河南城建學(xué)院09-10(上)期末試題課件

1、109-10上期高數(shù)末考試題上期高數(shù)末考試題一、填空題一、填空題(每小題每小題3分分,共共24分分)2011.limsin .xxx 22.ln(1),d .yxxy 已已知知?jiǎng)t則314.( )1,(0)0( )d .fxff xx 設(shè)設(shè)且且，則則3.( )arctan .f xx 函函數(shù)數(shù)的的凸凸區(qū)區(qū)間間為為106.( ),( )2( )dt,( ) .f xf xxf tf x 設(shè)設(shè)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) 且且則則7. ( ) 1,11(sin )d .f xxfxx 是是上上連連續(xù)續(xù)的的偶偶函函數(shù)數(shù), ,則則5.( )xf xen 寫寫出出的的帶帶有有皮皮亞亞諾諾型型余余項(xiàng)項(xiàng)的的 階階麥麥

2、克克勞勞林林公公式式2二、選擇題二、選擇題(每小題每小題3分分,共共24分分)001.()0( )()fxxf x 是是 為為的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的 條條件件A.B.C.D.充充分分； 必必要要； 充充分分且且必必要要； 既既不不充充分分也也不不必必要要2.,()xLxyxe直直線線 與與 軸軸平平行行 且且與與曲曲線線相相切切 則則切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)是是 A (2,0);B ( 1,1);C(1, 1);D.不不存存在在. .23(1)1()yx . .曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是 A (1,1);B ( 1,1);C (0, 1);D (0,1). . . . . .00000A()( )B()(

3、 )C()( )D(, ()( ).fxfxf xf xf xf xxf xyf x . .是是的的極極大大值值；. .是是的的極極大大值值；. .是是的的極極小小值值；. .是是曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)0004()()0,()0,( )fxfxfx . .設(shè)設(shè)則則312115( )(1) ()d()nnf xf tttt . .設(shè)設(shè)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則積積分分1A 0;B 1;C;D.nn.6.( ) 1,23290,()f xa 設(shè)設(shè)在在上上的的最最大大值值為為 , ,最最小小值值為為- -, ,又又則則A.2,29; B.3,2;C.2,2;D.ababab 以以上上都都不不對(duì)對(duì)7.(

4、 )下下列列反反常常積積分分收收斂斂的的是是121000dddA. ; B. ; C.sin d ; D. 1xxxx xxxx 題題6是錯(cuò)題是錯(cuò)題4三、計(jì)算題三、計(jì)算題(每小題每小題6分分,共共24分分)200ln(1)d1.lim.1cosxxttx 求求極極限限332cos,2.42sin,xttyt 求求曲曲線線在在相相應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)處處的的曲曲率率202,03.( ),(1)d .,01xxexf xf xxxxx 設(shè)設(shè)求求2214.d .(ln )xxx 計(jì)計(jì)算算反反常常積積分分5四、解答題四、解答題(每小題每小題8分分,共共16分分)31.secd .x x 求求不不定定積積分分五、應(yīng)

5、用題五、應(yīng)用題(12分分)1yxxDDx過過原原點(diǎn)點(diǎn)作作曲曲線線的的切切線線, ,求求切切線線與與這這曲曲線線及及 軸軸圍圍成成平平面面圖圖形形 的的面面積積，以以及及區(qū)區(qū)域域 繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得立立體體的的體體積積. .609-10上期高數(shù)末考試題上期高數(shù)末考試題一、填空題一、填空題(每小題每小題3分分,共共24分分)2011.limsin .xxx 22.ln(1),d .yxxy 已已知知?jiǎng)t則314.( )1,(0)0( )d .fxff xx 設(shè)設(shè)且且，則則3.( )arctan .f xx 函函數(shù)數(shù)的的凸凸區(qū)區(qū)間間為為021d1xx 0,+)47106.( ),( )2( )

6、dt,( ) .f xf xxf tf x 設(shè)設(shè)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) 且且則則8.20yyy 微微分分方方程程的的通通解解為為 . .7. ( ) 1,11(sin )d .f xxfxx 是是上上連連續(xù)續(xù)的的偶偶函函數(shù)數(shù), ,則則1x 2 12()xCC x e 5.( )xf xen 寫寫出出的的帶帶有有皮皮亞亞諾諾型型余余項(xiàng)項(xiàng)的的 階階麥麥克克勞勞林林公公式式21()2!nnxxxo xn ( )2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffxxxO xn 81.0( ,)ypyqyp q 求求方方程程通通常常數(shù)數(shù)解解的的步步驟驟：xrxreCeCy2121 rxexCCy

7、)(21 )sincos(21xCxCeyx 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式特征根情況特征根情況12rr 實(shí)實(shí)根根12rrr 實(shí)實(shí)根根1,2ri 復(fù)復(fù)根根(1)寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程;02 qprr(2)求出特征根求出特征根;(3)根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解.復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)相相關(guān)關(guān)知知識(shí)識(shí)：9二、選擇題二、選擇題(每小題每小題3分分,共共24分分)001.()0( )()fxxf x 是是 為為的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的 條條件件A.B.C.D.充充分分； 必必要要； 充充分分且且必必要要； 既既不不充充分分也也不不必必要要D2.,()xLxyxe直直線

8、線 與與 軸軸平平行行 且且與與曲曲線線相相切切 則則切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)是是 A (2,0);B ( 1,1);C(1, 1);D.不不存存在在. .23(1)1()yx . .曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是 A (1,1);B ( 1,1);C (0, 1);D (0,1). . . . . .CD00000A()( )B()( )C()( )D(, ()( ).fxfxf xf xf xf xxf xyf x . .是是的的極極大大值值；. .是是的的極極大大值值；. .是是的的極極小小值值；. .是是曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)0004()()0,()0,( )fxfxfx . .設(shè)設(shè)則則D10 00(

9、 ),()yf xxf x 連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上凹凹弧弧與與凸凸弧弧的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)，.稱稱為為該該曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)1.拐點(diǎn)的定義拐點(diǎn)的定義:(1)拐點(diǎn)是拐點(diǎn)是曲線上曲線上的點(diǎn)的點(diǎn),是一對(duì)有序的實(shí)數(shù)是一對(duì)有序的實(shí)數(shù).復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)：(2)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)的可疑點(diǎn)：拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)的可疑點(diǎn)：( )0,( ).fxfxx 不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)2.求拐點(diǎn)方法求拐點(diǎn)方法1:00()0,.fxx 且且或或在在 處處二二階階不不可可導(dǎo)導(dǎo)則則01)( )fxx 若若在在 的的兩兩側(cè)側(cè)異異號(hào)號(hào)00(,().xf x為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)0( ),f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)02)( )fxx 若若在

10、在 的的兩兩側(cè)側(cè)不不變變號(hào)號(hào)00(,().xf x不不是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)11證：證：0()0,fx 設(shè)設(shè)3.求拐點(diǎn)方法求拐點(diǎn)方法2:00000 ( ),(,()0,()0( ).f xxxf xyxxfffx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)三三階階可可導(dǎo)導(dǎo) 且且而而那那末末是是曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)P154T150000( )()()limxxfxfxfxxx 即即00( )limxxfxxx 0 00()U x 則則000( )(),0fxxU xxx 使使0( )0 xxfx 時(shí)時(shí)；0( )0.xxfx 時(shí)時(shí) 00,()( )xf xyf x 所所以以曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn). .12復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)：1.

11、 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別( )0,fxxI ( )f x函函數(shù)數(shù)在在 I 上單調(diào)上單調(diào)遞增遞增( )0,fxxI ( )f x函函數(shù)數(shù)在在 I 上單調(diào)上單調(diào)遞減遞減定理定理1：求求)(xf的連續(xù)區(qū)間，的連續(xù)區(qū)間，求求，)(xf 求導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，用以上的點(diǎn)分割定義區(qū)間用以上的點(diǎn)分割定義區(qū)間,列表判斷列表判斷.求求 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間(判斷單調(diào)性判斷單調(diào)性)的步驟的步驟:)(xf化為化為積商，積商，132.曲線凹凸的判別曲線凹凸的判別( )0,( )fxxIyf xI 曲曲線線在在 上上是是凹凹的的. .( )0,( )fxxIyf xI 曲

12、曲線線在在 上上是是凸凸的的. .定理定理2：求函數(shù)的求函數(shù)的連續(xù)連續(xù)區(qū)間；區(qū)間；求出求出；y 求求0 y的根及的根及y 不存在的根；不存在的根；列表判斷列表判斷求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下：求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下：143. 連續(xù)函數(shù)的極值連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點(diǎn)極值可疑點(diǎn) :使導(dǎo)數(shù)為使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)或不存在的點(diǎn)x.(2) 第一充分條件第一充分條件0( )fxx 經(jīng)經(jīng)過過 由由正正變變負(fù)負(fù)0()f x為為極極大大值值；(3) 第二充分條件第二充分條件00()0,()0fxfx 00()0,()0fxfx 0( )fxx 經(jīng)經(jīng)過過 由由負(fù)負(fù)變變正正0()f x為為極

13、極小小值值. .0()f x為為極極大大值值；0()f x為為極極小小值值. .0( )fxx 經(jīng)經(jīng)過過符符號(hào)號(hào)不不變變0()f x不不是是極極值值. .154. 連續(xù)函數(shù)的最值連續(xù)函數(shù)的最值( ) , f xa b求求連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上最最值值的的方方法法步步驟驟：12(1)( )( , ),mxxxf xa b求求在在內(nèi)內(nèi)的的可可疑疑極極值值點(diǎn)點(diǎn)，(2) max M 12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af b min m 12(),(),(),mf xf xf x( ),( )f af b特別特別: 當(dāng)當(dāng)( ) , f xa b在在上上增增( (

14、減減) )時(shí)時(shí), ,最最值值必必在在端端點(diǎn)點(diǎn)處處取取得得；大大(小小)值就是最大值就是最大(小小)值值.常用于解決實(shí)際問題常用于解決實(shí)際問題 求求( )( , )lim( ), lim( )xaxbf xa bf xf x 在在內(nèi)內(nèi)的的最最值值時(shí)時(shí), ,把把參參與與比比較較； 如果在區(qū)間如果在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)極值點(diǎn)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)極值點(diǎn),則這個(gè)極則這個(gè)極I1612115( )(1) ()d()nnf xf tttt . .設(shè)設(shè)是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，則則積積分分1A 0;B 1;C;D.nn.A6.( ) 1,23290,()f xa 設(shè)設(shè)在在上上的的最最大大值值為為 , ,最最小小值值為

15、為- -, ,又又則則A.2,29; B.3,2;C.2,2;D.ababab 以以上上都都不不對(duì)對(duì)7.( )下下列列反反常常積積分分收收斂斂的的是是121000dddA. ; B. ; C.sin d ; D. 1xxxx xxxx B28.56()xyyyxe用用待待定定系系數(shù)數(shù)法法求求微微分分方方程程的的一一個(gè)個(gè)特特解解時(shí)時(shí)，應(yīng)應(yīng)設(shè)設(shè)特特解解的的形形式式為為 2222A.(); B.; C. ; D.()xxxxyax b xeyaxeyaeyax b e A題題6是錯(cuò)題是錯(cuò)題17*( )( ,)yp yq yf xp qy 常常復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)： 設(shè)設(shè)方方程程的的特特解解數(shù)數(shù)的的方方法法：:k

16、 其其中中 不不是是特特征征根根；0， 是是特特征征單單根根；1， 是是特特征征二二重重根根；2，(1) ( )( )xmf xPx e 時(shí)時(shí)*( )xmkyQxxe 則特解可設(shè)為則特解可設(shè)為(1)(2)(2)( )( )cos( )sinxlnf xePxxPxx 時(shí)時(shí)(1)(2)*( )cos( )sinxmmkyeRxxRxxx 則特解可設(shè)為則特解可設(shè)為 max:,ml n 其其中中，k 0,i 當(dāng)當(dāng)不不是是特特征征根根時(shí)時(shí)1,i 當(dāng)當(dāng)是是特特征征根根時(shí)時(shí)，18三、計(jì)算題三、計(jì)算題(每小題每小題6分分,共共24分分)200ln(1)d1.lim.1cosxxttx 求求極極限限4 04l

17、imxxx 02ln(12 )limsinxxx 式式解解: :原原332cos2.42sinxttyt 求求曲曲線線在在相相應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)處處的的曲曲率率416cossintt 221sec2 3cos( sin )yttt tant 222 3sincos2 3cos():sinttytt 解解32242213|=31( 1) tK 則則322(1)yKy 4|1,ty 42 2|3ty 191)直接用四則法則直接用四則法則;2) 恒等變形后用四則法則恒等變形后用四則法則3)利用無窮小的性質(zhì)利用無窮小的性質(zhì); 無限項(xiàng)無限項(xiàng):約去零因式約去零因式通分通分 分子分母有理化分子分母有理化1.回顧學(xué)過的

18、求極限的方法：回顧學(xué)過的求極限的方法：抓大頭抓大頭4)無窮小與無窮大的關(guān)系法無窮小與無窮大的關(guān)系法;5)復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則(變量代換法變量代換法);0:0型型: 型型:型型化無限為有限法化無限為有限法6)利用極限存在的充要條件求極限利用極限存在的充要條件求極限(如分段函數(shù)如分段函數(shù));7)利用夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則利用夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則;8)重要極限法重要極限法; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程 設(shè)設(shè)為為某某過過程程中中的的無無窮窮小小9)等價(jià)無窮小代換法等價(jià)無窮小代換法.10)連續(xù)性連續(xù)性.11)已知導(dǎo)數(shù)求極限已知導(dǎo)數(shù)求極限

19、.12)羅比達(dá)法則羅比達(dá)法則.202.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式(17個(gè)個(gè))()C 0()x 1x (sin )x cos x(cos )x sin x (tan)x 2sec x(cot)x 2csc x (sec )x sectanxx(csc )x csccotxx ()xa lnxaa()xe xe(log)ax 1lnxa(ln )x 1x(arcsin )x 211x (arccos )x 211x (arctan )x 211x (arccot)x 211x d( )d( )dxaf ttf xx 213) 參數(shù)方程求導(dǎo)法：參數(shù)方程求導(dǎo)法：復(fù)合函數(shù)法復(fù)合函數(shù)法;微商法微商法.( )

20、( ),( )xtyy xyt 由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)ddttyxyx 22ddddddddyyxxyttx 1) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接把方程兩邊對(duì)直接把方程兩邊對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo),把含有把含有 的項(xiàng)看成是的項(xiàng)看成是 的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù).xxy2)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :該法該法適用于適用于冪指函數(shù)冪指函數(shù)及某些用及某些用連乘連乘,連除連除表示的函數(shù)表示的函數(shù).對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù),按隱函數(shù)的按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)求導(dǎo)法則求導(dǎo);3.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)求導(dǎo)法求導(dǎo)法22202,03.( ),(1)d .,01xxexf xf xxxxx 設(shè)設(shè)求求20(1)df xx

21、 (12)解：解：1,xt 令令1,dd ,xtxt 則則xt02-1111( )df tt 0110( )d( )df ttf tt 201101ddtttttet 0201211d()d(2)11tttte 21e2011012 12ttttee 222.e231.定積分的計(jì)算方法：定積分的計(jì)算方法：(1)微積分基本公式：微積分基本公式：(2)定積分的換元公式：定積分的換元公式：( )dbaf xx ( ) ( )dfttt ( )d( ).bbaaf xxF x 2.定積分計(jì)算的特殊方法定積分計(jì)算的特殊方法(公式法公式法,奇偶性奇偶性,周期性周期性,幾何意義等幾何意義等)00 ( )(1

22、)( )d2( )d ( )aaaf xf xxf xxf x 奇奇偶偶00(3)(sin )d(sin )d ,2xfxxfxx 0(4)( )d( )d .a TTaf xxf xx 2200(2)(sin )d(cos )d ,fxxfxx 2200sindcosdnnx xx x 22201(5)d .4aaxxa (3)定積分的分部公式：定積分的分部公式：ddbbbaaau vuvv u 242214.d .(ln )xxx 計(jì)計(jì)算算反反常常積積分分1ln2 11limln2lnxx 21ln x 221d(ln )(ln )xx 解解: : 原原式式 ( )dlim( )dtaat

23、f xxf xx ( )dlim( )dbbuuf x xf x x ( )d( )d( )dccf x xf x xf x x xxfxxfxxfcabcbad )(d)(d)( ),(bac ( )dlim( )dbbattaf xxf xx ( )dlim( )dbtaatbf xxf xx 復(fù)習(xí)反常積分的定義：復(fù)習(xí)反常積分的定義：25反常積分的反常積分的( )( ),F xf x設(shè)設(shè)是是的的原原函函數(shù)數(shù)的計(jì)算表達(dá)式的計(jì)算表達(dá)式 : 則也有類似牛則也有類似牛 萊公式的萊公式的( )d( )aaf xxF x lim( )( )xF xF a ( )dbf x x ( )lim( )xF

24、bF x ( )df x x ( )bF x ( )F x lim( )lim( )xxF xF x ( )d( )bbaaf xxF x lim( )( )xbF xF a 若若 b 為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn), 則則若若 a 為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn), 則則( )lim( )xaF bF x ( )d( )bbaaf xxF x 26四、解答題四、解答題(每小題每小題8分分,共共16分分)31.secd .x x 求求不不定定積積分分311secdsec tanlnsectanC22x xxxxx 3secsecasec ddt nxxxxx x 2sectan(sec1)sec dxxxx x 2sectanta

25、nsec dxxxx x sectantan d(sec )xxxx 3sec:seddtan )c(xxx x 解解分部積分法使用分部積分法使用經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn) : “反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三” , 分部積分法分部積分法題目題目類型類型 :分部化簡分部化簡 ;循環(huán)解出循環(huán)解出;遞推公式遞推公式.u前前者者為為27復(fù)習(xí)不定積分公式復(fù)習(xí)不定積分公式(默寫默寫22個(gè)個(gè))冪冪2個(gè)個(gè)指指2個(gè)個(gè)三角三角10個(gè)個(gè)有理式有理式4個(gè)個(gè)無理式無理式4個(gè)個(gè)dd K xxx ，ddxxexax ，sin dcos dx xx x ，22secdcscdx xx x ，sec tan dxx x ， csc cot d .xx

26、x 2dd,1xxxx ，22211d ,d ,1xxxax sec dcsc d ,x xx x ，tan dcot d ,x xx x，2222dd.xxaxxa 221d . xxa 28復(fù)習(xí)不定積分方法復(fù)習(xí)不定積分方法1.直接積分法：直接積分法：(恒等恒等變形后變形后用用公式公式)2.換元積分法換元積分法 第一類換元法第一類換元法(也稱也稱湊微分法湊微分法)第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法:第二類換元法第二類換元法:(易積易積)(易積易積)令令( )xu ( )dg x x d( )( ) xxf ( )( )d uxf uu ( ) ( )( )d txfttt ( )df xx ( )xt 令令( )( )d()ftt ddu vuvv u 3.分部積分法分部積分法:292.440(0)1,(0)0( )0yyyyyyy xx 求求滿滿足足初