可分離變量的微分方程(23)課件

1、2第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程形如xdxfydyg)()(的一階微分方程叫做已分離變量方程已分離變量方程 .設(shè) 是方程的解 , )(xyxdxfxdxxg)()()(兩邊積分, 則有ydyg)(,)(xdxf即CxFyG)()(稱為通積分通積分)形如)()(21yfxfxdyd的方程都叫做可分離變量方程可分離變量方程 . 可化為已分離變量形式求解.則有恒等式 0 )( )(11xNxdxMydyNyM)( )(22或 5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 3例例1. 求微分方程yxxdyd23的通解.解解: 分離變量得xdxyyd23兩邊積分xdxyy

2、d23得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeC令1CeC( C 為任意常數(shù) )或或說明說明: 在求解過程中每一步不一定是同解變形, 因此可能增、減解.如此例, y = 0 也是原方程的解 , 但在變量分離時(shí)丟失了此解.4例例2. 解下述初值問題0)1(2ydxxdyx解解: 分離變量得xdxxyyd21兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1 112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y5求方程 的通解 . yxexdyd解法解法 1：分離變量xdeydexyCeexy或01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2: 令 ,y

3、xu則yu1故有ueu1積分Cxeudu1Cxeuu)1 (ln( C 為任意常數(shù) )即Cyeyx)1(lnudeeeuuu1)1 (3例例6例例4. 求下述微分方程的通解;) 1(sin2yxy解解: 令 1yxu則yu1故有uu2sin1即xdudu2secCxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )即7求解微分方程求解微分方程5例例.2cos2cosyxyxdxdy , 02cos2cosyxyxdxdy解解, 02sin2sin2yxdxdy,2sin2sin2dxxydy2cot2csclnyy,2cos2Cx為所求解為所求解.8例例6. 已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)

4、時(shí)未衰變?cè)拥暮?M 成正比 ,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意 , 有)0(MtdMd00MMt(初始條件)對(duì)方程分離變量, MMd得,lnlnCtM即teCM利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分:td)(已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為9例例7. 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度所受空氣阻力與速度成正比成正比 ,求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. 解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程vkmgtdvdm00tv初始條件為:對(duì)方程分離變量,mtdvkmgvd然后積分, 得得Cmtvkgmk)(ln1)0(

5、vkgm利用初始條件,得, )(ln1gmkC代入上式后化簡(jiǎn), 得特解)1 (tmkekgmv說明說明: ,limkgmvt跳傘后階段接近于等速運(yùn)動(dòng).并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí) ( t = 0 ) 速度為 0 , 10(1) 找出事物的共性及可以貫穿于全過程的規(guī)律列方程常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2) 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件(3) 求微分方程的通解 , 并根據(jù)定解條件確定特解 . 2、 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1、可分離變量方程的求解方法、可分離變量方程的求解

6、方法:分離變量后積分 ; 根據(jù)定解條件定常數(shù) .11習(xí)題7-2 P 304 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 612思考與練習(xí)思考與練習(xí)求下列方程的通解 :0)()() 1 (22dyyyxdxyxx提示提示:xdxxydyy2211)sin()sin()2(yxyxy(1) 分離變量(2) 方程變形為2 yxcosysinCxysin22tanln13一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(

7、32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .練練 習(xí)習(xí) 題題14三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng), ,這外力這外力和時(shí)間成正比和時(shí)間成正比, ,和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比. .在在10 t秒時(shí)秒時(shí), ,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘米厘米克克 , ,問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點(diǎn)點(diǎn) 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系系數(shù)數(shù)為為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .15練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二二、1 1、xycoscos2 ；