信息計(jì)算科學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、 shanghai university畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）undergraduate project (thesis)題 目: 從chebyshev到bernstein:多項(xiàng)式初探學(xué) 院 理學(xué)院專 業(yè) 信息與計(jì)算數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師 張建軍起訖日期7月8日起12月15日止上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)目 錄摘要:-2 abstract-31. 緒論-42. 第一章-63. 第二章-134. 結(jié)論-24chebyshev到bernstein:多項(xiàng)式初探摘要多項(xiàng)式問題的研究是一個(gè)古老但非常有意義的問題，它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有重要地位。多項(xiàng)式方程的求根，函數(shù)的多項(xiàng)式逼近等等問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要研究問題，

2、它不僅在理論上，而且在實(shí)際問題中都有重要應(yīng)用。 本課題研究多項(xiàng)式的大小對(duì)多項(xiàng)式根的位置的影響，考察多項(xiàng)式對(duì)于解的位置變動(dòng)的敏感性。我們從chebyshev多項(xiàng)式入手，研究多項(xiàng)式的大小對(duì)多項(xiàng)式根的位置的影響。本課題的主要內(nèi)容是對(duì)chebyshev多項(xiàng)式和bernstein多項(xiàng)式做進(jìn)一步深入分析，了解他們的有用的重要性質(zhì)。給出一些有意義新的問題的結(jié)論。本論文的創(chuàng)新點(diǎn)之一就是對(duì)多項(xiàng)式的數(shù)域的擴(kuò)充到復(fù)數(shù)的情況。巧妙地從兩個(gè)典型的多項(xiàng)式，車比雪夫多項(xiàng)式和伯恩斯坦多項(xiàng)式出發(fā)，拋磚引玉地深入問題。尤其在借鑒數(shù)值逼近中最小多項(xiàng)式的概念引出最大多項(xiàng)式的概念后對(duì)多項(xiàng)式限制一定條件后逐步深入問題。關(guān)鍵詞：最大（最小

3、）無窮范數(shù)、（最大）最小多項(xiàng)式 、根的擾動(dòng)、根的位置關(guān)系、chebyshev、bernsteinabstractpolynomial problem of research is an ancient but very meaningful questions, it is in the modern mathematics plays an important role. polynomial equation extract roots, function of polynomial approximation etc problem is applied mathematics, com

4、putational mathematics one of the important research problems, it not only theoretically, but in actual problem in all have important applications. this topic research polynomial size on the position of the influence of polynomial root, investigates the position variation of polynomial for solution

5、of sensitivity. we chebyshev polynomial, starting from research polynomial size on the position of the influence of polynomial root. this topic is main content on chebyshev polynomials and bernstein polynomial do further analysis, understand their useful important properties. give some meaningful ne

6、w problem conclusion. this thesis is one of the innovation points of polynomial number domain expansion to plurals situation. ably from two typical polynomials, car than snow cardiff polynomials and bernstein polynomial embarks, derive deeper into question. especially in drawing a numerical approach

7、 in the concept of minimum polynomials drawn to the concept of maximum polynomial after polynomial limit after certain condition deepens problem.keywords: the biggest (minimum) infinite norm, (max) minimum polynomials and roots disturbance, root position, chebyshev, bernstein緒論說明是否真的存在兩個(gè)首一的七次的實(shí)多項(xiàng)式它們

8、的根全部都在單位區(qū)間上？事實(shí)上確實(shí)存在這樣的多項(xiàng)式：一個(gè)是另一個(gè)，那么這兩個(gè)多項(xiàng)式在圖上的巨大的區(qū)別是什么造成的呢？專修數(shù)學(xué)的學(xué)生都知道任何一個(gè)首一的多項(xiàng)式，都存在兩種標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá)形式：不管什么表達(dá)形式，都需要選定n個(gè)系數(shù)才能確定多項(xiàng)式p。對(duì)于第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式，我們不妨稱他為擴(kuò)展形式，第二種標(biāo)準(zhǔn)形式就稱他為析因形式。比如對(duì)擴(kuò)展形式的標(biāo)準(zhǔn)型：我們必須確定其系數(shù)。同樣的原因?qū)ξ鲆蛐问降臉?biāo)準(zhǔn)型只有確定其多項(xiàng)式的根后才能確定多項(xiàng)式本身。起初，我們研究的問題的興趣主要在只有實(shí)根的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，所以最初我們約定多項(xiàng)式所有的根全是實(shí)數(shù)根。在本文中，我們主要聚焦多項(xiàng)式的尺度（無窮范數(shù)）的大小與其根的位置關(guān)系。我們

9、很有必要引進(jìn)這樣一個(gè)映射p：這里的，其目的是為了探究多項(xiàng)式p對(duì)自己根的位置變化的敏感性。最近關(guān)于這方面的論文【1，2，3，5，12】已經(jīng)明確表明多項(xiàng)式的臨界點(diǎn)是依賴和于所有的根與其根的位置?，F(xiàn)在我們要回顧多項(xiàng)式根的擾動(dòng)的思想，利用這個(gè)去處理多項(xiàng)式的范數(shù)大小問題。并且最終對(duì)一類多項(xiàng)式，我們能夠在某種意義上相對(duì)地說什么樣的多項(xiàng)式是他們同級(jí)別類型中的最大和最小多項(xiàng)式。當(dāng)然我們也需要先對(duì)重要的多項(xiàng)式了解其相關(guān)的重要性質(zhì)。利用他的性質(zhì)引出問題。我們主要對(duì)chebyshev多項(xiàng)式和bernstein多項(xiàng)式及其性質(zhì)有一個(gè)大概的了解。然后從這些基本但又什么重要典型的多項(xiàng)式入手研究一般多項(xiàng)的范數(shù)的相對(duì)大小和怎么

10、通過擾動(dòng)根的位置關(guān)系使范數(shù)增加等一些列深刻的研究?jī)?nèi)容。 第一章：chebyshev多項(xiàng)式 在探究真理的過程中我們或多或少的要涉及到兩類非常著名的多項(xiàng)式。比如一開頭就提到的是七次首一的chebyshev多項(xiàng)式，是一個(gè)能被變形為bernstein多項(xiàng)式。這兩類多項(xiàng)式在多項(xiàng)式家族中擁有非常重要的廣泛的應(yīng)用和的令人驚奇的性質(zhì)。我們首先回顧一下這兩個(gè)重要多項(xiàng)式的重要內(nèi)容。chebyshev多項(xiàng)式我們記，即，那么顯然有下面我們通過上面的遞推關(guān)系式得出一些重要的性質(zhì)。他是我們后面論述所必須要應(yīng)用的。性質(zhì)1：遞推關(guān)系我們來簡(jiǎn)單的說明一下。由，即，當(dāng)然也可以把看成未定元。得到形式化的線性方程組：ax=b線性方程

11、組的系數(shù)矩陣的行列式不等于零，故系數(shù)矩陣為非退化的。即為滿秩的方陣，故有唯一的解。我們進(jìn)過計(jì)算得到下列的表示形式顯然就是先前的兩個(gè)例子之一。性質(zhì)2：chebyshev多項(xiàng)式是n次多項(xiàng)式由歸納法證明：假設(shè)對(duì)所有小于等于n的chebyshev多項(xiàng)式結(jié)論都是成立的=- =由于，deg（）=故顯然是n次多項(xiàng)式，故對(duì)所有n性質(zhì)3：契比曉夫多項(xiàng)式的最高冪項(xiàng)的系數(shù)為證明：我們知道歐拉公式，故有，= 由，即，則=。性質(zhì)2告訴我們的最高項(xiàng)的次數(shù)為n。所以為了計(jì)算此多項(xiàng)式最高項(xiàng)系數(shù)，我們顯然知道對(duì)于多項(xiàng)式我們可以用這樣的極限的方法來求他最高項(xiàng)系數(shù)的。對(duì)于形如的多項(xiàng)式我們利用數(shù)學(xué)分析中分析函數(shù)性態(tài)的辦法直接可以得到

12、：多項(xiàng)式的最高項(xiàng)系數(shù)=我們?nèi)O限=性質(zhì)4： 由，是顯然的。性質(zhì)5：在中恰有n個(gè)不同的實(shí)根。k=1,2=0=k-，。=，性質(zhì)6：在區(qū)間中有n+1個(gè)點(diǎn)輪流取到最大值1和最大值-1。顯然我們把代入中，=性質(zhì)7：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)函數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶函數(shù)。事實(shí)上這是顯然的：= =，n為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù) n為偶函數(shù)時(shí)，為偶函數(shù)。性質(zhì)8：契比曉夫多項(xiàng)式是上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。，=當(dāng)m=n= 0時(shí)， 當(dāng)m=n0時(shí)， 當(dāng)mn 時(shí)， 0即為上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式。重要定理：在上，首項(xiàng)系數(shù)為1的一切次多項(xiàng)式中，對(duì)0的偏差最小。即證明：假設(shè)存在一個(gè)n次的首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式比對(duì)0的偏差更小。，在性質(zhì)6中我們知道，在中在

13、n+1個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)組處輪流取到的他的最大值1與最小值-1。所以在處，輪流取得最大值與最小值- 。我們得到不等式：所以對(duì)于在共有n+1個(gè)點(diǎn)輪流取正負(fù)號(hào)，所以我們不難通過羅爾定理得出在中至少有n個(gè)互異的實(shí)根。但由于，都是首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，故deg（）n-1，現(xiàn)在我們知道有n個(gè)不相同的實(shí)根，故，即，那顯然與先前只假設(shè)矛盾！故我們可以得到一個(gè)什么之精彩的結(jié)論：所有在區(qū)間首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，滿足其最大絕對(duì)值 第二章：最大多項(xiàng)式多項(xiàng)式的無窮范數(shù)：這是我們?nèi)某霈F(xiàn)的第一個(gè)高潮，我們先回到前面的chebyshev多項(xiàng)式我們已經(jīng)知道是在所有區(qū)間在首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中內(nèi)取到最小的最大值，在這里我們

14、可以親切地稱多項(xiàng)式為在單位區(qū)間上n次首一多項(xiàng)式中最小的多項(xiàng)式。論文緒論部分中提到的就是“單位化”而得到的。其最大值就是=非常小。在圖上幾乎看不出來。顧名思義喂最小之多項(xiàng)式。知道了什么的多項(xiàng)式叫最小的多項(xiàng)式那么自然我們對(duì)于多項(xiàng)式就要首先明白什么叫做多項(xiàng)式的大？在緒論中另一個(gè)多項(xiàng)式顯然看起來比“大”得多。我們自然先要引出一個(gè)無比重要的概念。對(duì)于任何一個(gè)多項(xiàng)式p（x）。我們用： 來定義多項(xiàng)式p（x）的無窮范數(shù)。也就是對(duì)多項(xiàng)式的大小有了一個(gè)定量的估計(jì)。起初我們?yōu)榱搜芯康男枰獙?duì)多項(xiàng)式做了一些合理的規(guī)定，接下來所要考慮的多項(xiàng)式是實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式且其所有的根都是在上的。并且他們互不相等，且，滿足a-b=0。多

15、項(xiàng)式其根的互異性是一個(gè)很自然的假設(shè)起點(diǎn)，chebyshev多項(xiàng)式（事實(shí)上整個(gè)正交多項(xiàng)式函數(shù)族）滿足這種合理的需要。最近有關(guān)這些函數(shù)這方面有趣且有用的結(jié)果都可在【1,2,3,5,12】找到。 另外一個(gè)非常重要的事實(shí)，我們對(duì)多項(xiàng)式的根，做這樣的限制是為了使多項(xiàng)式在被某種意義下被“固定”住。因?yàn)槿绻麤]有任何的限制，顯然我們總能使多項(xiàng)式的無窮范數(shù)盡可能的大，要多大有多大只要我們想那樣做的話。稍后我們會(huì)突破多項(xiàng)式其根全部是實(shí)根的限制，討論在單位復(fù)圓盤上的多項(xiàng)式的相關(guān)課題。多項(xiàng)式其根的拖動(dòng)（擾動(dòng)） 一個(gè)非常漂亮的定理關(guān)于一個(gè)實(shí)系數(shù)都是相異的實(shí)根多項(xiàng)式臨界點(diǎn)的是我們的開始的地方。在【1】中有非常非常詳細(xì)的討

16、論，安德魯先生證明了多項(xiàng)式根拖動(dòng)的一些定理： 如果我們對(duì)實(shí)系數(shù)都是相異的實(shí)根的多項(xiàng)式的一些內(nèi)部的根在一個(gè)方向上進(jìn)行移動(dòng)，每個(gè)被移動(dòng)的根的距離都不超過，那么多項(xiàng)式所有的臨界點(diǎn)都會(huì)向右方移動(dòng)，并且移動(dòng)的最大距離都少于。 在僅僅拖動(dòng)一個(gè)具體的根的時(shí)候?qū)Ρ煌蟿?dòng)前的多項(xiàng)式和被拖動(dòng)后的新多項(xiàng)式進(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)在原先的多項(xiàng)式和拖動(dòng)后形成的新多項(xiàng)式的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)了一些比較有趣的現(xiàn)象和性質(zhì)。下圖2中很生動(dòng)形象的表示了拖動(dòng)前后新老多項(xiàng)式的性態(tài)變化。當(dāng)然，我們最重要的是比較它們各自極值的變化。 圖2就是兩個(gè)五次的多項(xiàng)式，他們其他四個(gè)根沒有什么變換，其中有一個(gè)根x=0是被拖到了x=1.75。 我們最終發(fā)現(xiàn)，他是在一個(gè)根被

17、拖動(dòng)的情況下，被拖動(dòng)前的原多項(xiàng)式的極大極小值反而比拖動(dòng)后的小。即拖動(dòng)后的新多項(xiàng)式是獲得了更大的尺度。 性質(zhì)1.：設(shè)這里的為其多項(xiàng)式的相異的實(shí)根，在他們其中選一個(gè)內(nèi)部的根，稱他為，我們把他向右拖動(dòng)個(gè)單位，其中滿足。那么拖動(dòng)后得到的新的多項(xiàng)式那么與有下列一些關(guān)系。a 如果x，那么這里（當(dāng)且僅當(dāng)在他們的公共根上取等號(hào) ）b 如果x，那么這里（當(dāng)且僅當(dāng)在他們的公共根上取等號(hào)）c 最后要指出的是多項(xiàng)式與 在區(qū)間上如果有那么對(duì)任意的x都成立。反之與 在區(qū)間上如果有那么對(duì)任意的x都成立。我們不用太大的篇幅來證明這個(gè)問題，但是最最關(guān)鍵的幾點(diǎn)還是要逐一給出的。首先多項(xiàng)式和僅僅在x=的地方相交，并且都為0。此外，

18、由于-的次數(shù)已近不超過n-1，故至多有n-1個(gè)實(shí)根，而他們就是x=這些點(diǎn)。所以，在區(qū)間中不存在使和相交的點(diǎn)。有一個(gè)重要的事實(shí)，任何兩個(gè)多項(xiàng)式在公共根所構(gòu)成的區(qū)間中一定不相交。那個(gè)擁有在左端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)更大的多項(xiàng)式，比相對(duì)的那個(gè)多項(xiàng)式在這些公共的區(qū)間中更大。當(dāng)然，稍后我們將利用這兩個(gè)多項(xiàng)式的展開的方法來嚴(yán)格證明這些看似非常簡(jiǎn)單的事實(shí)。詳細(xì)的細(xì)節(jié)我們現(xiàn)在就開始了。引理 1假設(shè)和都是在區(qū)間上的多項(xiàng)式，這里有，此外在我們假定在區(qū)間內(nèi)部中和都是不相交的。那么如果有則對(duì)所有的x都成立。相類似的當(dāng)，則對(duì)所有的x都成立。證明： 由于在區(qū)間內(nèi)與不相交，不是所以對(duì)任x恒成立就是對(duì)恒成立。（不然假在一些點(diǎn)上，在其它一些

19、情況上，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)中rolle定理他們?cè)趨^(qū)間一定會(huì)有等值的交點(diǎn)，顯然與我們先前的假定直接矛盾。）我們不是一般性，不妨設(shè)根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)型，則存在一個(gè)領(lǐng)域使得成立。由于，即直接可得。盡管是對(duì)一部分領(lǐng)域成立，但又由于先前的討論知道不是所以對(duì)任意的x恒能成立就是對(duì)恒能成立。故顯然對(duì)所有的x都成立。我們把這兩個(gè)多項(xiàng)式在a處展開就可以得到：在他們兩邊同時(shí)除以x-a，并且考慮到我們能得到：在不等式兩邊取極限。顯然，有但這是絕對(duì)矛盾的，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)就是。因此我們最終得到這樣的結(jié)論：對(duì)所有的，。我們回過身來，仔細(xì)地分析與我問就可以的出性質(zhì)1，我們發(fā)現(xiàn) 對(duì)任意的，我們有如果則就有對(duì)所有的成立。對(duì)于也是相類

20、似的。當(dāng)然對(duì)于向左拖動(dòng)一個(gè)根也是有相應(yīng)的結(jié)論的。只不過需要不等式的方向做一些恰當(dāng)?shù)母淖?。即使?dāng)這些根是向左端點(diǎn)或是向右端點(diǎn)拖動(dòng)結(jié)論還是成立的。更加令人振奮的是性質(zhì)1他還適用于有多個(gè)重根的實(shí)多項(xiàng)式的情況。具體的證明與先前的幾乎沒有什么實(shí)質(zhì)性的不同，我們這次就做一省略。我們現(xiàn)在把思路理一理，回到當(dāng)初的設(shè)想，怎樣使多項(xiàng)式的范數(shù)增加。現(xiàn)在就可以利用性質(zhì)1的結(jié)論去具體操作把一個(gè)具體的多項(xiàng)式增加他的范數(shù)。就是一句話使多項(xiàng)式變得更加大。增大范數(shù)：在前面的過程中，我們需要去設(shè)置一些合理的限制關(guān)于多項(xiàng)式的零點(diǎn)。否則可能會(huì)使多項(xiàng)式的范數(shù)要多大就有多大。只要我們向無窮遠(yuǎn)處拖動(dòng)便可。許多標(biāo)準(zhǔn)的正交多項(xiàng)式都定義在單位區(qū)

21、間內(nèi)。而任意一個(gè)多項(xiàng)式總能通過一個(gè)變換使得問題轉(zhuǎn)化為在單位區(qū)間上去考慮問題。因此我們把所有考慮的多項(xiàng)式都限制在單位區(qū)間上是有充分理由的。對(duì)于任給的一個(gè)多項(xiàng)式，是否存在一個(gè)多項(xiàng)式和他的類型完全一致的多項(xiàng)式（首一的定義在單位區(qū)間上的n次含有n個(gè)互異實(shí)根的實(shí)多項(xiàng)式），使得多項(xiàng)式滿足： 呢？要回答這個(gè)問題只要利用我們前面的性質(zhì)1就直接可以得出操作的方法。先找出多項(xiàng)式的臨界點(diǎn)（使范數(shù)達(dá)到最大處的x）然后就可以使向靠近的兩個(gè)端點(diǎn)處逐漸拖動(dòng)根的位置。這將使范數(shù)增大。為了說明我們的過程，下面幾張圖就完整的說明了多項(xiàng)式范數(shù)上升的過程。 正是因?yàn)檫@樣的過程使得我們最終在拖動(dòng)的時(shí)候不是把這些實(shí)根拖向-1就是把實(shí)根拖

22、到+1那里。最終得到多項(xiàng)式是一個(gè)新的多項(xiàng)式他就是我們所說的在范數(shù)意義下所謂的更大多項(xiàng)式。并且我們?nèi)绻麅H從多項(xiàng)式根的拖動(dòng)理論的角度來說已經(jīng)達(dá)到這個(gè)多項(xiàng)式范數(shù)的極致了。bernstein多項(xiàng)式接著上面所說的對(duì)于首一的定義在單位區(qū)間上的n次實(shí)多項(xiàng)式通過拖動(dòng)根都能增大其范數(shù)，在有限部后一定能得到的新的多項(xiàng)式最終都是歸于這樣的一個(gè)集合：這些都是形如bernstein多項(xiàng)式。這樣的多項(xiàng)式有許多有趣的性質(zhì)。他們的極值也有許多形式【8】。當(dāng)然我們只想關(guān)心他們最大值在什么處取到，并且是多少。 =0=0，因此=我們關(guān)心的是哪一個(gè)能夠使范數(shù)達(dá)到最大。由于是常數(shù)，所以問題就歸結(jié)到的極值的問題了。為了表述的方便，我們用

23、變量代換,先求函數(shù)的最值。由于和具有相同的增減性，他們有相同的臨界點(diǎn)。問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，以及臨界點(diǎn)。由=0（這是唯一的臨界點(diǎn)），時(shí)，。故的最大值是一定在區(qū)間的兩端點(diǎn)之一處取得， =，所以對(duì)任何的首一實(shí)多項(xiàng)式其根在區(qū)間且以-1,1為其根的多項(xiàng)式p，其類似的我們就可以得到，我們?nèi)菀子^察到如果，則當(dāng)時(shí)，。從這里我們知道了隨著多項(xiàng)式的次數(shù)n很大時(shí)，幾乎為零。其圖像在坐標(biāo)軸上顯示為幾乎貼著實(shí)數(shù)軸。我們?cè)诰w論中的顯然就可以算這個(gè)例子。含虛根的情況： 我們自然會(huì)想，如果放寬條件，即多項(xiàng)式有虛數(shù)根的情況（多項(xiàng)式本身還是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式），是否有與先前相類似的結(jié)論？當(dāng)然，我們假定多項(xiàng)式的系數(shù)全部是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。

24、所以，根據(jù)多項(xiàng)式的理論，這樣的多項(xiàng)式的虛根一定是成對(duì)出現(xiàn)的。我們還假定所有的根的模都不超過1。我們這樣做的原因完全是為了對(duì)應(yīng)的先前多項(xiàng)式其根全是實(shí)根的情況。不過值得注意的是這里有一個(gè)關(guān)鍵的不同點(diǎn)：多項(xiàng)式根的拖動(dòng)的相應(yīng)結(jié)論都是針對(duì)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式其根全是實(shí)根的情況。對(duì)于有虛根的情況，不管是一個(gè)（對(duì)）根，還是許多個(gè)（對(duì)）虛根的情況顯然就不能包括在內(nèi)了。 假設(shè)p是一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式且-1，1都是其根。其他所有的根都在單位圓盤內(nèi)。這里的單位圓盤是（顯然是不包括其邊界的）假定p至少有一個(gè)虛根且他虛部是非零的（即不是純虛數(shù)）。我們不妨設(shè)他為因此，也是多項(xiàng)式p的一個(gè)根。其他我們分別稱為這樣，存在使得在處達(dá)到最大值

25、。固定這個(gè)，當(dāng)然除了和其他的根也不能移動(dòng)?，F(xiàn)在我們知道=。這里被作為復(fù)數(shù)的模，但其實(shí)確是一個(gè)無可辯駁的實(shí)數(shù)。用幾何的觀點(diǎn)來說，完全是被到和的距離所決定的。我們移動(dòng)（自然同時(shí)也被移動(dòng)，和總是對(duì)稱的），使與的距離增大，（同時(shí)與的距離也在增大）則也隨之增大。上圖就是沿著與連線方向移動(dòng)的過程（向圓盤的邊界移動(dòng)） 這個(gè)時(shí)候我們可以得到： 這就是說對(duì)于這樣的多項(xiàng)式一定存在另一個(gè)和他同類型的實(shí)多項(xiàng)式，他有更大的范數(shù)，此外當(dāng)我們把在圓盤內(nèi)的復(fù)根向圓盤的邊界移動(dòng)時(shí)范數(shù)會(huì)盡可能得大。最終導(dǎo)致所有的復(fù)根都在單位圓周上，所有的實(shí)根都在-1或1上面。這就和我們當(dāng)初對(duì)全部是實(shí)根的情況很類似，那么在這些形式的多項(xiàng)式中哪個(gè)多項(xiàng)式的范數(shù)最大？我們還是觀察根的位置。從幾何特征來看，固定所有的根除了一對(duì)共軛的虛根，我們可以再一次看見如何增大范數(shù)的。我們不妨就考慮所對(duì)應(yīng)的一對(duì)共軛復(fù)根的拖動(dòng)。很明顯我們從時(shí)。這對(duì)復(fù)根就變成-1和1了。而這一過程中范數(shù)一直在增大。這個(gè)過程可以對(duì)其他的共軛的復(fù)根進(jìn)行, 使得多項(xiàng)式最終變成如下形式：，現(xiàn)在已經(jīng)到極致了，不可能再拖動(dòng)了。范數(shù)已經(jīng)最大了。并且問題回到了前面所出現(xiàn)的情況。現(xiàn)在我們可以在更加廣泛的范圍內(nèi)說出我們的結(jié)論了：