研究,并設(shè)計(jì)出整體框架第 8周 完成論文中期檢查報(bào)告第 9周-第15周 資料整理，撰寫畢業(yè)論文；上交畢業(yè)設(shè)計(jì)論文，指導(dǎo)教師審查評閱設(shè)計(jì)報(bào)告，畢業(yè)設(shè)計(jì)答辯資格審查。學(xué)生修改畢業(yè)設(shè)計(jì)論文，準(zhǔn)備答辯。第16周 進(jìn)行畢設(shè)答辯。指導(dǎo)教師簽字： 日期： 年 月 日教學(xué)單位意見 審核人簽字： 年 月 日 北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）誠信聲明本人聲明所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），題目AWGN信道下線性分組碼性能研

14、究與仿真是本人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝中所羅列的內(nèi)容以外，畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得北京郵電大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書而使用過的材料。申請學(xué)位論文與資料若有不實(shí)之處，本人承擔(dān)一切相關(guān)責(zé)任。本人簽名： 日期： 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）使用權(quán)的說明本人完全了解北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院有關(guān)保管、使用論文的規(guī)定，其中包括：學(xué)校有權(quán)保管、并向有關(guān)部門送交學(xué)位論文的原件與復(fù)印件；學(xué)?？梢圆捎糜坝　⒖s印或其它復(fù)制手段復(fù)制并保存論文；學(xué)校可允許論文被查閱或借閱；學(xué)校可以學(xué)術(shù)交流為目的，復(fù)制贈送和交換學(xué)位論文；學(xué)?？梢怨?/p>

15、學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容。本人簽名： 日期： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 45題目 AWGN信道下線性分組碼性能研究與仿真 摘要差錯控制編碼技術(shù)是為提高數(shù)字通信系統(tǒng)的可靠性而建立的一門信息處理技術(shù)，自20世紀(jì)50年代誕生以來，已經(jīng)經(jīng)歷了50余年的發(fā)展和演變。而今，隨著信息時代的到來，它也作為一項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)被廣泛采用。鑒于線性分組碼在差錯控制編碼領(lǐng)域的基礎(chǔ)性作用，本文以Hamming碼、BCH碼為例，著重研究了幾種典型的線性分組碼在加性高斯白噪聲信道下的傳輸性能。本文從理論出發(fā)，首先對差錯控制編碼的相關(guān)知識和目前廣泛應(yīng)用的幾種線性分組碼做了簡單介紹，然后引入生成矩陣與校驗(yàn)矩陣以及生成多項(xiàng)式等概念，詳細(xì)

16、說明了其編譯碼原理。仿真測試方面，運(yùn)用“矩陣實(shí)驗(yàn)室”Matlab/Simulink編寫代碼繪制出已編碼和未編碼兩種情況下，這類碼字的信噪比與誤比特率關(guān)系曲線。最后，基于前面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，計(jì)算出編碼增益這一重要性能指標(biāo)，并通過分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論。關(guān)鍵詞： 差錯控制編碼 線性分組碼 信噪比 誤比特率 編碼增益Title Research and Simulation of the Linear Block Codes Performance under the AWGN channelAbstract A Coding Technology of Error Control is an informa

17、tion processing technology to improve the reliability of digital communication systems. Since its inception in the 1950s, it has experienced 50 years of development and evolution and now it has been widely adopted as a standard technology with the arrival of the information age. Given the linear blo

18、ck codes fundamental role in the field of error control coding, this paper focuses on the linear block codes transmission performance which is under the additive white Gaussian noise and take Hamming code, BCH code as examples to elaborate. Starting from the theory, we have done a simple introductio

19、n of several widely used linear block code and a detailed description of the encoding and decoding principle by introducing the generator matrix and parity check matrix. Thus, we can establish a transmission system model and write code to draw out several relationship curves between the signal-to-no

20、ise ratios (SNR) and bit error rate concerning code and uncode by MATLAB. Finally, we calculate the important performance indicators “coding gain”, basing on the results of the previous experiment. Thus, the conclusion is obtained.Keywords: error control coding linear block code signal-to-noise rati

21、o bit error rate coding gain目錄1. 前言11.1 背景和意義11.2 線性分組碼的發(fā)展歷史與研究現(xiàn)狀21.3 論文內(nèi)容概述32. 編碼理論簡介42.1 差錯控制系統(tǒng)42.2 差錯控制碼的分類42.3 編碼信道模型52.4 漢明距離62.5 信道容量和信道編碼定理72.5.1 信道容量72.5.2 信道編碼定理72.6 小結(jié)83. 線性分組碼的編碼和譯碼93.1 概念和描述方法93.1.1 概念93.1.2 線性分組碼與生成矩陣93.1.3 線性分組碼與校驗(yàn)矩陣103.2 編譯碼過程分析103.2.1 線性分組碼的編碼103.2.2 線性分組碼的譯碼113.3 Ha

22、mming碼的設(shè)計(jì)與編解碼過程分析113.3.1 Hamming碼簡介113.3.2 (7,4)漢明碼的設(shè)計(jì)123.4 循環(huán)碼及其描述方法153.4.1 概念153.4.2 循環(huán)碼的表示163.4.3 循環(huán)碼的編碼173.4.4 循環(huán)碼的譯碼183.5 循環(huán)碼的設(shè)計(jì)與編譯碼過程分析183.5.1 (7,3)循環(huán)碼的設(shè)計(jì)183.5.2 (15,5)BCH碼的設(shè)計(jì)213.6 小結(jié)244. 線性分組碼的傳輸性能研究254.1 差錯控制編碼的性能估計(jì)254.1.1 編碼增益的提出254.1.2 線性分組碼的性能限254.2 線性分組碼性能的影響因素264.3 小結(jié)275. MATLAB建模仿真與結(jié)果分

23、析285.1 通信系統(tǒng)仿真的意義285.2 傳輸模型的建立285.3 傳輸性能的仿真分析295.3.1 Hamming碼性能的仿真與分析295.3.2 循環(huán)碼性能的仿真與分析315.4 小結(jié)356. 結(jié)論366.1 結(jié)論366.2 存在的問題366.3 改進(jìn)方案36致謝38參考文獻(xiàn)39附錄40北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）1. 前言1.1 背景和意義目前，中國固定和移動兩大網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模都已位居世界第二，互聯(lián)網(wǎng)用戶也早已突破5億。在國內(nèi)信息通信制造業(yè)迅速發(fā)展的大勢下，我國將加快建設(shè)新一代信息通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、完善通信系統(tǒng)生產(chǎn)體系。與此同時，隨著計(jì)算機(jī)、衛(wèi)星通信及高速數(shù)據(jù)網(wǎng)的飛速發(fā)展，數(shù)據(jù)的交換、

24、處理和存儲技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用，人們對數(shù)據(jù)傳輸和存儲系統(tǒng)的可靠性提出了越來越高的要求1。然而，由于實(shí)際信道存在噪聲或干擾，發(fā)送碼元和接收碼元之間可能會存在差異（這種差異被稱為差錯）。一般來講，信道噪聲和干擾越大，碼元產(chǎn)生差錯的概率也就越大。這些差錯會造成接收端圖像的跳躍、不連續(xù)、出現(xiàn)馬賽克等問題。為了解決這些問題，科學(xué)家們進(jìn)行著不懈的探索與研究，最終得出了這樣的結(jié)論：通過信道編碼這一環(huán)節(jié)，對數(shù)碼流進(jìn)行相應(yīng)的處理，使系統(tǒng)具有一定的糾錯能力和抗干擾能力，可極大地避免碼流傳送中差錯的產(chǎn)生。信道編碼的目的是改善數(shù)字通信系統(tǒng)的傳輸質(zhì)量，本質(zhì)是增加通信的可靠性。但信道編碼會使有用的信息數(shù)據(jù)傳輸減少2。不同

25、的編碼方式，其編碼效率有所不同，這就要求我們探索一類能夠最大限度保證信息傳輸?shù)目煽啃缘木幋a方式，使得傳輸差錯盡可能小。從信道編碼的構(gòu)造方法來看，其基本思路是根據(jù)一定的規(guī)律在待發(fā)送的信息碼中加入一些多余的碼元，以保證傳輸過程的可靠性。而信道編碼的任務(wù)就是提高數(shù)據(jù)傳輸效率，降低誤碼率，構(gòu)造出以最小冗余度換取最大抗干擾性能的“好碼”。人們對信道編碼的研究大致著眼于兩個方面：信道編碼定理，從理論上解決理想編碼器、譯碼器的存在性問題。構(gòu)造性的編碼方法以及這些方法能達(dá)到的性能界限。在此，我們按照信息碼元和監(jiān)督碼元約束關(guān)系的不同將其分為分組碼和卷積碼，其中，線性分組碼是編碼學(xué)中最簡單，最基本的一種碼型，是編

26、碼理論的基石。本課題研究的是上述編碼中“線性分組碼”在通信系統(tǒng)中的傳輸性能，并且將傳輸信道假設(shè)為加性高斯白噪聲AWGN(Additive White Gaussian Noise)信道，雖然這是一種理想化的假設(shè)，但實(shí)際上很多頻譜較寬的信道（太空信道），均可以近似看作AWGN信道，因此，這一假設(shè)在理論與現(xiàn)實(shí)中具有重要意義。研究線性分組碼的編碼、譯碼原理及其在不同信噪比(SNR)條件下傳輸?shù)恼`碼、誤符率，對優(yōu)化編譯碼算法、提高傳輸效率、發(fā)現(xiàn)新型碼字等方面的推動作用尤為顯著。1.2 線性分組碼的發(fā)展歷史與研究現(xiàn)狀 差錯控制編碼始于1948年信息論開創(chuàng)者Shannon發(fā)表的奠基性論文通信的數(shù)學(xué)理論。S

27、hannon在那篇論文中給出了著名的信道編碼定理，即：只要實(shí)際傳輸速率Rb小于信道容量C，就可以設(shè)計(jì)出一種差錯控制碼，使得傳輸過程中的差錯率任意小。人們從此開始了對這一類碼字的尋找和探索。首先出現(xiàn)的是分組碼。1950年，由Hamming（漢明）描述了一類可糾正單個差錯的碼字Hamming碼，然而，Hamming碼與Shannon指出的性能極限（Shannon限）相差甚遠(yuǎn)。隨后，以糾正多個差錯的BCH碼以及一種非二進(jìn)制糾錯的RS碼，其中BCH碼是目前應(yīng)用最為廣泛的碼字之一，它使得人們開始研究其譯碼算法。而概率知識的引入加速了序列譯碼理論的誕生，這種理論要求引入一類不定長的非分組碼，卷積碼是其中最

28、重要的一類。20世紀(jì)60年代Viterbi（維特比）譯碼算法的出現(xiàn)使卷積碼得以廣泛應(yīng)用。大約10年之后，Goppa等人從幾何觀點(diǎn)討論提出了分析碼，利用代數(shù)曲線構(gòu)造出所謂的代數(shù)幾何碼，也就是后來的Shannon碼。到了20世紀(jì)80年代，在數(shù)字通信系統(tǒng)及數(shù)字存儲系統(tǒng)中，編碼器和譯碼器開始大量出現(xiàn)，這給分組編碼論的研究帶來了許多新的思路。1993年C.Berrou等人提出的Turbo碼以及1996年Mackay和Neal對LDPC碼的重新發(fā)現(xiàn)是糾錯編碼領(lǐng)域的又一重大突破，仿真結(jié)果顯示：在AWGN信道下，當(dāng)信噪比大于或等于0.7dB時，其碼率離Shannon限僅差0.7dB,誤比特率小于或等于10-5

29、。如此逼近Shannon限的卓越性能使得它們已經(jīng)成為當(dāng)今編碼領(lǐng)域最熱門的話題3?？梢哉f，編碼領(lǐng)域中線性分組碼的研究開始較早，取得的成果也較為豐碩。就目前來看，Turbo分組碼和LDPC碼是研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。還有最近正在研究的：低碼率二進(jìn)制線性分組碼的盲識別、空時分組碼與線性分組碼相結(jié)合的MIMO系統(tǒng)、線性分組碼與時空分組碼級聯(lián)的迭代譯碼，等等。這些都是21世紀(jì)糾錯編碼領(lǐng)域新的發(fā)展方向和重要課題。總之，糾錯編碼理論，包括這里的線性分組碼已經(jīng)歷了50多年發(fā)展。在理論方面，它沿著Shannon編碼定理所指引的方向不斷前進(jìn)；在實(shí)踐方面，它隨著數(shù)字技術(shù)的不斷發(fā)展，也越來越廣泛的應(yīng)用到各種數(shù)字通信和存儲系

30、統(tǒng)之中。1.3 論文內(nèi)容概述由于作者水平有限，這篇論文僅對目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的幾種典型的線性分組碼的性能做了簡單研究，研究內(nèi)容包括：（1）從理論上推導(dǎo)了線性分組碼的一般性編譯碼原理（運(yùn)用矩陣和多項(xiàng)式兩種描述方法），然后著重以(7,4)漢明碼、(7,3)循環(huán)碼、(15,5)BCH碼為例，詳細(xì)分析了它們的編譯碼過程。需要說明的是，文中的編碼和譯碼算法均采用實(shí)現(xiàn)較為容易的代數(shù)算法，對于能夠進(jìn)一步提高譯碼性能的其他算法，鑒于其仿真實(shí)現(xiàn)困難就沒有采用；（2）討論了影響線性分組碼傳輸性能的主要因素，給出了三個常用的性能限，并以此作為編碼性能估計(jì)的理論依據(jù)；（3）用MATLAB“矩陣實(shí)驗(yàn)室”對上述幾種碼字的編碼和

31、譯碼進(jìn)行了仿真，并做出誤碼率和信噪比的關(guān)系曲線。對仿真結(jié)果做數(shù)據(jù)分析和誤差分析，計(jì)算出編碼增益等能夠反映出信道編碼對傳輸性能起改善作用的指標(biāo)，又將已編碼和線性分組碼的理想性能限作比較，根據(jù)比較結(jié)果得出了最終的結(jié)論。2. 編碼理論簡介2.1 差錯控制系統(tǒng)在數(shù)字通信中，利用差錯控制碼進(jìn)行差錯控制的方式分為三類：前向糾錯FEC(Forward Error)、自動請求重發(fā)ARQ(Automatic Repeat Request)和在前兩者基礎(chǔ)上產(chǎn)生的混合糾錯方式HEC(Hybrid Error Control) 。由于本文中用到的糾錯方式只有FEC，下面重點(diǎn)討論一下這種糾錯方式的特點(diǎn)及其傳輸模型：編碼

32、器解碼器前向信道信源用戶圖2-1 前向糾錯方式FEC在發(fā)送端發(fā)送能夠糾錯的編碼，接收端在收到這些碼后，通過糾錯譯碼器不僅能夠自動發(fā)現(xiàn)錯誤，而且還能夠自動糾正接收碼字傳輸中的錯誤。這種方式的優(yōu)點(diǎn)是不需要反饋信道，能進(jìn)行一用戶對多用戶的同時通信，也就是說，譯碼實(shí)時性好，控制電路較為簡單4。缺點(diǎn)是譯碼設(shè)備相對復(fù)雜，所選用的糾錯碼必須與信道的干擾情況相匹配，因而對信道的適應(yīng)性較差。為了獲得比較低的誤碼率，往往必須以最壞的信道條件來設(shè)計(jì)糾錯碼，故所需的監(jiān)督碼元數(shù)比信息碼元多得多，這就大大降低了編碼效率。值得注意的是，F(xiàn)EC的糾錯能力是有限的，當(dāng)錯碼數(shù)目大于糾錯能力時就無能為力了，而且出現(xiàn)這種狀況后，系統(tǒng)

33、無法給出反饋，這就給收信者的判斷帶來不便。因此，F(xiàn)EC一般不用于數(shù)據(jù)通信網(wǎng)，而用于容錯能力較強(qiáng)的語音、圖像通信。在實(shí)際通信系統(tǒng)中，根據(jù)實(shí)際情況選擇差錯控制方式是一個比較復(fù)雜的問題。本文旨在模擬恒定參數(shù)通信等容錯能力較強(qiáng)的通信系統(tǒng)傳輸，研究這種情形下發(fā)送碼字的性能特點(diǎn)，因此采用了前向糾錯這一差錯控制方式。2.2 差錯控制碼的分類各種差錯控制系統(tǒng)所用到的碼，不外乎是能在譯碼器自動發(fā)現(xiàn)錯誤的檢錯碼，或者不僅能發(fā)現(xiàn)錯誤而且能自動糾正錯誤的糾錯碼，或者能糾正刪除錯誤的糾刪碼。本課題要研究的線性分組碼就是一種糾錯碼。除以上劃分方式，我們還可以從這樣的角度對差錯控制編碼進(jìn)行分類：（1） 按照校驗(yàn)元與信息元之

34、間的關(guān)系可分為線性碼和非線性碼；若校驗(yàn)元與信息元之間呈線性關(guān)系，即可把校驗(yàn)規(guī)則用線性方程表示的，則稱為線性碼如果不存在線性關(guān)系，這是非線性碼。本文中的編碼均是線性碼。（2） 按照對信息元的處理方法可以分為分組碼與卷積碼。對于信源輸出序列，按k個信息元進(jìn)行分組，每組設(shè)置r個校驗(yàn)元，形成一個長度為n=k+r的碼字，該碼字的校驗(yàn)元僅與本碼字的k個信息元有關(guān)，這樣按組分別進(jìn)行處理的編碼是分組碼。如果對信源輸出序列仍按k個信息元進(jìn)行分組，每組r個校驗(yàn)元，但不同的是，這r個校驗(yàn)元不僅與本組k個信息元有關(guān)，還與前m組的信息元有關(guān)，稱這樣的碼為卷積碼?？梢哉f，有多少種觀察方式就會有多少種分類方法。本文主要研究

35、上面所介紹的分組碼中最特殊的一類線性分組碼。2.3 編碼信道模型為了研究方便，將整個通信傳輸系統(tǒng)進(jìn)一步簡化成下面的模型。此模型由信源、編碼器、信道、譯碼器、信宿以及噪聲源構(gòu)成。信源輸出已編碼二進(jìn)制序列；信道包括調(diào)制器、傳輸設(shè)備、解調(diào)器以及傳輸媒質(zhì)，其輸入一般是二進(jìn)制或多進(jìn)制的數(shù)字序列，輸出可以是數(shù)字序列，也可以是未量化的實(shí)數(shù)序列；信宿只能是人或者計(jì)算機(jī)。模型框圖如下：信源信宿糾、檢錯編碼器編碼信道糾、檢錯譯碼器噪聲源圖2-2 數(shù)字通信系統(tǒng)模型簡化圖編碼信道有很多種，如：離散無記憶信道、二進(jìn)制對稱信道、二進(jìn)制刪除信道、離散輸入連續(xù)輸出信道等，接下來僅就本課題用到的離散輸入連續(xù)輸出信道模型做出討論

36、。假設(shè)信道是無記憶的，且輸入符號集是一個有限、離散的集合F=ai，aj，as，而信道輸出的是未量化信息，這時譯碼器輸入可以是任意實(shí)數(shù)，即Q=(-,+)。定義這樣的編碼信道模型為時間離散的連續(xù)無記憶信道，它的特性由離散輸入A、連續(xù)輸出B以及一組條件概率密度函數(shù)來決定5。時間離散的連續(xù)無記憶信道有利于分析編譯碼性能的理論極限。這類信道中最重要的一種便是課題中的加性高斯白噪聲AWGN信道。它存在于各種傳輸媒質(zhì)中。加性高斯白噪聲表現(xiàn)為信號圍繞平均值的一種隨機(jī)波動過程，其均值為0，方差取決于噪聲功率大小。在研究通信系統(tǒng)的誤碼率與信道質(zhì)量的關(guān)系時，一般先研究它在AWGN信道下的性能，然后在推廣到其他信道。

37、對AWGN信道而言，其信道輸出為： b=ai+nG 式（2-1）上式中ng是一個方差為N0/2、均值為0的高斯隨變量。于是輸出為ai，輸出為b的條件概率密度函數(shù)為：Pbai=1N0e-b-ai2/N0 式（2-2）在二進(jìn)制判決情況下，如果信道輸出為輸入與高斯白噪聲相加，則這種信道為二進(jìn)制輸入加性高斯白噪聲信道。為了便于在AWGN信道上使用軟判決，將信道輸入發(fā)送碼的符號表示為±1或±a，而不表示為0和1。但本文中為了簡化譯碼過程，采用硬判決譯碼方式，假定在AWGN信道的條件下，展開對所關(guān)注的差錯控制編碼的理論探索。2.4 漢明距離下面介紹漢明重量、漢明距離、最小距離和距離分布

38、等基本概念。這些都與譯碼性能密切相關(guān)。（1）漢明重量：一個碼子c中非零碼元的個數(shù)，稱為漢明重量，用w(c)表示。（2）漢明距離：兩個碼字之間對應(yīng)位不同取值的個數(shù)，叫做漢明距離，用d(x,y)表示。它具有非負(fù)性、對稱性。（3）最小距離：任意兩個碼字之間距離的最小值，稱為該碼的最小漢明距離。對于分組碼而言，最小距離越大，其抗干擾能力就越強(qiáng)。而其糾檢錯能力可以用下面關(guān)系表達(dá)： 如果最小距離d e+1，則該碼可以檢出所有不多于e個錯誤。 如果最小距離d 2t+1，則該碼可以糾正所有不多于t個錯誤。 如果最小距離d e+t+1，則該碼可以糾正不多于t個錯誤，并能檢測出t+1到e個錯誤。2.5 信道容量和

39、信道編碼定理2.5.1 信道容量 用X表示一個隨機(jī)序列，則定義X的信息熵為： H(X)=-xPxlog2P(x) 式（2-3）H(X)是X的平均自信息量，其單位為比特/符號，表示X的平均不確定度。給定一個離散信道，其輸入、輸出隨機(jī)序列分別是X和Y。定義X相對于Y的條件熵為：IX,Y=HX-H(X|Y) 式（2-4）平均互信息量I(X，Y)表示接收到Y(jié)后平均每個符號所獲得的關(guān)于X的信息量。我們定義互信息量的最大值為信道容量： C = maxP(x)I (X，Y) 式（2-5）信道容量的單位是比特/符號。他表征了信道傳輸信息的最大能力。實(shí)際中信道傳送信息量必須小于信道容量，否則會引起錯誤6。2.5

40、.2 信道編碼定理信道編碼定理于1948年由Shannon提出，它奠定了糾錯碼發(fā)展的基石。這里簡要給出這一定理的基本思想：對于一個給定的有擾離散信道，設(shè)其信道容量為C，只要帶傳送的碼率R<C，則一定存在碼率為R、碼長為n的分組碼。若采用最大似然譯碼，可使其譯碼錯誤概率 Pe 隨碼長n的增加而降至任意小，即 Pee-nEC(R) 式（2-6）式中EC(R)是誤差函數(shù)或隨機(jī)編碼指數(shù)。三者函數(shù)關(guān)系如下圖所示：0 R R1<R2C1 <C2 EC(R)圖2-3 ECR 與R和C的關(guān)系對于一個數(shù)字編碼通信系統(tǒng)，有上述信道編碼定理可知，為滿足一定的誤碼要求，可采用兩種方法。一是增加信道容

41、量C，從而使得ECR增加，具體方法是加大信道帶寬或增大信噪比。二是在R一定時，增加分組編碼長度n。但是隨著n的增加，碼的冗余度和編/譯碼設(shè)備復(fù)雜性也隨之增加。研究糾錯編碼的意義在于：在一定碼率的條件下，盡量降低誤碼率,以實(shí)現(xiàn)可靠通信；或在給定誤碼率下，盡量提高碼率，以實(shí)現(xiàn)有效通信；并力求編、譯碼器結(jié)構(gòu)簡單，易于實(shí)現(xiàn)。Shannon的信道編碼定理表明：通信系統(tǒng)中有效性和可靠性是一對主要矛盾，為了提高可靠性就要犧牲有效性。信道編碼定理指明了為提高可靠性進(jìn)行糾錯編碼的方向，但并未提出怎樣構(gòu)造糾錯編碼的方法7。2.6 小結(jié)本章對編碼理論的基本概念和核心思想做了一個簡單的介紹，為后面線性分組碼的編譯碼原

42、理以及性能研究做了鋪墊。介紹的內(nèi)容主要包括：差錯控制系統(tǒng)、差錯控制編碼、并且著重引出了編碼信道模型，這一模型貫穿于整個論文的始末，也是數(shù)字通信這門學(xué)科的重要模型。之后，由此給出了漢明距離的概念和與碼字糾錯能力與最小漢明距離的簡單關(guān)系。尤其要注意的是，最小漢明距離只能從一個側(cè)面衡量碼字性能，而碼字性能的影響因素有很多，漢明距離分布就是其中很重要的一點(diǎn)。最后，還將信道編碼定理加以闡述，這一定理既是信道編碼學(xué)的理論基礎(chǔ)，又是本文研究碼字性能的理論依據(jù)。下面一章要介紹的是線性分組碼的編碼和譯碼原理，它與線性分組碼的性能研究密切相關(guān)。3. 線性分組碼的編碼和譯碼3.1 概念和描述方法3.1.1 概念在(

43、n,k)分組碼中，若每一個監(jiān)督元都是碼組中某些信息元按模二和得到的，即監(jiān)督元是信息元按線性關(guān)系相加而得到的，則稱為線性分組碼。它是一類重要的糾錯碼，應(yīng)用十分廣泛，后面討論的Hamming碼、BCH碼等都可以看作線性分組碼的特例。3.1.2 線性分組碼與生成矩陣線性分組碼的編碼過程較為簡單，我們可以用多種方式來表示這一過程，在此，我們引入生成矩陣。對于線性分組碼，生成矩陣是一個k×n階的矩陣。設(shè)輸入的信息為U=u1,u2,uk，生成的碼字為C=cn-1,cn-2,c0，則C=UG，其中，G是生成矩陣。顯然，對于一定的輸出序列，產(chǎn)生它的生成矩陣不是唯一的。我們把前k位碼字與輸入的k位信息

44、完全相同的已編碼稱為系統(tǒng)碼，相應(yīng)的生成矩陣稱為典型生成矩陣。兩者的一般定義如下8：令表示一個GF(2)上的(n,k)線性分組碼，則必有一個秩為k的k×n階矩陣G滿足： =C | C=UG，CVk 式（3-1）其中，Vk是長度為k的GF(2)上的k維線性空間，稱矩陣G為的生成矩陣。它具有兩個重要性質(zhì)：（1） 任意兩個碼字a，b之和ab。（2） 最小碼距d等于碼的最小重量。 對于一個GF(2)上的(n,k)線性分組碼，若輸入信息序列以不變形式在碼字的任意k位出現(xiàn)，則稱是系統(tǒng)碼。例如，對于一個(n,k)系統(tǒng)碼，其生成矩陣表示為：G = Ik P = 1 0 0 p11 p12 p1n-k0

45、 1 0 p21 p22 p2n-k 0 0 1 pk1 pk2 pkn-k 式（3-2）其中，Ik是k階單位矩陣，P矩陣的取值依具體情況而定。系統(tǒng)碼和非系統(tǒng)碼在糾檢錯性能以及抗干擾性能上是完全一樣的。但由于系統(tǒng)碼的表達(dá)和構(gòu)造簡單，因此常被人們采用。3.1.3 線性分組碼與校驗(yàn)矩陣令表示一個GF(2)上的(n,k)線性分組碼，則必有一個秩為n-k的(n-k)×n階矩陣H滿足：=C|HCT=0,CVn 式（3-3）其中，Vn是長度為n的GF(2)上的n維線性空間，稱矩陣H為的一個校驗(yàn)矩陣或者監(jiān)督矩陣。而且監(jiān)督矩陣和生成矩陣可以相互轉(zhuǎn)化，尤其對系統(tǒng)矩陣來說它們滿足關(guān)系：若， G = Ik

46、 P 式（3-4）則， H = PT In-k 式（3-5）上式中，Ik代表k階單位矩陣，P矩陣的取值依具體情況而定?？梢哉f，校驗(yàn)矩陣反映了已編碼序列各碼字之間的線性約束關(guān)系，在線性分組碼的譯碼過程中起重要作用。3.2 編譯碼過程分析3.2.1 線性分組碼的編碼以上引入了生矩陣和校驗(yàn)矩陣，下面對其編碼過程分析，對于任意給定的k位信息序列：U=u1,u2,uk，將他與生成矩陣（這里假設(shè)為系統(tǒng)矩陣）G=Ik P 相乘，可以求編碼后的n個碼字： cn-1,cn-2,ck,c0=u1,u2,uk 1 0 0 p11 p12 p1n-k0 1 0 p21 p22 p2n-k 0 0 1 pk1 pk2

47、pkn-k 式（3-6）容易看到，k個信息位經(jīng)過編碼之后變?yōu)閚位，且前k位碼字保持不變，相當(dāng)于在原來的碼字后面直接加了n-k個多余比特，也就是監(jiān)督碼元。顯然，其編碼效率為k/n。為了更清楚的表示編碼過程，可以假設(shè)生成矩陣為非系統(tǒng)矩陣：G = g11g1ngk1gkn=g1gk 式（3-7）k位信息碼U=u1,u2,uk的編碼過程重寫如下： C=UG= u1g1+u2g2+ukgk 式（3-8）對某一碼字而言： cn-i= u1g1i+u2g2i+ukgki 式（3-9）其中，uk和gij 均取自二進(jìn)制的0和1。這是利用生成矩陣的一般編碼過程，在這一過程中編解碼十分容易實(shí)現(xiàn)，同時又提供了強(qiáng)大的糾

48、錯和檢錯能力。3.2.2 線性分組碼的譯碼假定系統(tǒng)采用一個GF(2)上的(n,k)分組碼來通信，其校驗(yàn)矩陣為H。若發(fā)送的已編碼碼字為：C =cn-1,cn-2,c0，在傳輸過程中，信道產(chǎn)生的誤碼(錯誤圖樣)為E=en-1,en-2,e0，則接收端得到的碼組為V=CE=vn-1,vn-2,v0。我們可以定義一個向量：S = VHT，并稱向量S為伴隨式。根據(jù)線性分組碼的性質(zhì)CHT=0可得 ：S=EHT 式（3-10）看到，S取值僅與錯誤圖樣E有關(guān)，所以只要求出伴隨式S，便可恢復(fù)出發(fā)送碼字，這提供了一種簡便易行的譯碼思路。具體來講，當(dāng)伴隨式S=0時，表明接收碼字v沒有錯誤，即：C=V。反之，接收碼字

49、V有錯，且C=VE。由于H矩陣是一個n-k行n列的矩陣，所以S是一個n-k維矢量，它可以給出n-k個獨(dú)立的方程，然而傳輸?shù)牟铄eE則是一個n維矢量，有n種可能取值，所以S并不能唯一確定E。對某個給定的S，E可以有2k個的解，即同一個伴隨式可以得到2k個錯誤圖樣，而真正的錯誤圖樣是其中之一。在接收端，譯碼器的作用便是從這些候選錯誤矢量中確定出一個能夠使平均錯判概率最小的矢量。在二進(jìn)制對稱信道信道下，最可能的錯誤圖樣也就是漢明重量最小的接收碼組，也就是非零碼字最少的碼組。3.3 Hamming碼的設(shè)計(jì)與編解碼過程分析3.3.1 Hamming碼簡介以上內(nèi)容從原理上描述了線性分組碼編碼和譯碼。下面具體

50、來說明在給定n、k的情況下，如何設(shè)計(jì)一種高效率的線性分組碼Hamming碼。Hamming碼是1950年由漢明首先構(gòu)造的，它是一種能糾正一位錯碼的效率最高的分組碼?；蛘哒f，Hamming碼是一種糾正單個錯誤的完備碼，即SEC(Single Error Correcting)碼。這種編碼不僅具有良好的性能，而且編譯碼電路非常簡單，易于實(shí)現(xiàn)。所以，從20世紀(jì)50年代問世以來，它最先被用于磁芯存儲器，60年代初用于大型計(jì)算機(jī)，70年代在MOS存儲器中得到應(yīng)用，后來在中小型計(jì)算機(jī)中普遍采用，目前常用于RFID系統(tǒng)中多位錯誤的糾正?？傊琀amming碼在提高系統(tǒng)可靠性方面獲得了廣泛的應(yīng)用。Hammin

51、g碼的構(gòu)造必須滿足關(guān)系式： 碼長：n=2m-1 信息位：k=2m-1-m 監(jiān)督位：n-k=m,且m3 最小距離：dmin=3 上式中，n 為碼元總位數(shù)，m為監(jiān)督碼元位數(shù)。Hamming碼能糾正單個錯誤，所以每一種錯誤圖樣不能相同且與伴隨式一一對應(yīng)。這就要求監(jiān)督矩陣H中，任意兩列線性無關(guān)且不為0，而一個m行的H矩陣，最多只能有2m-1列，即為Hamming碼碼長。Hamming碼的構(gòu)造原理類似于偶校驗(yàn)碼。偶校驗(yàn)碼是在信息碼元后增加一位監(jiān)督碼元，使包括信息碼元和監(jiān)督碼元的總碼元中1的個數(shù)為偶數(shù)，這種關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示為：cn-1cn-2c0=S 式（3-11）因?yàn)樵谂急O(jiān)督碼中非零碼字的個數(shù)為偶數(shù)，所以在正確傳輸時，必有 S = 0。這樣，就可以在接收端通過計(jì)算S的值判斷傳輸有無出錯：S = 0，無錯； S = 1，有錯。Hamming碼的編碼與之類似，只是將監(jiān)督碼元增加到多位。也就是說，要指示n位碼元中所有一位錯碼的情況，就必須滿足條件： r個監(jiān)督碼元有2r種組合方式，全零用來表示無錯傳輸，剩下2r-1種情況用來表示2r-1種錯誤。如果2r-1=n，則可以指出所有n位單比特錯誤。3.3.2 (7,4)漢明碼的設(shè)計(jì)下面我們通過構(gòu)造（7，4）漢明碼來分析這一過程。由信息位k=4，且2r-1=n可得：r=3，現(xiàn)取r=3，則n=7。