2003考研數(shù)一真題及解析資料

1、2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、填空題：此題共 6小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上lim(cos x)x 01ln(1 x2)曲面z22x y與平面2x4yz 0平行的切平面的方程是設(shè)x2an cosnx(n 0)，貝 V a>=從R2的基1到基11的過渡矩陣為設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)6x, 00,x y其他,h 那么 PX Y 1一批零件的長度 X (單位：cm cm)服從正態(tài)分布N( ,1),從中隨機(jī)地抽取 16個0.95的置信區(qū)間是零件，得到長度的平均值為 40 (cm)，那么 的置信度為(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(1.9

2、6) 0.975, (1.645) 0.95.)二、選擇題：此題共 6小題，每題4分，共24分，以下每題給出的四個選項中，只有 一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)(1)設(shè)函數(shù)f (x)在()內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如下列圖,0,lim bn1,lim cnnn，那么必有()那么f(x)有()(A) 一個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)(B) 兩個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)(C) 兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)(D) 三個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn) (2)設(shè)an,bn, Cn均為非負(fù)數(shù)列，且lim ann(A) anbn對任意n成立.(B) bncn對任意n成立.(C)極限limanG不存在.n(D)極

3、限lim bnCn不存在.n 函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且limx 0,yf(x,y) xy0 (x y )1，那么(A)點(diǎn)(0,0)不是f (x, y)的極值點(diǎn).(B) 點(diǎn)(0,0)是f (x, y)的極大值點(diǎn)(C) 點(diǎn)(0,0)是f (x, y)的極小值點(diǎn)(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0,0)是否為f (x, y)的極值點(diǎn).設(shè)向量組I :1, 2, r可由向量組II :1, 2, s線性表示，那么()(A)當(dāng)r s時，向量組II必線性相關(guān).(B)當(dāng)r s時，向量組II必線性相關(guān)(C)當(dāng)r s時，向量組I必線性相關(guān).(D)當(dāng)r s時，向量組I必線性相關(guān)設(shè)有齊次線性方程

4、組 Ax 0和Bx 0,其中代B均為m n矩陣，現(xiàn)有4個命題: 假設(shè)Ax 0的解均是Bx 0的解，那么秩(A)秩(B)； 假設(shè)秩(A)秩(B)，那么Ax 0的解均是Bx 0的解； 假設(shè)Ax 0與Bx 0同解，那么秩(A)=秩(B)；假設(shè)秩(A)=秩(B)，那么Ax0與Bx 0同解以上命題中正確的選項是()(A)(B).(C)(D)(6)設(shè)隨機(jī)變量 X t(n)(n1),Y12 ，X2那么()2(A) Y (n).(B)Y2(n 1)(C) Y F(n,1).(D)YF(1, n).三、(此題總分值10分)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y In x的切線，該切線與曲線y In x及x軸圍成平面圖形 D .(1

5、) 求D的面積A;(2) 求D繞直線xe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V .四、(此題總分值12分)將函數(shù)f(x)(1)n°2n 11 2xarctan飛展開成x的冪級數(shù)，并求級數(shù)五、(此題總分值10分)平面區(qū)域D(x, y) 0x,0 y，L為D的正向邊界.試證sin y(1)嚴(yán) dysin x 1ye dx:xeLsin ysin xdy yedx；sin y(2) xedysin x 1ye dx2 2.六、(此題總分值10分)某建筑工程打地基時，需用汽錘將樁打進(jìn)土層汽錘每次擊打，都將克服土層對樁的阻力而作功設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k 0).汽

6、錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下 am.根據(jù)設(shè)計方案，要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù) r(0 r 1).問(1) 汽錘擊打樁3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？(2) 假設(shè)擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深? (注：m表示長度單位米.)、(此題總分值12分)設(shè)函數(shù)y y( x)在()內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 y 0,x x(y)是y y(x)的反函(1)試將x x(y)所滿足的微分方程今 (y sinxX)30變換為y y(x)滿足dydy的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)0, y (0)、(此題總分值12分)設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且恒大于零,F(t)f (x2

7、 y2z2)dv(t)f(x2 yD(t)dG(t)f(x2D(t)t2 ，1f(x )dx其中(t)(x,y,z)z2 t2，D(t)(x, y) x(1)討論F (t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性y2)d22 以、y t.證明當(dāng)t 0時，F(xiàn)(t)2G(t).九 、 (此題總分值 10 分 )322010設(shè)矩陣 A 232 ， P101*1 ， B P 1A*P ，求 B 2E 的特征值與特征223001向量，其中A為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣 十 、(此題總分值 8 分)平面上三條不同直線的方程分別為0， l3 :cx 2ay 3b 0.l1 :ax 2by 3c 0 ， l2 :bx 2

8、cy 3a試證 : 這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為 a b c 0.十一 、 (此題總分值 10 分) 甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品， 其中甲箱中裝有 3件合格品和 3件次品， 乙箱中僅裝 有 3 件合格品 . 從甲箱中任取 3 件產(chǎn)品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望；(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率 .十二 、(此題總分值 8分 )設(shè)總體 X 的概率密度為f(x)2e 2(x ),x0, x其中 0是未知參數(shù).從總體X中抽取簡單隨機(jī)樣本 X1,X2, ,Xn ,記min(X1,X2, ,Xn).(1) 求總體 X 的分布函數(shù) F(x);(2) 求統(tǒng)計量 ?的分布

9、函數(shù) F?(x) ；(3) 如果用 ?作為 的估計量，討論它是否具有無偏性2003 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析、填空題1(1)【答案】迄【詳解】方法1 ：求lim u(x)v(x)型極限，一般先化為指數(shù)形式limu(x)v(x) lim ev(x)lnu(x)然后求lim v(x)ln u(x)，再回到指數(shù)上去.lim (cos x)ln(112、 2x )ln(1 x )=lim ex 0ln cosxlimxeln cosxoln(1 x2)moHxIn cosx2ln(1 x )ln(1 cosx 1) cosx 1lim2 lim丁 (等價無窮小替換ln(1 x): x

10、)x 0 ln(1 x ) x 0 x-x!i叫1(等價無窮小替換1 cosx: * X2)1 原式=e °12方法 2：令 y (cosx)ln(1 x)，有 ln yln cosxln(1 x2)，以下同方法1.(2)【答案】2x 4y z 5【詳解】由題意，只要滿足所求切平面的法向量與平面的法向量平行即可.平面2x4y z 0的法向量：n12,4,1；曲面z在點(diǎn)(Xo, yo,Zo)的法向量:n2Zx(xo,yo),Zy(xo,yo),12x),2y°, 1由于 n1 / n2，因此有2xo22y°4可解得，x01, yo2，相應(yīng)地有Zo2xo2 yo5.所

11、求切平面過點(diǎn)(1,2,5)，法向量為:n22,4,1,故所求的切平面方程為2(x 1)4(y 2) (z 5)0，即卩 2x4y z 5【答案】1【詳解】將f(x) x2( x)展開為余弦級數(shù)f(x) x2an cos nx(x )，其中 anf (x)cos nxdx -n 0221212所以a2- 0x COQdx 0xdsin2x xsin2x 0°sin2x2xdE1xd cos2x0xcos2x 0° cos2 xdx 123【答案】12【詳解】n維向量空間中，從基1 , 2 , ,n到基1,2, ,n的過渡矩陣P滿足1,2 ,n=1,2, n P因此過渡矩陣P為

12、:P=1 ,2, n 11 , 2 ,n.根據(jù)定義，從2R的基11, 21到基11 ,12的過渡矩陣為011212 1 , 21 111 11 11 123P=1 ,=0 11 21 2 .0 11 21【答案】-4.【分析】此題為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求滿足定條件的概率Pg(X,Y) z。.連續(xù)型二維隨機(jī)變量(X,Y)概率的求解方法F(x, y)y xf(u,v)dudv,此題可轉(zhuǎn)化為二重積分 Pg(X,Y) z0g(x,y)【詳解】圖中陰影區(qū)域為積分區(qū)域由題設(shè)，有Z)f (x, y)dxdy進(jìn)行計算.PX Y1x y 1f(x,y)dxdy12 dx0x6xdy1&

13、#176;(6x 12x2)dx(6)【答案】(39.51,40.49).【分析】可以用兩種方法求解:(1)方差 2 1，對正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行估計因為X : N( ,1)，設(shè)有n個樣本，樣本均值X1 "一 Xi，那么 X : N( n i 1丄)，將其標(biāo)準(zhǔn)化,n由公式X E(X)D(X)n N(0,1)X得：N(0,1)U2.n，XU2 .n)-可確定臨界值u ,進(jìn)而確定相應(yīng)的2置信區(qū)間(X(2)此題是在單個正態(tài)總體方差條件下，求期望值的置信區(qū)間問題由教材上已經(jīng)求出的置信區(qū)間(x u2,n，xu鄉(xiāng)石),其中PU,U : N(0,1),可以直接得出答案.【詳解】方法1 :由題設(shè)，1

14、u 1.96.此題 n 16, x20.95，可見 0.05.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知分位點(diǎn)40.即 P39.51根據(jù)P1.9640.490.95 ,故0.95，有 P1.960.95 ,的置信度為0.95的置信區(qū)間是(39.51,40.49) 方法2：由題設(shè)，10.95,PU u P u U22u 2 (u ) 1 0.95, (u ) 0.975"222查得u 1.96.將240代入(xu £)得置信區(qū)間(39.51,40.49)二、選擇題(1)【答案】(C)【答案】(A)【詳解】由limx 0, y0(；兀2/ 1 f(x,y) xy (1 )(x y)，其中嗎0【分析】函

15、數(shù)的極值點(diǎn)可能是駐點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)為零 或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值 點(diǎn)可進(jìn)一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的 點(diǎn)有3個導(dǎo)函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個數(shù)；x 0是導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn).對3個一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號均不一致，故必為極值點(diǎn)，其中第一個交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號由正變?yōu)樨?fù)，是極大值點(diǎn)；第二個交點(diǎn)和第三個交點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號由負(fù)變?yōu)檎? 是極小值點(diǎn)，那么三個駐點(diǎn)中有兩個極小值點(diǎn)，一個極大值點(diǎn)；對導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)：x 0 .左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x 0為極大值點(diǎn).故f x共有兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)，應(yīng)選C.【答案】D【詳

16、解】方法1 ：推理法由題設(shè)lim bn 1，假設(shè)lim bnCn存在并記為nnA，那么 limnCnlimn墮 A,這與bnlim cnn矛盾，故假設(shè)不成立,lim dG不存在.n所以選項D正確.方法2:排除法1,bnnn 1取anan0 ,lim bn1,n而 a11,b1b , (A)不正確;取bnCn2，滿足 lim bn1, lim Cn-n，而 bi0Ci, (B)不正確;取an2，滿足 lim ann0, lim cnn，而 lim ancnnC不正確.由 f (x, y)在點(diǎn)(0,0)連續(xù)知，f (0,0)0.取y x , x充分小，x 0，有f x, yx2(1)(2x2)20

17、;取y x , x充分小，x 0，有f x,yx2 (1)(2x2)2 0故點(diǎn)0,0不是f x, y的極值點(diǎn)，應(yīng)選A.極值的定義假設(shè)向量組I :(4)【分析】 此題為一般教材上均有的比較兩組向量個數(shù)的定理:可由向量組II : 1, 2, , s線性表示，那么當(dāng)r s時，向量組I必線性相關(guān). 或其逆否命 題：假設(shè)向量組I : 1, 2, , r可由向量組II : 1, 2, , s線性表示，且向量組I線性無 關(guān)，那么必有r s 可見正確選項為(D)此題也可通過舉反例用排除法找到答案.【詳解】用排除法：0101 0,1 0 , 21，那么10102，但 1,2線性無關(guān)，排除(A)；0111 0,2

18、 0, 10那么1,2可由1線性表示，但1線性無關(guān)，排除(B);1101 _ ,1 _ , 21可由1,2線性表示，但1線性無關(guān)，排除(C).001【答案】(B)【分析】此題可找反例用排除法進(jìn)行分析，但、兩個命題的反例比較復(fù)雜一些，關(guān)鍵是抓住、，迅速排除不正確的選項.【詳解】假設(shè)AX 0與BX 0同解，那么它們的解空間中的根底解系所含向量個數(shù)相同，即n-秩(A)= n-秩(B),得秩(A)=秩(B),命題成立，可排除(A), (C)；但反過來，假設(shè)秩(A)=秩(B),那么不能推出 AX 0與BX 0同解，通過舉一反例證明，卄1000假設(shè)A, B，那么秩(A)=秩(B)=1，但AX 0與BX 0

19、不同解，可見命0 0 0 1題不成立，排除(D).故正確選項為(B).2變量、t變量、F變量的典型模式.【答案】(C).【分析】求解這類問題關(guān)鍵在于了解產(chǎn)生n2 2(1) 分布：設(shè)X1,X2,L , Xn相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，那么隨機(jī)變量Z Xii 1服從自由度為n的2分布記做Z :2(n).(2)t分布：設(shè)X1 : N(0,1), X2 2(n)，且X1,X2相互獨(dú)立，那么隨機(jī)變量Z 4Jx2/n服從自由度為n的t分布記做Z : t(n)XZF分布：設(shè)X :2(nJ,Y : 2(n2),且X,Y相互獨(dú)立，那么隨機(jī)變量Z 1服從F分布，其第一、二自由度分別為ni,門2.記做Z : Fg

20、m).【詳解】其實，由 F分布的性質(zhì)以及t分布和F分布的關(guān)系得,(1)如果統(tǒng)計量 T : t(n)，那么有T2 : F(1,n)；(2)如果統(tǒng)計量F : F(nim)，那么有 右：F(壓,口) 由以上兩條性質(zhì)可以直接得出此題的答案為(C).先由t分布的定義知Xt(n)，其中 U N(0,1),V 2(n)，于是V _n2 = 2X2 U 2所以u22(1).由F分布的定義知YF( n,1).分母中只含有一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方,故應(yīng)選(C).1三【分析】圓錐體體積公式：V - r2 h ;旋轉(zhuǎn)體的體積:3(1)連續(xù)曲線yf (x)，直線 x a、xb所圍成的圖形繞直線x xo旋轉(zhuǎn)周而成的立體的體

21、積V1ba f(x)Xo2dx(2)連續(xù)曲線Xg(x),直線y c、yd所圍成的圖形繞直線yyo旋轉(zhuǎn)周而成的立體的體積V2dg(y)cyo2dy【詳解】為了求D的面積，首先要求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 X。,那么曲線y In x在點(diǎn)(xg,ln xo)處的切線方程是：1y ln Xo (x Xo).Xo1切線的斜率為y x ，由于該切線過原點(diǎn)，將 (0,0)點(diǎn)代入切線方程，得lnx°10 ,X。從而Xoe.所以該切線的方程為1 y -x.e1利用平面圖形 D的面積公式S yy dy，得i1A 0ey eydy -e 1.2旋轉(zhuǎn)體體積可用一大立體圓錐體積減去一小立體體積進(jìn)行計算，

22、為了幫助理解, 可畫一草圖.切線y曲線yV2與x軸及直線x e所圍成的三角形繞直線 ex e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為:10 (eey)2dyIn x與x軸及直線e所圍成的圖形繞直線 x e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為:10 (eey)2dy1(e20 2e eye2y)dy/ 2(e y2eey尹因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為-3VV1 V2(eey)2dy嚴(yán)2 12e 3).四【分析】幕級數(shù)展開有直接法與間接法，一般考查間接法展開，即通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍?求導(dǎo)或積分等，轉(zhuǎn)化為可利用幕級數(shù)展開的情形.另外，由于函數(shù)展開成的幕級數(shù)，經(jīng)兩邊求導(dǎo)或積分其中一邊是逐項求導(dǎo)或逐項積分 后，其新的展開式收斂區(qū)間不變，但在收

23、斂區(qū)間端點(diǎn)處，求導(dǎo)積分后的展開式成立與否，要另行單獨(dú)處理，設(shè)已有f (x)an(x x°)nn 0收斂區(qū)間為滄 R,x。 R.如果在x x0 R處級數(shù)收斂，并且fx左連續(xù)，那么展開式成立的范圍可擴(kuò)大到 x x0 R處，在x x0 R處亦有類似的結(jié)論，不過此時fx左連續(xù)應(yīng)改稱右連續(xù).【詳解】此題可先求導(dǎo),1 2x1 2xf (x),1 2x11 2x所以對于函數(shù)1111 4x2f (x)2(12x)2(1 2x)1 2x 21 2x 21 2x根本求導(dǎo)公式42(1 4x2)1 4x2對上式兩邊求積分,，可以利用我們所熟悉的函數(shù)x2 L的幕級數(shù)展開:1)(4x2)nn 0_ 1 4?n

24、n 2n1) 4 x4x212(把x換成4x )21得n n 2n1) 4 x ,f (x) f (0)(t)dt1)n4nt2n dt(1)n4nx ct2ndt02n0 2n1 1，x ( 2,2)，又因為f(0)，所以4f (x) f (0)(t)dt =-4(2nn njU_X2n1,x1 2x arcta n1 2x(1)n4nx0 2n 12n1,x1，2)(*)1在x 處，右邊級數(shù)成為(1)nn 0 2 n 1，收斂(利用萊布尼茨定理)，左邊函數(shù)f (x)連續(xù)，所以成立范圍可擴(kuò)大到x不連續(xù)，所以成立范圍只能是1處.而在x2(1 Jx (,.2 21處，右邊級數(shù)雖然收斂，但左邊函數(shù)

25、f (x)為了求 S-n 0 2 n 1，令丄代入(*)得2(1)4n1 0 2n 122n 1(1)n4 n 0 2 n 1再由f2o，得丄-仁丄)-n 0 2 n 1-2-五【詳解】1方法1：用格林公式證明.由曲線為正向封閉曲線，自然想到用格林公式所以所以? Pdx QdyDsin y .sin x .xedy ye dxsin y .sin x .Lxedy ye dxPdxdy ysin ysin x、(e e )dxdyDsin ysin x、(e e )dxdyD因為積分區(qū)域 D關(guān)于y x對稱，所以sin y(e eDx與y互換sin x、)dxdy(esinyDsin x )dx

26、dysin y .xe dy方法2:化為定積分證明sin xye dxLxesin ydysin x -ye dx左邊蜒|esinydysinxLyedx= 0sin y Ie dy0 .sin x |e dx=0sinx sin(e ex)dx右邊sin xLyedx =sin ye dy0 . sin x edx =sin x0(ee sinx)dxsin y Ixe dy yesin xdxxeLsin ysin xdy ye dx.2方法1:用格林公式證明sin y Ixedy yesin xdx(esinyDsin x x |e )dxdysin ye dxdysin xeDsin

27、xsin x、(e e )dxdydxdy =Dsinexdxdysinxdxdy利用輪換對稱性2dxdyD(因為 a b 2 ab,a 0,b 0)方法 2：由1知，？xesinydy ye sinxdx 。/ sin x(esinx、.)dx22dx 20六【詳解】1建立坐標(biāo)系，地面作為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向，設(shè)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下xn，第n次擊打時，汽錘所作的功為 Wnn 1,2,3, 由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)地下 的深度為x時，土層對樁的阻力的大小為 kx，汽錘所作的功等于克服阻力所做的功.W1x1k 2x2kxdxx1 , W,kxdx02x1k 2(x22X；) , W3x3k

28、22kxdx(X3X,) , x ax22從而k 2g Wb x；2又W2rW1 , W rW2 r2W1,從而k 2X3 2wW, Wb(1 r r2)w(1 r2、k 2r)2a于是 x3 a . 1 r r .(2)第n次擊打后，樁被打進(jìn)地下xn,第n次擊打時，汽錘所作的功為 Wn(n 1,2,3, ) 那么汽錘前n次所功的和等于克服樁被打進(jìn)地下xn m所做的功.Wn(1 r Lxno kxdx W!ak 2而kxdx a牛-萊公式02所以kxn2(1 r L rn 1)ka22 2從而等比數(shù)列求和公式由于0 r1，所以 lim xn 1na七【詳解】(1)將題中的$與d'xdy

29、dy2變換成以沏自變量y為因變量的導(dǎo)數(shù)烹與業(yè)2 來表dx2示(即通常所說的反函數(shù)變量變換)，有dx 1dy dy dxd2xdy20岸)=2(丄)空=£dy dy dx y dy yy(y )3.代入原方程，得y sin x.(2)方程(* )所對應(yīng)的齊次方程為y y 0，特征方程為r210 ,根 r1,21,因此通解為Y C1ex C2ex.由于不是特征方程得根，所以設(shè)方程(* )的特解為y AcosxBsin xy Asin xBcosx ,Acosx Bsin x代入方程(*)，得：Acosx1 *0, B ,故 y2解得ABsinx A cosx Bsi nx 2Acosx

30、2Bsi nx si nx1 sinx.從而y y si nx的通解為C2e1 . sin x.2y(o)y(0) 0, y (0) |，得 C11 .故變換后的微分方程滿足初始條件o,y(o)I的解為1 . sin x.2且y(x)的導(dǎo)函數(shù)y(x)cosx 0 ,滿足題設(shè)y 0條件.八【詳解】(1)首先對F(t)進(jìn)行化簡，三重積分轉(zhuǎn)化為在球面坐標(biāo)系中的計算；二重積分轉(zhuǎn) 化為在極坐標(biāo)系中的計算.f(x2(t)y2 z2)dvto f (r )r sin drt 2 20sin d 0f(r )r drt 2 20 f (r )r drcos一tf (r2)r2dr(球面坐標(biāo))f(x2D(t)d

31、t0 f (r )rdrt0 f (r )rdr(極坐標(biāo))所以F(t)to f (r )r sin dr0 f(r )rdrt0 f(r )r dr- 2f (r2)rdrt2 o f (r2)r2dr-120 f(r )rdr為了討論F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性，對F(t)求導(dǎo):F(t)t2f(t2)2t 2 t 2 2 20f(r )rdr 0 f (r )r dr f(t )t2、 2由于f(t)0,r0,t rf(x)0,那么因為所以t 220f(r2)rdr2t2tf(t ) 0f(r )r(t r)drt0f(r2)rdr20,所以f(r2)r(t r) 0.再利用定積分的性質(zhì)

32、：假設(shè)在區(qū)間a,b上bf(x)dx 0.所以F (t)0，所以F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.a將待證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏?，?gòu)造輔助函數(shù)，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可. t 2ttf(x2)dx 2 0f(x2)dxt0f(r2)dr ,f(x2 y2)d G(t)牛tf(x2)dxt20 f (r )rdrt22 f(r2)dr0t0f (r )rdrf (r2)dr要證明t 0時F(t) -G(t)，只需證明t 0時，F(xiàn)(t)-G(t) 0，即F(t)2G(t)t2 o f(r=)r=dr2 0f (<)rdrf (r2)rdrt 20f(r2)drg(t)g(t)故 g(t)

33、在(0,從而t 0時,0的2)汕t 20f(r2)drt0 f(r )rdro f (r2)r2dr o f (r2)dr20f (r2)rdrt 20f(r )dr20 f (r2)rdrf (t2)t2 ； f (r2)dr f (t2) : f (r2)r2dr2f (t2)t : f (r2)rdr2 t 2 2f(t2) of (r2)(t r)2dr 0 t 0)內(nèi)單調(diào)增加，又因為g(0)0,所以當(dāng) t 0時，有 g(t) g(0)0,F(t) -G(t).九【分析】 法1 ：可先求出A , P 1，進(jìn)而確定B P 1A P及B 2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；法2：先求

34、出A的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量，最終根據(jù) B 2E與A【詳解】方法1:經(jīng)計算可得522A* 252，22570所以 B P 1A*P=252 29令E (B 2E)22故B 2E的特征值為2E相似求出其特征值與特征向量.0 1 11P 100,0 0 109004 ,B2E27432250074(9)2(3)0 ,259, 33.29時，解(9EA)x 0 ,得線性無關(guān)的特征向量為A)x 0 ,得線性無關(guān)的特征向量為方法2：設(shè)A的特征值為，對應(yīng)的特征向量為，即A由于A 70，所以 0.所以A* A AEAE*A (AA(E )因此,B(P(B2E)P1A P(P1)

35、 -(P12)P 12E的特征值，對應(yīng)的特征向量為 P 1由于E A3 22232(1)2(7)，故A的特征值為12 1,3 72231211 ,2 0 ,01所以屬于特征值129的所有特彳正向量為12k1 1k2 2k1 1k20 ，其中kk2是不全為零的任意常數(shù)01當(dāng)33時，解(3E0所以屬于特征值 3 3的所有特征向量為k3 3 k3 1 ，其中k3 0為任意常數(shù).當(dāng)121時，對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為111 1 ,2 00111當(dāng)3 7時，對應(yīng)的一個特征向量為3110 11 111 0由 P 1100 ，得 P 1 11P 1 21 , P 1 31 .0 0 101 1因此，B2E

36、的三個特征值分別為9,9, 3.對應(yīng)于特征值9的全部特征向量為11k1P 11 k? P 2k 11k21 ,其中k1,k2是不全為零的任意常數(shù);01對應(yīng)于特征值3的全部特征向量為01k3P 3 k3 1 ，其中k3是不為零的任意常數(shù).1十【分析】三條直線相交于一點(diǎn)，相當(dāng)于對應(yīng)線性方程組有唯一解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣與 增廣矩陣的秩均為 2.3e,3a,(*)3b,a2ba2b3eAb2e與增廣矩陣Ab2e3a的秩均為2,于e2ae2a3b【詳解】方法1: “必要性.設(shè)三條直線l1,l2,l3交于一點(diǎn)，那么線性方程組ax 2bybx 2cyex 2ay有唯一解，故系數(shù)矩陣是A 0.a2b3ea

37、be 2(b e a)3(e a b)b2e3ab2e3ae2a3be2a3bA123111(a b e)b2e3a6(a b e)beae2a3beab100c b a b6( abc)bc babb6(a b c)a c b cca cc6( abc)(cb)(bc)(ab)(a c)6( abc)(bc2 cb2bca2 ac abbc)2 2 26(abc)(abcac ab be)3(abc)(ab)2(bc)2 (c a)2,由于三條直線互不相同，所以(a b)2 (b c)2 (c a)20，故a b c 0.a 2bb 2c2(ac b2)“充分性 由a b c 0,那么從必要性的證明可知，|A 0,故秩(A) 3. 由于2123 22a(a b) b = 2(a -b) b 0，24故秩(A) 2 于是，秩(A)=秩(A) =2因此方程組(*)有唯一解，即三直線l1,l2,l3交方法2： “必要性設(shè)三直線交于一點(diǎn)X0(xoy。)，那么 y°1為BX0的非零解，其中B2b2c3c3a .2a3ba 2b 3ca 2b 3cBb 2c 3ab 2c 3aAc 2a 3b