2022版新教材高考數學一輪復習第7章立體幾何第2節(jié)空間點直線平面之間的位置關系學案含解析新人教B版

1、高考復習資料第2節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系一、教材概念·結論·性質重現1平面的基本性質基本事實1：經過不在一條直線上的3個點，有且只有一個平面基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線基本事實1及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法；基本事實2的作用是判斷直線是否在某個平面內；基本事實3的作用是如何尋找兩相交平面的交線以及證明“線共點”的理論依據2直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類(2)異面直線所成的角定義：一般地，如果a，b是空間中的兩

2、條異面直線，過空間中任意一點，分別作與a，b平行或重合的直線a，b，則a與b所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大小范圍：.互為異面直線的兩條直線不同在任何一個平面內，沒有公共點不能錯誤地理解為不在某一個平面內的兩條直線就是異面直線3空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系(1)空間中直線與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點直線在平面內a無數個直線不在平面內直線與平面平行a0個直線與平面相交直線與平面斜交aa1個直線與平面垂直a1個(2)空間中平面與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點兩平面平行0個兩平面相交l無數個4等角定理如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行

3、，并且方向相同，那么這兩個角相等研究直線與平面的位置關系時一定不要忽視“直線在平面內”二、基本技能·思想·活動體驗1判斷下列說法的正誤，對的打“”，錯的打“×”(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線( × )(2)兩兩平行的三條直線可以確定三個平面( × )(3)兩個平面，有一個公共點a，就說，相交于過a點的任意一條直線( × )(4)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合( × )(5)直線與平面的位置關系有平行、垂直兩種( × )(6)空間中，如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角一定相等( ×

4、 )2a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()a若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面b若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交c若ab，則a，b與c所成的角相等d若ab，bc，則acc題目解析：若直線a，b異面，b，c異面，則a，c可能相交，平行或異面若a，b相交，b，c可能相交，則a，c相交、平行或異面若ab，bc，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知c正確，故選c.3若直線l不平行于平面，且l，則()a內的所有直線與l異面b內不存在與l平行的直線c內存在唯一的直線與l平行d內的直線與l都相交b題目解析：由題意知，直線l與平面相交，則直線l與平面內

5、的直線只有相交和異面兩種位置關系，因而只有選項b是正確的4如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別是ab，ad的中點，則異面直線b1c與ef所成角的大小為() a30°b45° c60°d90°c題目解析：連接b1d1，d1c，則b1d1ef，故d1b1c即為所求的角又b1d1b1cd1c，所以b1d1c為等邊三角形，所以d1b1c60°，即異面直線b1c與ef所成角的大小為60°.5在三棱錐abcd中，e，f，g，h分別是棱ab，bc，cd，da的中點，則(1)當ac，bd滿足條件_時，四邊形efgh為菱形；(2)當ac

6、，bd滿足條件_時，四邊形efgh為正方形(1)acbd(2)acbd且acbd題目解析：(1)因為四邊形efgh為菱形，所以efeh，所以acbd.(2)因為四邊形efgh為正方形，所以efeh且efeh.因為efac，ehbd，且efac，ehbd，所以acbd且acbd.考點1平面的基本性質基礎性1在三棱錐abcd的邊ab，bc，cd，da上分別取e，f，g，h四點如果efhgp，則點p()a一定在直線bd上b一定在直線ac上c在直線ac或bd上d不在直線ac上，也不在直線bd上b題目解析：如圖所示，因為ef平面abc，hg平面acd，efhgp，所以p平面abc，p平面acd.又因為平

7、面abc平面acdac，所以pac.2(多選題)(2020·全國卷改編)下列選項正確的是()a兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內b過空間中任意三點有且僅有一個平面c若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行d若直線l平面，直線m平面，則mlad題目解析：對于選項a，可設l1與l2相交，這兩條直線確定的平面為；若l3與l1相交，則交點b在平面內，同理，l3與l2的交點a也在平面內，所以，ab，即l3，選項a正確對于選項b，若三點共線，則過這三個點的平面有無數個，選項b錯誤對于選項c，空間中兩條直線相交、平行或異面，選項c錯誤對于選項d，若直線m平面，則m垂直于平面內所有直線因為直

8、線l平面，所以直線m直線l，選項d正確共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：一是先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；二是證明兩平面重合(2)證明共線的方法：一是先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；二是直接證明這些點都在同一條特定直線上(3)證明線共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點考點2異面直線所成的角綜合性(1)在正方體abcda1b1c1d1中，e為棱cc1的中點，則異面直線ae與cd所成角的正切值為()a. b. c. d.c題目解析：如圖，因為abcd，所以ae與cd所成角為eab(或其補角)在rtabe中，設ab

9、2，則be，則taneab.所以異面直線ae與cd所成角的正切值為.(2)已知三棱柱abca1b1c1的側棱與底面邊長都相等，a1在底面abc上的射影為bc的中點，則異面直線ab與cc1所成的角的余弦值為()a. b. c. d.b題目解析：如圖，設bc的中點為d，連接a1d，ad，a1b，易知a1ab即為異面直線ab與cc1所成的角(或其補角)設三棱柱abca1b1c1的側棱與底面邊長均為1，則ad，a1d，a1b.由余弦定理，得cosa1ab.本例(2)的條件改為“在直三棱柱abca1b1c1中，abc120°，ab2，bccc11”，則異面直線ab1與bc1所成角的余弦值為_題

10、目解析：把三棱柱abca1b1c1補成四棱柱abcda1b1c1d1，如圖所示連接c1d，bd，則ab1與bc1所成的角為bc1d(或其補角)由題意可知bc1，bd，c1dab1.可知bcbd2c1d2，所以bc1d為直角三角形，所以cosbc1d.用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角(3)三求：解三角形，求出所作的角如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角1(2021·聊城一模)如圖，圓柱的軸截面abcd為正方形，e為弧bc的中點，則異面直線ae與b

11、c所成角的余弦值為() a. b. c. d.d題目解析：如圖，過點e作圓柱的母線交下底面于點f，連接af，易知f為的中點設四邊形abcd的邊長為2，則ef2，af，所以ae.連接ed，ed，因為bcad，所以異面直線ae與bc所成角即為ead.在ead中，cosead.故選d.2(多選題)在直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是邊長為4的正方形，aa13，則()a異面直線a1b與b1d1所成角的余弦值為b異面直線a1b與b1d1所成角的余弦值為ca1b平面b1d1cd點b1到平面a1bd1的距離為acd題目解析：因為a1bd1c，所以b1d1c或其補角即為異面直線a1b與b1d1

12、所成角又因為b1d14，d1c5，b1c5，所以cosb1d1c，故a正確，b錯誤因為a1bd1c，a1b平面b1d1c，d1c平面b1d1c，所以a1b平面b1d1c，故c正確設點b1到平面a1bd1的距離為h，因為vba1b1d1vb1a1bd1，即×a1b1·a1d1·b1b×a1b·a1d1·h，解得h，故d正確故選acd.3在正四面體a­bcd中，e是ab的中點，則異面直線ce與bd所成角的余弦值為()a. b. c. d.b題目解析：畫出正四面體a­bcd的直觀圖，如圖所示設其棱長為2，取ad的中點f，

13、連接ef，設ef的中點為o，連接co，則efbd，則fec就是異面直線ce與bd所成的角因為abc為等邊三角形，所以ceab，易得ce，同理可得cf，故cecf.因為oeof，所以coef.又eoefbd，所以cosfec.考點3空間兩條直線的位置關系應用性考向1異面直線的判定如圖，g，n，m，h分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線gh與mn是異面直線的圖形有_(填序號)題目解析：圖中，直線ghmn；圖中，g，h，n三點共面，但m平面ghn，因此直線gh與mn異面；圖中，連接mg，gmhn，因此gh與mn共面；圖中，g，m，n共面，但h平面gmn，因此gh

14、與mn異面所以圖中gh與mn異面本例的條件改為“下列選項中，點p，q，r，s分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點”，則直線pq與rs是異面直線的圖是()c題目解析：易知選項a，b中pqrs，選項d中rs與pq相交，只有選項c中rs與pq是異面直線考向2平行或相交直線的判定如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，點e，f分別在a1d，ac上，且a1e2ed，cf2fa，則ef與bd1的位置關系是()a相交但不垂直 b相交且垂直c異面 d平行d題目解析：如圖，連接d1e并延長，與ad交于點m，由a1e2ed，可得m為ad的中點連接bf并延長，交ad于點n，因為cf2fa，可得n為ad的中點

15、，所以m，n重合，所以ef和bd1共面，且，所以，所以efbd1.空間中兩直線位置關系的判定方法異面直線的判定定理：平面外一點與平面內一點的連線與平面內不經過該點的直線是異面直線1若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內，l2在平面內，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()al與l1，l2都不相交bl與l1，l2都相交cl至多與l1，l2中的一條相交dl至少與l1，l2中的一條相交d題目解析：(方法一：反證法)由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交若ll1，ll2，則l1l2，這與l1，l2是異面直線矛盾，故l至少與l1，l2中的一條相交(方法二：模型法)如圖(1)l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交故a，b不正確如圖(2)，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故c不正確故選d.2如圖，點n為正方形abcd的中心，ecd為正三角形，平面ecd平面abcd，m是線段ed的中點，則()abmen，且直線bm，en是相交直線bbmen，且直線bm，en是相交直線cbmen，且直線bm，en是異面直線dbmen，且直線b