函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性教學設計（人教 B 版數(shù)學（必修 1）第二章 2.1.4）一、設計思想 新課改的實施，首先要求教師教學觀念的改變：教學一切都要從學生的全面發(fā) 展出發(fā)，所有的教學活動都必須從符合學生的起點開始，盡最大可能的滿足不 同學生的不同要求。在此基礎上，要認真把握和調整學生學習方式的改變，激 發(fā)學生的學習熱情和創(chuàng)造力。二、教材分析 新課標對函數(shù)奇偶性的要求是：結合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；學會運用 函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質。因此，不必人為拔高對函數(shù)奇偶性的理解和 應用。三、學情分析1、學生對函數(shù)奇偶性的認識是初步的、直觀的，對概念中的表達式的要求是認 識不足的；2、學生可能出

2、現(xiàn)以偏蓋全、以直觀代替判斷等情況，對定義域的認識不到位；3、學生可能會機械地套用公式。四、教學目標1、知識目標：從形和數(shù)兩個方面進行引導，使學生理解奇偶性的概念, 會利用定義判斷簡單函數(shù)的奇偶性 .2、能力目標：在奇偶性概念形成過程中 ,培養(yǎng)學生的觀察 ,歸納能力 ,同時滲透 數(shù)形結合和特殊到一般的數(shù)學思想方法 .3、德育目標：在學生感受數(shù)學美的同時 , 激發(fā)學習的興趣 ,培養(yǎng)學生樂于求索的 精神.五、重點難點 重點是函數(shù)奇偶性概念的形成與函數(shù)奇偶性的判斷，難點是對函數(shù)奇偶性的概 念的理解。本節(jié)課采用觀察、探索、啟發(fā)、討論、歸納等多種教學手段和方法， 采用多媒體輔助教學，通過數(shù)形結合，增強直觀

3、性，通過函數(shù)奇偶性的圖象對 稱性演示，使學生享受到數(shù)學的美感。六、教學過程（一） 引入新課 同學們，我們生活在美的世界中，有過許多對美的感受，請大家想一下有 哪些美呢？（學生回答可能有和諧美、自然美、對稱美）今天，我們就來 討論對稱美，請大家想一下哪些事物給過你對稱美的感覺呢？（學生舉例，再 在屏幕上給出一組圖片：喜字、蝴蝶、建筑物、麥當勞的標志） 這些都是把數(shù)學融入生活，體現(xiàn)了一定的數(shù)學美。那么現(xiàn)在我們把生活中 的美引入我們的數(shù)學領域中，它又是怎樣的情況呢？下面，我們以麥當勞的標 志為例，給它適當?shù)慕⒅苯亲鴺讼?，那么大家發(fā)現(xiàn)了是么特點呢？（學生發(fā) 現(xiàn)：圖象關于 軸對稱。）數(shù)學中對稱的形式也

4、很多，這節(jié)課我們就同學們談到 的與 軸對稱的函數(shù)展開研究。提問：哪些函數(shù)的圖象關于 軸對稱？試舉例。（學生可能會舉出一些，如 y x 2， y x 等。）(二) 講解新課奇偶性的概念以函數(shù) g(x) x2 為例，給出圖象?！締栴}一】初中是怎樣判斷圖象關于軸對稱呢 ?(由學生回答 ,是利用圖象的翻折后重合來判定 )此時提出研究方向 : 今天我們將從數(shù)值角度研究圖象的這 種特征，這時自變量 x與函數(shù)值 f(x) 之間有何規(guī)律 ?(學生展開討論) 學生開始可能只會用語言去描述 :自變量互為相反數(shù) ,函數(shù)值相等。引導學生先把它們具體化 ,再用數(shù)學符號表示 .(借助課件演示令 x 1,x 1 比較 f(

5、1),f( 1)得出等 f(1) f( 1) ,再令 x 2,x 2,得到 f( 2) f(2)，進而 再提出會不會在定義域內存在 m,使 f (m)與 f ( m)不等呢?(可用課件幫助演示 讓 x 動起來觀察 ,發(fā)現(xiàn)結論 , 這樣的 m 是不存在的，板書)從這個結論中就可以發(fā)現(xiàn)對定義域內任意一個 x,都有 f (x) f ( x)成立.最 后讓學生用完整的語言給出定義 ,不準確的地方予以提示或調整。(1) 偶函數(shù)的定義 :如果對于函數(shù) f (x) 的定義域內任意一個 x,都有f(x) f ( x),那么 f (x) 就叫做偶函數(shù)。 (板書) (3分鐘)提問 1：大家認為定義中的關鍵詞有哪些

6、？學生可能回答：任意、定義域、 f (x) f ( x) ，提問 2：同學們體會一下“任意”，如果現(xiàn)在有函數(shù) f (x) ，1，-1 在定義域 R 內，如果有 f (1) f ( 1) ，那么函數(shù)是偶函數(shù)。學生可能回答：正確。為什么？老師：有同學不同意嗎？為什么？這是可以通過畫圖像來舉出反例。追問(板書)：現(xiàn)在改一下，改成有無數(shù)個互為相反數(shù)的數(shù)， -1、1、-2、2、-3、3、 -4都. 有 f(x)=f(-x),認為 f(x)是偶函數(shù)。學生回答：是或不是；類比上面進行追問總結：對于如果對于函數(shù) f (x) 的定義域內任意一個 x,都有 f (x) f( x) , 那么 f (x) 就叫做偶函

7、數(shù)。提問 3：我們剛剛取值都是 1，-1,2，-2，甚至定義域內任意一個 m,-m，大家 觀察這些數(shù)之間有什么關系？那么相應對定義域有什么要求呢？學生回答：互為相反數(shù)，定義域中有正有負。(預設 2：也有可能回答不出 定義域的特點)老師：同學怎么去用數(shù)學的語言去表述它呢？(在黑板上畫出數(shù)軸，容易看 出定義域關于原點對稱)判斷是偶函數(shù)的先決條件：定義域關于原點對稱。提問 4：二次函數(shù) f (x) x2,x 1,3 ，這個函數(shù)是偶函數(shù)嗎？說明理由 學生回答：是或者不是老師從數(shù)與形兩方面去引導，舉出一個反例， f(2),不滿足任意性。 總結判斷是偶函數(shù)的步驟：(1) 定義域是否關于原點對稱(2) 對于

8、定義域內任意一個 x，都有 f(x)=f(-x).(給出定義后可讓學生舉幾個例子 ,如 y 2x2, y x2 1,y x 等，并檢驗一下 對概念的初步認識，讓學生從數(shù)值角度去分析為什么是偶函數(shù))提問 5：研究偶函數(shù)圖像，關于 y 軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)，那么反之，偶 函數(shù)圖像有什么特征？關于 y 軸對稱。書 P48頁定義。提問 6：單調性呢？單調性正好相反剛剛我們學習了偶函數(shù)，知道了偶函數(shù)的定義。( PPT 再次顯示一遍) 我們之前學過偶數(shù)，也學過奇數(shù)。同學們猜一下還有一種函數(shù)叫什么？ 學生：奇函數(shù)老師：那么我們現(xiàn)在研究一下奇函數(shù)?！締栴}二】函數(shù)圖象關于原點對稱 ,它的自變量與函數(shù)值之間的數(shù)

9、值規(guī)律是1什么呢 ?(同時打出 y 1 的圖象讓學生觀察研究 )x引導學生用類比的方法 ,很快得出結論 ,再讓學生給出奇函數(shù)的定義。奇函數(shù)的定義 : 如果對于函數(shù) f (x) 的定義域內任意一個 x,都有 f( x)f (x),那么 f (x) 就叫做奇函數(shù) .(板書) (三分鐘)提問 1：大家認為定義中的關鍵詞有哪些？ 學生可能回答：任意、定義域、 f ( x) -f (x) ，提問 2：同學們體會一下“任意”，如果現(xiàn)在有函數(shù) f (x) ，1，-1 在定義域 R 內，如果有 - f (1) f ( 1) ，那么函數(shù)是奇函數(shù)。學生可能回答：正確。為什么？ 老師：有同學不同意嗎？為什么？這是可

10、以通過畫圖像來舉出反例。 追問(板書)：現(xiàn)在改一下，改成有無數(shù)個互為相反數(shù)的數(shù)， -1、1、-2、2、 -3、3、 -4都. 有 f(x)=f(-x),認為 f(x)是偶函數(shù)。學生回答：是或不是；類比上面進行追問。總結：對于如果對于函數(shù) f (x) 的定義域內任意一個 x,都有 f (-x) -f (x), 那么 f (x) 就叫做奇函數(shù)。提問 3：我們剛剛取值都是 1，-1,2，-2，甚至定義域內任意一個 m,-m，大家 觀察這些數(shù)之間有什么關系？那么相應對定義域有什么要求呢？學生回答：互為相反數(shù)，定義域中有正有負。(預設 2：也有可能回答不出定義域的特點)老師：同學怎么去用數(shù)學的語言去表述

11、它呢？（在黑板上畫出數(shù)軸，容易看 出定義域關于原點對稱）判斷是奇函數(shù)的先決條件：定義域關于原點對稱。提問 4：函數(shù) f （x） x3,x1,3 ，這個函數(shù)是奇函數(shù)嗎？說明理由學生回答：是或者不是老師從數(shù)與形兩方面去引導，舉出一個反例， f（2）,不滿足任意性。 總結判斷是奇函數(shù)的步驟：（3）定義域是否關于原點對稱（4）對于定義域內任意一個 x，都有 f（-x）=-f（-x）.提問 5：研究奇函數(shù)圖像，關于原點對稱的函數(shù)稱為奇函數(shù)，那么反之，奇 函數(shù)圖像有什么特征？關于 y 原點對稱。書 P48頁定義。提問 6：既然奇函數(shù)關于原點對稱，那么奇函數(shù)一定經(jīng)過原點嗎？ 學生：不一定，比如反比例函數(shù)。提

12、問 7：單調性呢？例 1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）;奇（2）;偶（3）.非奇非偶（4）（這里總結一下奇偶函數(shù)類型， 并留下一個思考題： 有沒有既奇又偶的函數(shù)？）（5）; 偶 ; （叫學生上黑板做）從第 4題開始，總結一下由此引導學生 ,通過剛才這個題目 ,你發(fā)現(xiàn)在判斷中需要注意些什么 ? （對定義域有什么要求） 定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的先決條件。（板書） 由學生小結判斷奇偶性的步驟： 1. 判斷定義域是否關于原點對稱 .2. 判斷 f（x）與 f（-x） 的關系 其實我們可以畫出圖像去判斷奇偶性。例 2. 判斷下列函數(shù)的奇偶性，并證明1)f (x)x2 x 1,x1,4 ；非奇

13、非偶函數(shù)2);非奇非偶(叫學生黑板做)3)f (x)1 x2奇，定義域為 -1,0)并 (0,1叫學生黑板做)x22例 3：x 1,x 0 f (x)(分段函數(shù)的奇偶性)x 1,x 0 分析：分段函數(shù)奇偶性，要分段討論，要注意 x 的取值范圍取相應的分段函數(shù)【問題三】我們繼續(xù)研究奇函數(shù)性質，奇函數(shù)圖像關于原點對稱。前面提 到奇函數(shù)不一定經(jīng)過原點，比如反比例函數(shù)，比如說上面的分段函數(shù)。那如果 一個函數(shù)在 x=0 處有定義，那么 f(0) 等于多少？提問 1：先看這個分段函數(shù)圖像，上面我加一個等于號，它還是奇函數(shù)嗎？ 學生：是，或者不是，問理由。老師：它的圖像關于原點對稱嗎？很明顯不對稱了，所以不

14、是奇函數(shù)。 老師：那么我加兩個實心，這樣就對稱了 ,這時是奇函數(shù)嗎 ? 學生回答是或者不是，理由 老師：奇函數(shù)，看名稱首先是一個函數(shù)，它是一個函數(shù)嗎？什么是函數(shù)？ 學生：對于兩個非空數(shù)集 A、B，對于集合 A 中任意一個元素， B 中有唯一 確定元素與之對應。老師：那么現(xiàn)在唯一嗎？學生答：不唯一。所以如果我在 0 處有定義，我加 一個原點，放入分段函數(shù)。這樣是奇函數(shù)嗎？學生：是所以回到剛剛的問題：當奇函數(shù)在 x=0 處有定義時， f(0)=?如果奇函數(shù)在 x=0 處有定義，一定有 f(0)=0這是對所有奇函數(shù)適用【問題四】研究偶函數(shù)圖像，定與 y 軸相交嗎？偶函數(shù)圖像關于 y 軸對稱。那么偶函數(shù)圖像舉例：分段函數(shù) f (x)1,x 1x 1,x 1例 4：你認為下列說法正確的是： _ 奇函數(shù)圖像一定經(jīng)過原點 . 偶函數(shù)圖像一定與 y 軸相交 .定是奇函數(shù)，圖像關于 y 軸對稱的 圖像關于原點成中心對稱的函數(shù) 函數(shù)一定是偶函數(shù) . f(x) 0(x R) 一定是奇函數(shù)，不是偶函