第10章MATLAB710高數(shù)值計(jì)算

1、技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版第10章 高級(jí)數(shù)值計(jì)算l前三章（7、8、9）分別介紹了數(shù)值計(jì)算的一些基礎(chǔ)內(nèi)容，包括矩陣分析、函數(shù)分析和數(shù)據(jù)分析。本章是前三章內(nèi)容的擴(kuò)展和深化，將討論數(shù)值計(jì)算的一些高級(jí)主題，如數(shù)據(jù)插值、回歸分析、微分方程求解等。本章主要內(nèi)容如下。l多項(xiàng)式l插值l回歸分析l曲線擬合l傅立葉分析l常微分方程求解技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.1 多項(xiàng)式l多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)理論分析、數(shù)值計(jì)算等方面具有很好的性質(zhì)，這使得多項(xiàng)式在插值、回歸分析、曲線擬合、微分方程求解等眾多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。本節(jié)將介紹多項(xiàng)式表示、多項(xiàng)式求值、多項(xiàng)式求根、多項(xiàng)式微積分、有理分式

2、展開(kāi)，為后續(xù)各節(jié)內(nèi)容的展開(kāi)奠定基礎(chǔ)。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版 10.1.1 多項(xiàng)式表示技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.1.2 矩陣的特征多項(xiàng)式技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.1.3 求多項(xiàng)式的值技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.1.4 求多項(xiàng)式的根l多項(xiàng)式的根即是使的。matlab提供專門(mén)的函數(shù)roots用于求多項(xiàng)式的根，函數(shù)roots的調(diào)用格式如下：ls = roots(p)l其中p為多項(xiàng)式表示，返回值s為 解向量，n為 多項(xiàng)式的階數(shù)。1n ( )p x技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10

3、.1.5 多項(xiàng)式卷積和反卷積技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.1.6 多項(xiàng)式微積分技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.1.7 有理式的部分展開(kāi)技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.2 插值技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.2.1 一維插值技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.2.2 二維插值l被插值函數(shù)為二元函數(shù)時(shí)，插值過(guò)程為二維插值，依次類推，有三維插值、高維插值，這些內(nèi)容將在下面的章節(jié)中介紹。圖是二維插值的簡(jiǎn)單示意。lmatlab利用函數(shù)interp2實(shí)現(xiàn)二維插值，其一般的調(diào)用格式為：lzi = in

4、terp2(x, y, z, xi, yi, method)技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.2.3 高維插值lmatlab支持三維及三維以上的高維插值，分別由函數(shù)interp3和interpn實(shí)現(xiàn)。高維插值與三維插值類似，這里僅介紹三維插值，至于高維插值，讀者可以參考matlab幫助文檔和三維插值的例子。三維插值函數(shù)interp3的一般調(diào)用格式為：lvi = interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,method)l其中x、y、z、v 是具有相同大小的三維數(shù)組，x, y, z為三維數(shù)據(jù)網(wǎng)格，v是數(shù)據(jù)網(wǎng)格上的函數(shù)值； xi、yi、zi、vi是具有相同大小的三維數(shù)組，

5、返回值vi是三維插值網(wǎng)格xi, yi, zi上的函數(shù)值估計(jì)；method為字符串，表示不同的插值方法，主要有以下四種：lmethod = nearest，最近鄰插值。lmethod = linear，三次線性插值。lmethod = cubic，三次立方插值。lmethod = spline，樣條插值。 技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.2.4 樣條插值l利用分段多項(xiàng)式逼近函數(shù)可以降低插值多項(xiàng)式的階數(shù)，使曲線連接處更加光滑，這種插值方法稱為樣條插值，分段插值多項(xiàng)式稱為樣條函數(shù)，采樣點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。樣條插值廣泛地應(yīng)用于各種制造業(yè)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（cad）、各種圖形的繪制工作、地理

6、信息系統(tǒng)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合、以及現(xiàn)在“熱門(mén)”的計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)制作等。在樣條函數(shù)中，應(yīng)用最廣的是三次樣條函數(shù)。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.2.5 插值方法比較l不同的插值方法本質(zhì)上是對(duì)插值函數(shù)的約束條件不同，相應(yīng)地，插值的效果及效率也有很大的差別，這里對(duì)matlab中常用的四種插值方法總結(jié)如下：l最近鄰插值法，利用階梯函數(shù)作插值，速度快，內(nèi)存消耗少，但是得到的插值數(shù)據(jù)光滑性能差。l線性插值法，利用分段線性函數(shù)作插值，速度快，內(nèi)存消耗少，但是在采樣點(diǎn)處的光滑性能較差。l立方插值法，利用三次多項(xiàng)式函數(shù)作插值，在采樣點(diǎn)處的光滑性能好，但是效率低，內(nèi)存消耗大。l樣條插值法，利用分段三

7、次多項(xiàng)式函數(shù)作插值，速度較快，得到的插值數(shù)據(jù)光滑性能好。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.3 回歸分析l回歸分析和下節(jié)將要介紹的曲線擬合都是統(tǒng)計(jì)學(xué)中非常重要的數(shù)據(jù)分析方法，在信號(hào)處理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。為此matlab對(duì)回歸分析和曲線擬合提供了強(qiáng)大的支持，并專門(mén)提供了一個(gè)工具箱。l假設(shè)得到了以下實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)：x = 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1，y = 0.99567, 0.99334, 1.0413, 1.0929, 1.1485, 1.2619, 1.3719, 1.4896, 1.6

8、433, 1.8117, .9981，試找出x、y的約束關(guān)系。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.3.1 線性回歸分析技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.3.2 多項(xiàng)式回歸分析l當(dāng) 為多項(xiàng)式，且 時(shí)， ，l此時(shí)線性回歸分析稱為多項(xiàng)式回歸分析。( )mmfxx( )mfx1111221111mmmnnxxxxfxx技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.3.3 多分量回歸分析l前面介紹了單個(gè)變量的回歸分析，實(shí)際中的問(wèn)題需要考慮多個(gè)方面因素的影響，研究多個(gè)變量之間的聯(lián)系，就是本小節(jié)將要研究的多個(gè)變量回歸分析。對(duì)多個(gè)變量的回歸分析類似于單變量回歸分析

9、，首先對(duì)函數(shù)建模，要求函數(shù)模型與未知參數(shù)的關(guān)系是線性的，代入觀測(cè)數(shù)據(jù)得fa=y，由最小二乘擬合a=f/y求得線性參數(shù)，從而得到y(tǒng)=f(x)，這里的x為自變量組成的向量。下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子介紹多變量回歸分析。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.4 曲線擬合l曲線擬合是要找到一條光滑曲線，使其最佳地?cái)M合數(shù)據(jù)，該曲線不必經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)，這正是曲線擬合及回歸分析與插值的不同之處。曲線擬合涉及兩個(gè)基本問(wèn)題：光滑曲線的形式是怎樣的，以及最佳擬合的概念。第一個(gè)問(wèn)題即是函數(shù)建模的問(wèn)題，多項(xiàng)式模型，或是指數(shù)模型，以及別的更復(fù)雜的函數(shù)模型。最佳擬合是在某個(gè)誤差準(zhǔn)則下的最佳，常用的誤差準(zhǔn)則是誤差平

10、方和最小，也可以是最大誤差最小準(zhǔn)則，誤差的絕對(duì)值和最小等。以下的討論均是以誤差平方和最小作為誤差準(zhǔn)則。l根據(jù)函數(shù)模型的不同，曲線擬合可以分為多項(xiàng)式擬合、指數(shù)函數(shù)擬合等，用戶甚至可以自己定義新的擬合形式。 技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.4.1 多項(xiàng)式擬合l顧名思義，多項(xiàng)式擬合是利用多項(xiàng)式最佳地?cái)M合觀測(cè)數(shù)據(jù)，使得在觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)處的誤差平方和最小。matlab中利用函數(shù)polyfit和polyval進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。函數(shù)polyfit 根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)及用戶指定的多項(xiàng)式階數(shù)得到光滑曲線的多項(xiàng)式表示，polyfit的一般調(diào)用格式為：lp = polyfit(x, y, n)l其中x為自

11、變量，y為應(yīng)變量，n為多項(xiàng)式階數(shù)。至于polyval的用法已經(jīng)在10.1.3小節(jié)介紹過(guò)，這里不再贅述。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.4.2 指數(shù)函數(shù)擬合l指數(shù)函數(shù)擬合是利用指數(shù)函數(shù) ，對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，使誤差平方和最小。matlab對(duì)指數(shù)函數(shù)擬合沒(méi)有提供專門(mén)的函數(shù)支持，通常利用一階多項(xiàng)式擬合來(lái)解決指數(shù)函數(shù)擬合問(wèn)題。對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，得 ，因此x、lny構(gòu)成一階多項(xiàng)式擬合問(wèn)題。這里以對(duì) 的采樣數(shù)據(jù)擬合為例。( )ax byf xeln yaxb1x技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.4.3 交互式曲線擬合工具lmatlab為用戶提供了一個(gè)交互式曲線擬合

12、工具，即basic fitting interface。通過(guò)該工具，用戶無(wú)須編寫(xiě)代碼就可以完成一些常用的曲線擬合。下面以matlab自帶的census data數(shù)據(jù)擬合為例介紹basic fitting interface的使用方法。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.5 傅立葉分析l傅立葉分析在信號(hào)處理、圖像處理等眾多的領(lǐng)域中都有極其重要的應(yīng)用。傅立葉變換（fourier transform）將函數(shù)表示為不同頻率的正弦、余弦函數(shù)之和，對(duì)于離散數(shù)據(jù)，傅立葉變換對(duì)應(yīng)地為dft，即離散傅立葉變換。l對(duì)長(zhǎng)度為的輸入序列，其dft是長(zhǎng)度為的向量，且，matlab利用快速傅立葉變換函數(shù)

13、fft實(shí)現(xiàn)離散傅立葉變換。另外，由的dft也可以得到，稱為的idft（逆傅立葉變換），matlab利用逆快速傅立葉變換函數(shù)ifft實(shí)現(xiàn)idft。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.5.1 快速傅立葉變換（fft）、逆快速傅立葉變換（ifft）技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.5.2 fft的幅度和相位技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.5.3 傅立葉分析的應(yīng)用例子l太陽(yáng)黑子的活動(dòng)具有一定的周期性，matlab提供了過(guò)去300年內(nèi)太陽(yáng)黑子活動(dòng)的數(shù)據(jù)，下面通過(guò)對(duì)該數(shù)據(jù)的傅立葉分析研究太陽(yáng)黑子活動(dòng)的周期性。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專

14、業(yè)創(chuàng)新出版10.6 常微分方程l解微分方程是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的問(wèn)題，在物理學(xué)、控制理論、信號(hào)處理等方面都有很重要的應(yīng)用。本節(jié)主要討論解微分方程中一個(gè)基礎(chǔ)而又重要的主題，即常微分方程的求解。本節(jié)首先介紹一階常微分方程的求解，主要是ode函數(shù)的用法，隨后討論如何將高階常微分方程轉(zhuǎn)換為一階常微分方程，進(jìn)而方便高微分方程的求解。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.6.1 一階常微分方程l考慮下面的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題：某物體初始位置為0，從時(shí)刻開(kāi)始，以速度沿軸正向運(yùn)動(dòng)，求物體在時(shí)刻的位移。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.6.2 ode函數(shù)的選擇lmatlab提供了8種ode

15、函數(shù)用于常微分方程的求解，它們分別是ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i，前面介紹的ode45是比較常用的一種。這8個(gè)ode函數(shù)分別用于不同類型常微分方程的求解，使用的算法也各不相同，不同ode函數(shù)的比較ode solver針對(duì)的常微分方程類型算 法ode45非剛性微分方程kutta rungeode23非剛性微分方程runge-kuttaode113非剛性微分方程adamsode15s剛性微分方程和 daesndfs (bdfs)ode23s剛性微分方程rosenbrockode23t中等剛性微分方程daestrapezoidal ruleode23tb剛性微分方程tr-bdf2ode15i全隱式微分方程bdfs技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.6.3 高階常微分方程lmatlab對(duì)高階常微分方程的求解是基于一階常微分方程的，用戶需要將高階常微分方程轉(zhuǎn)換為一階常微分方程。技術(shù)凝聚實(shí)力技術(shù)凝聚實(shí)力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版10.7 小結(jié)l本章討論數(shù)值計(jì)算的一些高級(jí)主