三角函數(shù)恒等變換

1、 三角函數(shù)恒等變換一、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1、下列各角的終邊與角的終邊的關(guān)系角2k+(kZ)+-圖示與角終邊的關(guān)系相同關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)角-+圖示與角終邊的關(guān)系關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)2、六組誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2k+(kZ)+-+正弦sin-sin-sinsincoscos余弦cos- coscos- cossin-sin正切tantan- tan- tan口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限注：誘導(dǎo)公式可概括為的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式。記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱(chēng)變?yōu)橄鄳?yīng)的余名函數(shù)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱(chēng)不變，符號(hào)

2、看象限是指把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)作為結(jié)果的符號(hào)。二、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.sin=, cos=3、形如asin+bcos的化簡(jiǎn)asin+bcos=sin(+).其中cos=,sin=三、簡(jiǎn)單的三角恒等變換1、用cos表示sin2,cos2,tan2sin2=;cos2=;tan2=注：上述三組公式從左到右起到一個(gè)擴(kuò)角降冪的作用；從右到左起到一個(gè)縮角升冪的作用。2、用cos表示sin,cos,tansin=cos=tan= 3、用sin,cos表示tantan=四、常用數(shù)據(jù): 的三角函數(shù)值 , ,注: 以上公式務(wù)

3、必要知道其推導(dǎo)思路，從而清晰地“看出”它們之間的聯(lián)系，它們的變化形式.如 等.從而可做到:正用、逆用、變形用自如使用各公式.三角變換公式除用來(lái)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanx·cotx=tan45°等。項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：;配湊角(常用角變換):、等.降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。化弦（切）法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦（切）。引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=

4、確定。1、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)相關(guān)鏈接（1），的三角函數(shù)值是化簡(jiǎn)的主要工具。使用誘導(dǎo)公式前，要正確分析角的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后確定使用的誘導(dǎo)公式；（2）不能直接使用誘導(dǎo)公式的角通過(guò)適當(dāng)?shù)慕堑淖儞Q化為能使用誘導(dǎo)公式的角，如：等。注：若出現(xiàn)時(shí)，要分為奇數(shù)和偶數(shù)討論。（3）誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了。特殊角能求值則求值；（4）化簡(jiǎn)是一種不能指定答案的恒等變形，化簡(jiǎn)結(jié)果要盡可能使項(xiàng)數(shù)少、函數(shù)的種類(lèi)少、次數(shù)低、能求出值的要求出值、無(wú)根式、無(wú)分式等。例題解析例化簡(jiǎn)：思路分析：化簡(jiǎn)時(shí)注意觀察題設(shè)中的角出現(xiàn)了，需討論是奇數(shù)還是偶數(shù)。2、三角函數(shù)的求值相關(guān)鏈接（1）六個(gè)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)

5、系是求值的基礎(chǔ)；（2）已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求其他角三角函數(shù)值時(shí)，要注意對(duì)角化簡(jiǎn)，一般是把已知和所求同時(shí)化簡(jiǎn)，化為同一個(gè)角的三角函數(shù)，然后求值。例題解析例已知，求的值。思路解析：化簡(jiǎn)已知條件化簡(jiǎn)所求三角函數(shù)式，用已知表示代入已知求解3、誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用例1在ABC中，若sin(2-A)=sin(-)，cosA=cos(-)求ABC的三內(nèi)角。思路分析：本題首先利用誘導(dǎo)公式把所給兩個(gè)等式化簡(jiǎn)，然后利用，求出cosA的值，再利用A+B+C=進(jìn)行計(jì)算。注：在ABC中常用的變形結(jié)論有：A+B+C=，2A+2B+2C=2，sin(A+B)=sin(-C)=sinC;cos(A+B)=cos(-C

6、)=-cosC;tan(A+B)=tan(-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(2-2C)=-sin2C;cos(2A+2B)= cos(2-2C)=cos2C;tan(2A+2B)=tan(2-2C)=-tan2C;sin()=sin()=cos;cos()=cos()=sin.以上結(jié)論應(yīng)在熟練應(yīng)用的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶。例2是否存在（，），（0，），使等式sin(3-)=cos(-), cos(-)= cos(+)同時(shí)成立？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思路分析：要想求出，的值，必須知道，的某一個(gè)三角函數(shù)值，因此，解決本題的關(guān)鍵是由兩個(gè)等式消去或的同名三角函數(shù)值。注：已知

7、角的三角函數(shù)值求角的一般步驟是：（1）由三角函數(shù)值的符號(hào)確定角所在的象限；（2）據(jù)角所在的象限求出角的最小正角；（3）最后利用終邊相同的角寫(xiě)出角的一般表達(dá)式。相關(guān)鏈接（1）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；二看“函數(shù)名稱(chēng)”，看函數(shù)名稱(chēng)之間的差異，從而確定使用的公式，常見(jiàn)的有“切化弦”；三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們打到變形的方向，常見(jiàn)的有“遇到分式要通分”等。（2）根式的化簡(jiǎn)常常需要升冪去根號(hào)，在化簡(jiǎn)中注意角的范圍以確定三角函數(shù)值的正負(fù)號(hào)；（3）對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特殊角，

8、解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路有：化為特殊角的三角函數(shù)值；化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值。例題解析例（1）化簡(jiǎn)（2）求值思路解析：（1）從把角變?yōu)槿胧?，合理使用公式；?）應(yīng)用公式把非角轉(zhuǎn)化為的角，切化弦。2、三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題相關(guān)鏈接三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題解決的關(guān)鍵在于把“所求角”用“已知角”表示。（1）當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；（2）當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”。（3）常見(jiàn)的配角技巧例題解析例已知，求的值。思路解析：比較題設(shè)中的角與

9、待求式中的角，不難發(fā)現(xiàn)或?qū)⒆兓癁椋儆汕蠼狻?、三角函數(shù)的給值求角問(wèn)題相關(guān)鏈接（1）通過(guò)先求角的某個(gè)三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)。若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好。（2）解給值求角問(wèn)題的一般步驟為：求角的某一個(gè)三角函數(shù)值；確定角的范圍；根據(jù)角的范圍寫(xiě)出所求的角。例題解析例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓交于A、B的橫坐標(biāo)分別為、（1）求tan(+)的值；（2）求的+2值。思路解析：由已知得cos,cos求tan,tan求tan(+) 求tan(+2) 求+2的范圍求+2的值。例2思路解析：4、三角函數(shù)的綜合應(yīng)用例已知、為銳角，向量（1） 若，求角的值；（2） 若，求tan的值。思路解析：（1）由，及的坐標(biāo)，可求出關(guān)于、的三角函數(shù)值，進(jìn)而求出角；（2） 由可求出關(guān)于、的三角恒等式，利用方程的思想解決問(wèn)題同角三角函數(shù)的基本關(guān)系已知，求 變式1：已知，<x<，求的值變式2、化簡(jiǎn)：