2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第5節(jié)事件的獨(dú)立性條件概率與全概率公式學(xué)案含解析新人教A版

1、高考復(fù)習(xí)資料第五節(jié)事件的獨(dú)立性、條件概率與全概率公式一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1條件概率條件概率的定義設(shè)a，b為兩個(gè)隨機(jī)事件，且p(a)>0，稱p(b|a)為在事件a發(fā)生的條件下，事件b發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率條件概率的性質(zhì)(1)p(|a)1；(2)如果b和c是兩個(gè)互斥事件，則p(bc|a)p(b|a)p(c|a)；(3)設(shè)與b互為對(duì)立事件，則p(|a)1p(b|a)2.事件的相互獨(dú)立性事件a與事件b相互獨(dú)立對(duì)任意的兩個(gè)事件a與b，如果p(ab)p(a)·p(b)成立，則稱事件a與事件b相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立性質(zhì)若事件a與事件b相互獨(dú)立，則a與，與b，與

2、也都相互獨(dú)立，p(b|a)p(b)，p(a|b)p(a)(1)易混淆“相互獨(dú)立”和“事件互斥”兩事件互斥是指兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個(gè)事件相互獨(dú)立不一定互斥(2)易混淆p(b|a)與p(a|b)前者是在a發(fā)生的條件下b發(fā)生的概率，后者是在b發(fā)生的條件下a發(fā)生的概率3全概率公式一般地，設(shè)a1，a2，an是一組兩兩互斥的事件，a1a2an，且p(ai)>0，i1,2，n，則對(duì)任意的事件b，有p(b)(ai)p(b|ai)稱上面的公式為全概率公式二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“”，

3、錯(cuò)的打“×”(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件(×)(2)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式p(ab)p(a)p(b)都成立(×)(3)p(b|a)表示在事件a發(fā)生的條件下，事件b發(fā)生的概率，p(ab)表示事件a，b同時(shí)發(fā)生的概率()(4)若事件a，b相互獨(dú)立，則p(b|a)p(b)()2已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們的大小和形狀完全相同甲每次從中任取一個(gè)球不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()a b c db題目解析：設(shè)“第一次拿到白球”為事件a，“第二次拿到紅球”為事件b依題意p(a)，p(ab).故在他第一次拿到白球的條件下，第二次

4、拿到紅球的概率p(b|a).3天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為()a0.2 b0.3 c0.38 d0.56c題目解析：設(shè)甲地降雨為事件a，乙地降雨為事件b，則兩地恰有一地降雨為ab，所以p(ab)p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)0.2×0.70.8×0.30.38.4(2020·湖南省六校高三聯(lián)考)甲、乙兩人同時(shí)參加公務(wù)員考試，甲筆試、面試通過的概率分別為和；乙筆試、面試通過的概率分別為和.若筆試、面試都通過則被錄取，且甲、乙錄取與否相

5、互獨(dú)立，則該次考試甲、乙同時(shí)被錄取的概率是_，只有一人被錄取的概率是_題目解析：甲被錄取的概率p1×，乙被錄取的概率p2×，則該次考試甲、乙同時(shí)被錄取的概率是p1p2×，只有一人被錄取的概率是p1(1p2)p2(1p1)××.5某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于_0.128題目解析：記“該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪”為事件a由題意知，若該選手恰好回答

6、了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問題回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)問題回答正確，第一個(gè)問題可對(duì)可錯(cuò)，故p(a)1×0.2×0.8×0.80.128.考點(diǎn)1相互獨(dú)立事件的概率基礎(chǔ)性1(2020·山東省新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)高三聯(lián)考)2019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為高性能處理器“鯤鵬920”、清華大學(xué)“面向通用人工智能的異構(gòu)融合天機(jī)芯片”、特斯拉“特斯拉完全自動(dòng)駕駛芯片”、寒武紀(jì)云端ai芯片“思元270”、賽靈思“versal自適應(yīng)計(jì)算加速平臺(tái)”現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先

7、科技成果”中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為()a b c dd題目解析：根據(jù)題意可知，1名學(xué)生從15項(xiàng)中任選1項(xiàng)，其中選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為，故其沒有選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為，則3名學(xué)生均沒有選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為××.因此至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為1.故選d2(2020·天津市和平區(qū)高三二模)已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車一次(假定費(fèi)用只可能為1,2,3元)甲、乙租車費(fèi)用為1元的概率分別是0.5，0.2，甲、乙租車費(fèi)用為2元的概率分別是0.2，0.4，則甲、乙兩人租車費(fèi)用相同的概率

8、為()a0.18 b0.3 c0.24 d0.36b題目解析：由題意知甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是0.3,0.4.所以甲、乙兩人所租車費(fèi)用相同的概率為p0.5×0.20.2×0.40.3×0.40.3.3(2019·全國(guó)卷)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了x個(gè)球該局比賽結(jié)束(1)求p(x2)；(2)求事件“x4且甲獲勝”的

9、概率解：(1)x2就是1010平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分因此p(x2)0.5×0.4(10.5)×(10.4)0.5.(2)x4且甲獲勝，就是1010平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分因此所求概率為0.5×(10.4)(10.5)×0.4×0.5×0.40.1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面計(jì)算較煩瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手

10、計(jì)算考點(diǎn)2條件概率基礎(chǔ)性(2020·本溪滿族自治縣高級(jí)中學(xué)高三模擬)2020年初，新型冠狀肺炎在歐洲爆發(fā)后，我國(guó)第一時(shí)間內(nèi)向相關(guān)國(guó)家捐助醫(yī)療物資，并派出由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國(guó)家現(xiàn)有四個(gè)醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁和4個(gè)需要援助的國(guó)家可供選擇，每個(gè)醫(yī)療小組只去一個(gè)國(guó)家設(shè)事件a“4個(gè)醫(yī)療小組去的國(guó)家各不相同”，事件b“小組甲獨(dú)自去一個(gè)國(guó)家”，則p(a|b)()a b c da題目解析：事件a“4個(gè)醫(yī)療小組去的國(guó)家各不相同”，事件b“小組甲獨(dú)自去一個(gè)國(guó)家”，則p(ab)，p(b)，p(a|b).故選a一個(gè)正方形被平均分成9個(gè)部分，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中)設(shè)投中最

11、左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為a，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事件記為b，求p(ab)，p(a|b)解：如圖，n()9，n(a)3，n(b)4，所以n(ab)1，所以p(ab)，p(a|b).求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求p(a)和p(ab)，得p(b|a)，這是求條件概率的通法(2)借助古典概型概率公式，先求事件a包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(a)，再求事件a與事件b的交事件中包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(ab)，得p(b|a).1已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放著現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口

12、燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()a b c dd題目解析：設(shè)事件a為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件b為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則p(a)，p(ab)×，則所求的概率為p(b|a).2將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件a為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，b為“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則條件概率p(a|b)_，p(b|a)_.題目解析：p(a|b)的含義是在事件b發(fā)生的條件下，事件a發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的條件下，“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的概率因?yàn)椤爸辽俪霈F(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”有6×6×65×5×591(種)情況，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)且三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相

13、同”共有c×5×460(種)情況，所以p(a|b).p(b|a)的含義是在事件a發(fā)生的條件下，事件b發(fā)生的概率，即在“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的條件下，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的概率因?yàn)椤叭齻€(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”有6×5×4120(種)情況，所以p(b|a).考點(diǎn)3全概率公式基礎(chǔ)性有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%，三廠生產(chǎn)的占20%.已知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？解：設(shè)事件a為“任取一件為次品”，事件bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i1,2,3.b1b2b3s，由全概率公式

14、得p(a)p(a|b1)p(b1)p(a|b2)·p(b2)p(a|b3)p(b3)p(b1)0.3，p(b2)0.5，p(b3)0.2，p(a|b1)0.02，p(a|b2)0.01，p(a|b3)0.01，故p(a)p(a|b1)p(b1)p(a|b2)p(b2)p(a|b3)p(b3)0.02×0.30.01×0.50.01×0.20.013.通常把b1，b2，bn看成導(dǎo)致a發(fā)生的一組原因如若a是“次品”，必是n個(gè)車間生產(chǎn)了次品；若a是“某種疾病”，必是幾種病因?qū)е耡發(fā)生；若a表示“被擊中”，必有幾種方式或幾個(gè)人打中(1)何時(shí)用全概率公式：多種原因

15、導(dǎo)致事件的發(fā)生(2)如何用全概率公式：將一個(gè)復(fù)雜事件表示為幾個(gè)彼此互斥事件的和(3)從本質(zhì)上講，全概率公式是加法公式與乘法公式的結(jié)合一個(gè)盒子中有6個(gè)白球、4個(gè)黑球，從中不放回地每次任取1個(gè)，連取2次，求第二次取到白球的概率解：a第一次取到白球，b第二次取到白球因?yàn)閎abb，且ab與b互斥，所以p(b)p(ab)p(b)p(a)p(b|a)p()·p(b|)××0.6.從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件a“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件b“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則p(b|a)()a b c d四字程序讀想算思求條件概率p(b|a)1.條件概率的公式；2.

16、古典概型用字母表示事件，理清楚事件之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化與化歸a“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，b“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”1.求p(a)，p(ab)；2.求n(a)，n(ab)1.p(b|a)；2.p(b|a)1.條件概率的公式；2.古典概型的公式思路參考：根據(jù)條件概率公式求解b題目解析：p(a)，p(ab).由條件概率計(jì)算公式，得p(b|a).思路參考：縮小樣本空間，利用古典概型概率公式求解b題目解析：事件a包括的樣本點(diǎn)為(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)，共4個(gè)事件ab發(fā)生包含的樣本點(diǎn)只有(2,4)一個(gè)，即n(ab)1.故由古典概型概率p(b|a).本題考查條件概率求解問題利用定義，分別求p(a)和p(ab)，得p(b|a)，這是求條件概率的通法借助古典概型概率公式，先求事件a包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(a)，再求事件a與事件b的交事件中包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(ab)，得p(b|