初中數(shù)學(xué)等腰三角形的分類討論與存在性問題

1、初中數(shù)學(xué)等腰三角形的分類討論等腰三角形是一種特殊而乂十分重耍的三角形，就萣閃為這種特殊性，在具休處理問題 時(shí)往往又會(huì)h!現(xiàn)錯(cuò)識(shí)，因此，同學(xué)們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)等腰三角形的問題時(shí)一定耍注意分類討論。 那么在什么情況卜應(yīng)該分類討論呢？本課分以'卜jl種憒形講述。一. 遇角需討論例1.已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為75°則其頂角為（）八.30°b. 75°c. 105°d. 30°或 75°說明：對(duì)于一個(gè)等腰三角形，若條件中丼沒有確定頂角或底角時(shí)，應(yīng)注意分情況討論， 先確定這個(gè)已知角是頂角還是底角，再運(yùn)川三角形閃角和定理求解。二. 遇邊需討論例

2、2.已知等腰三角形的一邊等于5,另-邊等t 6，則它的周長(zhǎng)等t。說明：對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪是底哪是腰時(shí)，應(yīng)在符合三 角形三邊關(guān)系的前提下分類討論。三. 遇中線需討論例3.若等腰三角形-腰上的中線分周長(zhǎng)為9cm和12cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形 的底和腰的長(zhǎng)。簡(jiǎn)析：已知條件并沒冇指明哪一部分是9cm,哪一部分是12cm,說明：這里求出來的解應(yīng)滿足三角形三邊關(guān)系定理。四. 遇高需討論例4.等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°,求這個(gè)等腰三角形的頂角的 度數(shù)。簡(jiǎn)析：例5.為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用30m2的草皮鋪設(shè)一塊一邊長(zhǎng)為10m的等腰三 角形綠地，

3、請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。說明：三角形的高是由三角形的形狀決定的，對(duì)于等腰三角形，當(dāng)頂角是銳角時(shí)，腰上 的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角姑鈍角吋，腰上的高在三角形外。五. 遇中垂線需w論例6.在aabc中，ab=ac, ab的中垂線與ac所在直線相交所得的銳角為50°，則 k角o說明：這里的-最容易漏掉，求解吋-定耍認(rèn)真分析題意，岡出所有可能的圖形，這 樣才能正確解題。等腰三角形的存在性問題專題攻略如果abc是等腰三角形，那么存在®ba = bc,= 三種情況.已知腰長(zhǎng)畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線.解等腰三允形的存在性m題，有幾何法和代

4、數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快.幾何法一般分三步：分類、畫閔、計(jì)算.代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類列方程，解方程并檢驗(yàn).針對(duì)訓(xùn)練1.如圖，在平面直角來標(biāo)系xojnp，己知點(diǎn)d在華.標(biāo)為(3, 4),點(diǎn)p是x軸正半軸上的一 個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果adop是等腰三角形，求點(diǎn)p的坐標(biāo).2. 如圖，在矩形abcd中，ab=6, bc=8,動(dòng)點(diǎn)/5以2個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)a出發(fā)，沿 ac向點(diǎn)c移動(dòng)，同吋動(dòng)點(diǎn)0以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)c出發(fā)，沿向點(diǎn)b移動(dòng)，當(dāng)p、 2兩點(diǎn)屮其屮一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)則停止運(yùn)動(dòng).在p、0兩點(diǎn)移動(dòng)過程屮，當(dāng)為等腰三 角形吋，求/的值.3. 如圖，直線y=2x+2與x軸交

5、于點(diǎn)a,與，軸交于點(diǎn)隊(duì)點(diǎn)p是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，直線p0與直線垂直，交，軸于點(diǎn)（2,如果是等腰三角形，求點(diǎn)p的華標(biāo).4. 如圖，點(diǎn)a在x軸上,04=4,將線段04繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至0b的位置.(1) 求點(diǎn)b的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過a、0、的拋物線的解析式；(3) 在此拋物線的對(duì)稱軸h,是否存在點(diǎn)p，使得以點(diǎn)p、0、b為頂點(diǎn)的三角形是等腰三 角形？若存在，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案:1.因?yàn)?£> (3，4)，所以 0d=5, coszdop如圖i，當(dāng)吋，作丄0d于£.0e 3在 rta(9p£ 屮，cos zd0p25

6、此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為($，(). 如圖2,當(dāng)o尸=od=5時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(5, 0). 如閣3，當(dāng)zx?=£>p吋，點(diǎn)£)在0p的垂直平分線上，此時(shí)點(diǎn)p的少標(biāo)為(6, 小y0p 50)第1題圖1h p第1題圖2f p笫1題閣32.在ac = dab2 + bc2 =a/62 +82 = 10因此coszacb第2題圖2第2題圖3第2題圖1如圖1，當(dāng)cp二c0吋10善2，解得，秒).如圖2，當(dāng)(2p = 0c時(shí)，過點(diǎn)0作0a7丄/1c于a/，則cm= = pc = 5ftrtaqmc 中，cos zqcm5 cq25,解得z = _ (秒). 9如圖3，當(dāng)= 吋，過點(diǎn)p作

7、丄bc于tv,則=2 2在 rta/wc 中，cos zpcnof)5 cp 10-27屬1(秒).4 cn1() 9s qn綜上所述，當(dāng)，為了秒、t秒、五秒?yún)?，為等腰三?3.由.v=2x+2 得， 1，0)，b(0, 2).所以 04=1，08=2. 如圖，由aaobgop得，0p oq=ob : 0a=2 : 1.設(shè)點(diǎn)<2的坐標(biāo)為(0, aw),那么點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2w，0).因此 afzqw+l)2, aq2=m2+, pq2=m2+(2m)2=5m2. 當(dāng)ap=a0吋，ap2=aq2,解方程（2/77+1）2=w2+1：得m = 0或m =.所以符合條 件的點(diǎn)p不存在. 當(dāng)時(shí)，p

8、a2=pq 解方程（2"z+1）2=5/zz2,得 m = 2士所以尸（4 + 2，0）. 當(dāng)必=2尸時(shí)，qaqp2,解方程w2+1=5w2,得m = ±丄.所以p（1，o）.4. （12 臨沂 26）（1）如閣，過點(diǎn)b作bc丄y軸，垂足為c.在 rtacc 巾，zboc=30°，?b=4,所以0c = 2禮所以點(diǎn)召的坐標(biāo)為（-2,-2人）.（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于0、a（4,0），設(shè)拋物線的解析式為4），代入點(diǎn) b（-2,-2），-273=-26zx（-6）. mwtz = -.6所以拋物線的解析式為y =-x2+ml .663（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，設(shè)點(diǎn)p的嘩標(biāo)為（2,y）. 當(dāng)0p=0召=4吋，0=16.所以4+y2=16.解得），=±2人.當(dāng)尸在（2,2力）時(shí)，