第12章時(shí)序列模型

1、信信息息系系劉劉康康澤澤第第1212章章 時(shí)間序列模型時(shí)間序列模型 信信息息系系劉劉康康澤澤主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念 第二節(jié)第二節(jié) 自回歸過(guò)程自回歸過(guò)程 第三節(jié)第三節(jié) 移動(dòng)平均過(guò)程移動(dòng)平均過(guò)程 第四節(jié)第四節(jié) 自回歸移動(dòng)平均過(guò)程自回歸移動(dòng)平均過(guò)程信信息息系系劉劉康康澤澤 例如線性回歸模型中的隨機(jī)誤差項(xiàng)例如線性回歸模型中的隨機(jī)誤差項(xiàng)u1，u2，un可以看著是可以看著是隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程， u-1，u0， u1， ，ut ， 的一個(gè)的一個(gè)樣本樣本。 如果隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)過(guò)程ut的分布不隨時(shí)間的改變而變化，并且的分布不隨時(shí)間的改變而變化，并且 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程：依賴(lài)于參數(shù)時(shí)間依賴(lài)

2、于參數(shù)時(shí)間t的隨機(jī)變量集合的隨機(jī)變量集合yt 稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。22()0()()cov(,)0,tttute ud ue uu ut 稱(chēng)這一隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)這一隨機(jī)過(guò)程ut為為白噪音（白噪音（white noise）。）。第一節(jié)第一節(jié) 基本概念基本概念信信息息系系劉劉康康澤澤 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：如果隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)過(guò)程yt滿足滿足 只依賴(lài)于只依賴(lài)于yt和和yt+k之間的時(shí)期數(shù)之間的時(shí)期數(shù)k，而與，而與t無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。2()()cov(,)ttytt ke yd yyy 信信息息系系劉劉康康澤澤平穩(wěn)平穩(wěn)非平穩(wěn)非平穩(wěn)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程舉例平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程舉例信信息息系系劉劉康康澤澤 自相關(guān)函數(shù)

3、自相關(guān)函數(shù)：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程對(duì)于隨機(jī)過(guò)程 yt ， yt和和yt+k之間的自相關(guān)函數(shù)為之間的自相關(guān)函數(shù)為cov(,)() ()tt kktt kyyd y d y 如果如果yt為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程0cov(,)() ()tt kkktt kyyd y d y 信信息息系系劉劉康康澤澤 但是在實(shí)際計(jì)算時(shí)，只能計(jì)算但是在實(shí)際計(jì)算時(shí)，只能計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)樣本自相關(guān)函數(shù) 樣本自相關(guān)函數(shù)舉例樣本自相關(guān)函數(shù)舉例121()()()n ktt ktknttyyyyyy 信信息息系系劉劉康康澤澤第二節(jié)第二節(jié) 自回歸過(guò)程（自回歸過(guò)程（ar） 前面我們討論過(guò)自回歸模型前面我們討論過(guò)自回歸模型1tttyyu 如

4、果時(shí)間序列如果時(shí)間序列yt有有1122tttptptyyyyu 其中為其中為ut白噪音，稱(chēng)上式為白噪音，稱(chēng)上式為p階自回歸過(guò)程階自回歸過(guò)程ar(p)。白噪音白噪音信信息息系系劉劉康康澤澤一一 自回歸過(guò)程的平穩(wěn)條件自回歸過(guò)程的平穩(wěn)條件 1 一階自回歸過(guò)程一階自回歸過(guò)程12121221322312323123()()tttttttttttttttttttttyyuyuuuuyuuyuuuuyuuuu 信信息息系系劉劉康康澤澤 只有當(dāng)只有當(dāng) 時(shí)，時(shí)，()0,()0tte ue y2246()(1)tud y 1 224622()(1)1tuud y 信信息息系系劉劉康康澤澤22242224622co

5、v(,)()(1)1tt ktt kkkkuuukukuyye y y 23123t kt kt kt kt kyuuuu 這表明這表明 只與只與k有關(guān)。因此從上述分析得知有關(guān)。因此從上述分析得知當(dāng)當(dāng) 時(shí)，一階自回歸過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程。時(shí)，一階自回歸過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程。cov(,)tt kyy 1 23123tttttyuuuu信信息息系系劉劉康康澤澤 對(duì)于對(duì)于p階自回歸過(guò)程，也有類(lèi)似的結(jié)論。階自回歸過(guò)程，也有類(lèi)似的結(jié)論。 2 p階自回歸過(guò)程階自回歸過(guò)程1122tttptptyyyyu信信息息系系劉劉康康澤澤 一階自回歸過(guò)程一階自回歸過(guò)程ar(1)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為二二 自回歸過(guò)程的自相關(guān)函

6、數(shù)自回歸過(guò)程的自相關(guān)函數(shù) 220cov(,)() ()kyktt kkkytt kyyd y d y 對(duì)于對(duì)于p階自回歸過(guò)程階自回歸過(guò)程ar(p) ，由于，由于1122tttptptyyyyu11221122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)1ktt ktt ktt kptpt kkkpkpyyyyyyyy 信信息息系系劉劉康康澤澤 當(dāng)當(dāng)k=0時(shí)，時(shí)，20112221122()()()tttttptptppud ye ye yyyyu 用用 除除1的左右兩邊得的左右兩邊得20y 1122001122kkpkpkkkkpkp 信信息息系系劉劉康康澤澤 當(dāng)自回歸階數(shù)當(dāng)自回歸階數(shù)p已知

7、，可直接用已知，可直接用ols法估計(jì)參數(shù)法估計(jì)參數(shù)三三 自回歸過(guò)程的估計(jì)自回歸過(guò)程的估計(jì) 1 自回歸階數(shù)自回歸階數(shù)p已知已知信信息息系系劉劉康康澤澤 如果自回歸階數(shù)如果自回歸階數(shù)p未知，最關(guān)鍵的就是確定未知，最關(guān)鍵的就是確定p，可根據(jù)自相關(guān)圖，可根據(jù)自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖來(lái)確定。和偏相關(guān)圖來(lái)確定。 將將p求出后，就可以直接利用求出后，就可以直接利用ols法估計(jì)參數(shù)。下面介紹偏相關(guān)法估計(jì)參數(shù)。下面介紹偏相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法。系數(shù)檢驗(yàn)法。 當(dāng)樣本的容量當(dāng)樣本的容量n很大時(shí)，樣本偏相關(guān)系數(shù)近似地服從均值為零，很大時(shí)，樣本偏相關(guān)系數(shù)近似地服從均值為零，方差為方差為1/n的正態(tài)分布。因此偏相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法的步驟為：

8、的正態(tài)分布。因此偏相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法的步驟為： 2 自回歸階數(shù)自回歸階數(shù)p未知未知信信息息系系劉劉康康澤澤 檢驗(yàn)方法：檢驗(yàn)方法： 步驟步驟1：計(jì)算出置信區(qū)間：計(jì)算出置信區(qū)間 ； 步驟步驟2：計(jì)算出各階樣本偏相關(guān)系數(shù)：計(jì)算出各階樣本偏相關(guān)系數(shù) （可以由偏相關(guān)函數(shù)圖得（可以由偏相關(guān)函數(shù)圖得到）；到）； 步驟步驟3：考察：考察 是否落在此區(qū)間內(nèi)。如果是否落在此區(qū)間內(nèi)。如果 落在區(qū)間外，則說(shuō)明落在區(qū)間外，則說(shuō)明 是顯著的（即是顯著的（即 ）；否則）；否則 是不顯著的（即是不顯著的（即 ）。）。k 0k 0k 22(,)nn k k k k 【注】【注】上述置信區(qū)間是在置信度為上述置信區(qū)間是在置信度為95%

9、下取得的。下取得的。信信息息系系劉劉康康澤澤第三節(jié)第三節(jié) 移動(dòng)平均過(guò)程（移動(dòng)平均過(guò)程（ma） 一一 移動(dòng)平均過(guò)程移動(dòng)平均過(guò)程 如果如果y的模型描述為的模型描述為11tttyuu 白噪音白噪音 yt為兩個(gè)白噪音的加權(quán)和，稱(chēng)上述過(guò)程為為兩個(gè)白噪音的加權(quán)和，稱(chēng)上述過(guò)程為一階移動(dòng)平均過(guò)程一階移動(dòng)平均過(guò)程ma(1)。 更一般地更一般地11tttqt qyuuu稱(chēng)為稱(chēng)為q階移動(dòng)平均過(guò)程階移動(dòng)平均過(guò)程ma(q)。信信息息系系劉劉康康澤澤 二二 移動(dòng)平均階數(shù)的確定移動(dòng)平均階數(shù)的確定 1 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 對(duì)于一階移動(dòng)平均過(guò)程對(duì)于一階移動(dòng)平均過(guò)程ma(1)11tttyuu 由于由于ut為白噪音為白噪音111

10、1()()()()0ttttte ye uue ue u2112221111221()()()2()()(1)tttttttud ye uue ue u ue u 信信息息系系劉劉康康澤澤因此自相關(guān)函數(shù)因此自相關(guān)函數(shù)11112111111122121cov(,)()()()()()()(1)0101tt kttt kt ktt ktt ktt ktt kuuyye uuuue u ue u ue uue uukkk 12101cov(,)1() ()02,3,tt kkktt kkyyd y d yk 信信息息系系劉劉康康澤澤 對(duì)于對(duì)于q階移動(dòng)平均過(guò)程階移動(dòng)平均過(guò)程ma(q)11tttqt q

11、yuuu211cov(,)()ktt kkkqk quyy 22201()(1)tuqd y112220101,2,01,2,kkqk qkqkkqkqq 信信息息系系劉劉康康澤澤我們利用自相關(guān)函數(shù)圖來(lái)確定我們利用自相關(guān)函數(shù)圖來(lái)確定q，樣本自相關(guān)系數(shù)為樣本自相關(guān)系數(shù)為 當(dāng)樣本的容量當(dāng)樣本的容量n很大時(shí)，可以證明很大時(shí)，可以證明 近似服從均值為近似服從均值為0，方差，方差為為1/n的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。 2 移動(dòng)平均階數(shù)移動(dòng)平均階數(shù)q的確定的確定121()()()n ktt ktknttyyyyyy k 信信息息系系劉劉康康澤澤 檢驗(yàn)方法：檢驗(yàn)方法： 步驟步驟1：計(jì)算出置信區(qū)間：計(jì)算出置信區(qū)間

12、 ； 步驟步驟2：計(jì)算出各階樣本自相關(guān)系數(shù)：計(jì)算出各階樣本自相關(guān)系數(shù) （可以由自相關(guān)函數(shù)圖得（可以由自相關(guān)函數(shù)圖得到）；到）； 步驟步驟3：考察：考察 是否落在此區(qū)間內(nèi)。如果是否落在此區(qū)間內(nèi)。如果 落在區(qū)間外，則說(shuō)明落在區(qū)間外，則說(shuō)明 是顯著的（即是顯著的（即 ）；否則）；否則 是不顯著的（即是不顯著的（即 ）。）。k k k k 0k k 0k 22(,)nn 【注】【注】上述置信區(qū)間是在置信度為上述置信區(qū)間是在置信度為95%下取得的。下取得的。信信息息系系劉劉康康澤澤 二二 移動(dòng)平均模型的估計(jì)移動(dòng)平均模型的估計(jì) 對(duì)于對(duì)于q階移動(dòng)平均過(guò)程階移動(dòng)平均過(guò)程ma(q)11tttqt qyuuu 直

13、接利用直接利用自回歸函數(shù)自回歸函數(shù)112220101,2,01,2,kkqk qkqkkqkqq 將上式中將上式中 的用其估計(jì)值的用其估計(jì)值 代替，通過(guò)解方程求出參數(shù)代替，通過(guò)解方程求出參數(shù) 的的估計(jì)值。估計(jì)值。k k 信信息息系系劉劉康康澤澤第四節(jié)第四節(jié) 自回歸移動(dòng)平均過(guò)程（自回歸移動(dòng)平均過(guò)程（arma） 如果平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程既具有自回歸過(guò)程的特性又有移動(dòng)平均過(guò)程如果平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程既具有自回歸過(guò)程的特性又有移動(dòng)平均過(guò)程的特性，此就需要將二者結(jié)合，得到的特性，此就需要將二者結(jié)合，得到自回歸移動(dòng)平均過(guò)程自回歸移動(dòng)平均過(guò)程arma(p，q)。以。以arma(1，1)為例，其具體的形式為：為例，其具體的形

14、式為：1111ttttyyuu22011112222210111()()2ttttuuue yeyuu 22111021121u 信信息息系系劉劉康康澤澤1111112101222211111111212111121cov(,)()()21()(1)1ttttttttuuuyye y ye yyuu 222112111111cov(,)()(),ttttttttkkyye y ye yyuu 信信息息系系劉劉康康澤澤11111211111()(1)12,2,3,kkk 自回歸移動(dòng)平均回歸過(guò)程自回歸移動(dòng)平均回歸過(guò)程arma(p，q)估計(jì)比較復(fù)雜，需要用估計(jì)比較復(fù)雜，需要用到非線性估計(jì)法。但是使用

15、到非線性估計(jì)法。但是使用eviews軟件包就比較簡(jiǎn)單了，下面將具軟件包就比較簡(jiǎn)單了，下面將具體的過(guò)程演示一下。體的過(guò)程演示一下。信信息息系系劉劉康康澤澤 自回歸求積移動(dòng)平均過(guò)程（自回歸求積移動(dòng)平均過(guò)程（arima） 上述討論的上述討論的ar，ma和和arma均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但是許多時(shí)均為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但是許多時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，即它們是經(jīng)過(guò)間序列是非平穩(wěn)的，即它們是經(jīng)過(guò)求積的求積的，如果一個(gè)時(shí)間序列是非，如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，而它的一階差分是平穩(wěn)的，稱(chēng)此時(shí)間序列是平穩(wěn)的，而它的一階差分是平穩(wěn)的，稱(chēng)此時(shí)間序列是i(1)。如果它。如果它的的d次差分是平穩(wěn)的，稱(chēng)此時(shí)間序列是次差分是平穩(wěn)的，稱(chēng)

16、此時(shí)間序列是i(d)。 因此對(duì)于時(shí)間序列因此對(duì)于時(shí)間序列d次差分后平穩(wěn)，然后用次差分后平穩(wěn)，然后用arma(p，q)作為它作為它的模型，稱(chēng)此時(shí)間序列是的模型，稱(chēng)此時(shí)間序列是自回歸求積移動(dòng)平均自回歸求積移動(dòng)平均，記為，記為arima(p，d， q)。 具體的做法是先將時(shí)間序列差分生成新的數(shù)據(jù)，再利用具體的做法是先將時(shí)間序列差分生成新的數(shù)據(jù)，再利用arma模型。模型。信信息息系系劉劉康康澤澤第五節(jié)第五節(jié) 協(xié)整理論和誤差修正模型協(xié)整理論和誤差修正模型 在進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)，傳統(tǒng)上要求時(shí)間序列是平穩(wěn)的。否則在進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)，傳統(tǒng)上要求時(shí)間序列是平穩(wěn)的。否則的話就會(huì)產(chǎn)生的話就會(huì)產(chǎn)生“偽回歸偽回歸”問(wèn)

17、題。但是現(xiàn)實(shí)生活中絕大多數(shù)時(shí)間序列問(wèn)題。但是現(xiàn)實(shí)生活中絕大多數(shù)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，我們通常的方法是對(duì)時(shí)間序列差分，然后對(duì)差分序列是非平穩(wěn)的，我們通常的方法是對(duì)時(shí)間序列差分，然后對(duì)差分序列進(jìn)行回歸。但是這樣做會(huì)忽略了原時(shí)間序列中所包含的信息。進(jìn)行回歸。但是這樣做會(huì)忽略了原時(shí)間序列中所包含的信息。 但是恩格爾和格蘭杰在很多問(wèn)題的研究中發(fā)現(xiàn)有些變量雖然不但是恩格爾和格蘭杰在很多問(wèn)題的研究中發(fā)現(xiàn)有些變量雖然不是穩(wěn)定的時(shí)間序列，但是它們之間卻存在長(zhǎng)期的穩(wěn)定關(guān)系，也就是是穩(wěn)定的時(shí)間序列，但是它們之間卻存在長(zhǎng)期的穩(wěn)定關(guān)系，也就是說(shuō)它們之間存在協(xié)整關(guān)系。說(shuō)它們之間存在協(xié)整關(guān)系。信信息息系系劉劉康康澤澤 一一

18、協(xié)整協(xié)整 1 單整或求積（單整或求積（integration） 如果時(shí)間序列如果時(shí)間序列xt是非平穩(wěn)過(guò)程，而它的是非平穩(wěn)過(guò)程，而它的d階差分是平穩(wěn)過(guò)程，則階差分是平穩(wěn)過(guò)程，則稱(chēng)稱(chēng)xt是是d階單整階單整，記為，記為i(d)。 2 協(xié)整（協(xié)整（cointegration） 如果時(shí)間序列如果時(shí)間序列xt和和yt是非平穩(wěn)過(guò)程，但是它們的某個(gè)線性組合是非平穩(wěn)過(guò)程，但是它們的某個(gè)線性組合x(chóng)t-ayt是平穩(wěn)過(guò)程，則稱(chēng)是平穩(wěn)過(guò)程，則稱(chēng)xt和和yt是協(xié)整（協(xié)積）的是協(xié)整（協(xié)積）的。 如果如果xt和和yt都是都是i(d)的話，則就有可能是協(xié)整的。一般消費(fèi)和價(jià)的話，則就有可能是協(xié)整的。一般消費(fèi)和價(jià)格、兩個(gè)相近替代的

19、價(jià)格等都有可能是協(xié)整序列。格、兩個(gè)相近替代的價(jià)格等都有可能是協(xié)整序列。信信息息系系劉劉康康澤澤 2 協(xié)整檢驗(yàn)協(xié)整檢驗(yàn) 恩格爾和格蘭杰（恩格爾和格蘭杰（1987）考慮了協(xié)整的各種檢驗(yàn)法，我們?cè)谶@）考慮了協(xié)整的各種檢驗(yàn)法，我們?cè)谶@里討論其中的兩種。里討論其中的兩種。 假設(shè)假設(shè)xt和和yt都是一階求積的都是一階求積的i(1)。 方法一：協(xié)整回歸方法一：協(xié)整回歸dw 檢驗(yàn)檢驗(yàn) 首先估計(jì)如下協(xié)整回歸方程首先估計(jì)如下協(xié)整回歸方程tttyxu 其中的其中的dw 統(tǒng)計(jì)值統(tǒng)計(jì)值212()ttteede 殘差殘差信信息息系系劉劉康康澤澤 如果如果xt和和yt都是一階求積的都是一階求積的i(1)，則預(yù)期，則預(yù)期u也

20、是也是i(1) ，那么上述回，那么上述回歸的歸的dw 統(tǒng)計(jì)量就應(yīng)該接近于零，兩個(gè)序列將不具有協(xié)整關(guān)系。所統(tǒng)計(jì)量就應(yīng)該接近于零，兩個(gè)序列將不具有協(xié)整關(guān)系。所以我們建立如下檢驗(yàn)：以我們建立如下檢驗(yàn)： 原假設(shè)原假設(shè)h0：d=0 若計(jì)算得到的若計(jì)算得到的dw 統(tǒng)計(jì)值小于臨界值，則認(rèn)為統(tǒng)計(jì)值小于臨界值，則認(rèn)為xt和和yt 不具有協(xié)不具有協(xié)整關(guān)系。整關(guān)系。顯著性水平顯著性水平%dw 統(tǒng)計(jì)量值統(tǒng)計(jì)量值擴(kuò)充擴(kuò)充df-t 統(tǒng)計(jì)值統(tǒng)計(jì)值10.5113.7750.3863.17100.3222.84信信息息系系劉劉康康澤澤 方法一：擴(kuò)充方法一：擴(kuò)充df-t 檢驗(yàn)檢驗(yàn) 首先協(xié)整回歸首先協(xié)整回歸tttyxu 得到殘差為

21、得到殘差為ttteyx 然后作如下回歸然后作如下回歸11122ttttptptuuuuu 對(duì)對(duì) 的的t 統(tǒng)計(jì)值進(jìn)行檢驗(yàn)，如果它小于臨界值，則認(rèn)為統(tǒng)計(jì)值進(jìn)行檢驗(yàn)，如果它小于臨界值，則認(rèn)為xt和和yt 不不具有協(xié)整關(guān)系。具有協(xié)整關(guān)系。 信信息息系系劉劉康康澤澤 二二 誤差修正模型（誤差修正模型（ecm） 仍然假設(shè)仍然假設(shè)xt和和yt都是一階求積的都是一階求積的i(1)。對(duì)于自回歸模型對(duì)于自回歸模型012131tttttyxyxu01213111(1)ttttttyxyxxu31012112(1)()11tttttyxyxu 模型模型1稱(chēng)為稱(chēng)為誤差修正模型誤差修正模型。信信息息系系劉劉康康澤澤012

22、11()tttttyxyxu 將上述模型的參數(shù)修改一下，得將上述模型的參數(shù)修改一下，得 如果如果xt和和yt是協(xié)整的是協(xié)整的, 為了估計(jì)其中的參數(shù)，恩格爾和格蘭杰提出了兩步估計(jì)法：為了估計(jì)其中的參數(shù)，恩格爾和格蘭杰提出了兩步估計(jì)法： 首先估計(jì)協(xié)整回歸首先估計(jì)協(xié)整回歸 ，得到殘差，得到殘差 第第2步做回歸：步做回歸：tttyxu ttteyx 0121ttttyxeu 使用使用ols法就可以得到要估計(jì)的參數(shù)。法就可以得到要估計(jì)的參數(shù)。信信息息系系劉劉康康澤澤第六節(jié)第六節(jié) 自回歸條件異方差模型自回歸條件異方差模型 一一 自回歸條件異方差（自回歸條件異方差（arch）模型）模型 對(duì)于面板數(shù)據(jù)而言，既有時(shí)間序列序列，又有橫截面數(shù)據(jù)，因?qū)τ诿姘?/p>