信息計算科學(xué)畢業(yè)設(shè)計

1、 shanghai university畢業(yè)設(shè)計（論文）undergraduate project (thesis)題 目: 從chebyshev到bernstein:多項式初探學(xué) 院 理學(xué)院專 業(yè) 信息與計算數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師 張建軍起訖日期7月8日起12月15日止上海大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(論文)目 錄摘要:-2 abstract-31. 緒論-42. 第一章-63. 第二章-134. 結(jié)論-24chebyshev到bernstein:多項式初探摘要多項式問題的研究是一個古老但非常有意義的問題，它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有重要地位。多項式方程的求根，函數(shù)的多項式逼近等等問題是應(yīng)用數(shù)學(xué)，計算數(shù)學(xué)中的一個重要研究問題，

2、它不僅在理論上，而且在實際問題中都有重要應(yīng)用。 本課題研究多項式的大小對多項式根的位置的影響，考察多項式對于解的位置變動的敏感性。我們從chebyshev多項式入手，研究多項式的大小對多項式根的位置的影響。本課題的主要內(nèi)容是對chebyshev多項式和bernstein多項式做進(jìn)一步深入分析，了解他們的有用的重要性質(zhì)。給出一些有意義新的問題的結(jié)論。本論文的創(chuàng)新點(diǎn)之一就是對多項式的數(shù)域的擴(kuò)充到復(fù)數(shù)的情況。巧妙地從兩個典型的多項式，車比雪夫多項式和伯恩斯坦多項式出發(fā)，拋磚引玉地深入問題。尤其在借鑒數(shù)值逼近中最小多項式的概念引出最大多項式的概念后對多項式限制一定條件后逐步深入問題。關(guān)鍵詞：最大（最小

3、）無窮范數(shù)、（最大）最小多項式 、根的擾動、根的位置關(guān)系、chebyshev、bernsteinabstractpolynomial problem of research is an ancient but very meaningful questions, it is in the modern mathematics plays an important role. polynomial equation extract roots, function of polynomial approximation etc problem is applied mathematics, com

4、putational mathematics one of the important research problems, it not only theoretically, but in actual problem in all have important applications. this topic research polynomial size on the position of the influence of polynomial root, investigates the position variation of polynomial for solution

5、of sensitivity. we chebyshev polynomial, starting from research polynomial size on the position of the influence of polynomial root. this topic is main content on chebyshev polynomials and bernstein polynomial do further analysis, understand their useful important properties. give some meaningful ne

6、w problem conclusion. this thesis is one of the innovation points of polynomial number domain expansion to plurals situation. ably from two typical polynomials, car than snow cardiff polynomials and bernstein polynomial embarks, derive deeper into question. especially in drawing a numerical approach

7、 in the concept of minimum polynomials drawn to the concept of maximum polynomial after polynomial limit after certain condition deepens problem.keywords: the biggest (minimum) infinite norm, (max) minimum polynomials and roots disturbance, root position, chebyshev, bernstein緒論說明是否真的存在兩個首一的七次的實多項式它們

8、的根全部都在單位區(qū)間上？事實上確實存在這樣的多項式：一個是另一個，那么這兩個多項式在圖上的巨大的區(qū)別是什么造成的呢？專修數(shù)學(xué)的學(xué)生都知道任何一個首一的多項式，都存在兩種標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá)形式：不管什么表達(dá)形式，都需要選定n個系數(shù)才能確定多項式p。對于第一個標(biāo)準(zhǔn)形式，我們不妨稱他為擴(kuò)展形式，第二種標(biāo)準(zhǔn)形式就稱他為析因形式。比如對擴(kuò)展形式的標(biāo)準(zhǔn)型：我們必須確定其系數(shù)。同樣的原因?qū)ξ鲆蛐问降臉?biāo)準(zhǔn)型只有確定其多項式的根后才能確定多項式本身。起初，我們研究的問題的興趣主要在只有實根的實系數(shù)多項式，所以最初我們約定多項式所有的根全是實數(shù)根。在本文中，我們主要聚焦多項式的尺度（無窮范數(shù)）的大小與其根的位置關(guān)系。我們

9、很有必要引進(jìn)這樣一個映射p：這里的，其目的是為了探究多項式p對自己根的位置變化的敏感性。最近關(guān)于這方面的論文【1，2，3，5，12】已經(jīng)明確表明多項式的臨界點(diǎn)是依賴和于所有的根與其根的位置?，F(xiàn)在我們要回顧多項式根的擾動的思想，利用這個去處理多項式的范數(shù)大小問題。并且最終對一類多項式，我們能夠在某種意義上相對地說什么樣的多項式是他們同級別類型中的最大和最小多項式。當(dāng)然我們也需要先對重要的多項式了解其相關(guān)的重要性質(zhì)。利用他的性質(zhì)引出問題。我們主要對chebyshev多項式和bernstein多項式及其性質(zhì)有一個大概的了解。然后從這些基本但又什么重要典型的多項式入手研究一般多項的范數(shù)的相對大小和怎么

10、通過擾動根的位置關(guān)系使范數(shù)增加等一些列深刻的研究內(nèi)容。 第一章：chebyshev多項式 在探究真理的過程中我們或多或少的要涉及到兩類非常著名的多項式。比如一開頭就提到的是七次首一的chebyshev多項式，是一個能被變形為bernstein多項式。這兩類多項式在多項式家族中擁有非常重要的廣泛的應(yīng)用和的令人驚奇的性質(zhì)。我們首先回顧一下這兩個重要多項式的重要內(nèi)容。chebyshev多項式我們記，即，那么顯然有下面我們通過上面的遞推關(guān)系式得出一些重要的性質(zhì)。他是我們后面論述所必須要應(yīng)用的。性質(zhì)1：遞推關(guān)系我們來簡單的說明一下。由，即，當(dāng)然也可以把看成未定元。得到形式化的線性方程組：ax=b線性方程

11、組的系數(shù)矩陣的行列式不等于零，故系數(shù)矩陣為非退化的。即為滿秩的方陣，故有唯一的解。我們進(jìn)過計算得到下列的表示形式顯然就是先前的兩個例子之一。性質(zhì)2：chebyshev多項式是n次多項式由歸納法證明：假設(shè)對所有小于等于n的chebyshev多項式結(jié)論都是成立的=- =由于，deg（）=故顯然是n次多項式，故對所有n性質(zhì)3：契比曉夫多項式的最高冪項的系數(shù)為證明：我們知道歐拉公式，故有，= 由，即，則=。性質(zhì)2告訴我們的最高項的次數(shù)為n。所以為了計算此多項式最高項系數(shù)，我們顯然知道對于多項式我們可以用這樣的極限的方法來求他最高項系數(shù)的。對于形如的多項式我們利用數(shù)學(xué)分析中分析函數(shù)性態(tài)的辦法直接可以得到

12、：多項式的最高項系數(shù)=我們?nèi)O限=性質(zhì)4： 由，是顯然的。性質(zhì)5：在中恰有n個不同的實根。k=1,2=0=k-，。=，性質(zhì)6：在區(qū)間中有n+1個點(diǎn)輪流取到最大值1和最大值-1。顯然我們把代入中，=性質(zhì)7：當(dāng)n為奇數(shù)時為奇數(shù)函數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時為偶函數(shù)。事實上這是顯然的：= =，n為奇數(shù)時，為奇函數(shù) n為偶函數(shù)時，為偶函數(shù)。性質(zhì)8：契比曉夫多項式是上帶權(quán)的正交多項式。，=當(dāng)m=n= 0時， 當(dāng)m=n0時， 當(dāng)mn 時， 0即為上帶權(quán)的正交多項式。重要定理：在上，首項系數(shù)為1的一切次多項式中，對0的偏差最小。即證明：假設(shè)存在一個n次的首項系數(shù)為1的多項式比對0的偏差更小。，在性質(zhì)6中我們知道，在中在

13、n+1個交錯點(diǎn)組處輪流取到的他的最大值1與最小值-1。所以在處，輪流取得最大值與最小值- 。我們得到不等式：所以對于在共有n+1個點(diǎn)輪流取正負(fù)號，所以我們不難通過羅爾定理得出在中至少有n個互異的實根。但由于，都是首項系數(shù)為1的n次多項式，故deg（）n-1，現(xiàn)在我們知道有n個不相同的實根，故，即，那顯然與先前只假設(shè)矛盾！故我們可以得到一個什么之精彩的結(jié)論：所有在區(qū)間首項系數(shù)為1的n次多項式，滿足其最大絕對值 第二章：最大多項式多項式的無窮范數(shù)：這是我們?nèi)某霈F(xiàn)的第一個高潮，我們先回到前面的chebyshev多項式我們已經(jīng)知道是在所有區(qū)間在首項系數(shù)為1的n次多項式中內(nèi)取到最小的最大值，在這里我們

14、可以親切地稱多項式為在單位區(qū)間上n次首一多項式中最小的多項式。論文緒論部分中提到的就是“單位化”而得到的。其最大值就是=非常小。在圖上幾乎看不出來。顧名思義喂最小之多項式。知道了什么的多項式叫最小的多項式那么自然我們對于多項式就要首先明白什么叫做多項式的大？在緒論中另一個多項式顯然看起來比“大”得多。我們自然先要引出一個無比重要的概念。對于任何一個多項式p（x）。我們用： 來定義多項式p（x）的無窮范數(shù)。也就是對多項式的大小有了一個定量的估計。起初我們?yōu)榱搜芯康男枰獙Χ囗検阶隽艘恍┖侠淼囊?guī)定，接下來所要考慮的多項式是實系數(shù)的多項式且其所有的根都是在上的。并且他們互不相等，且，滿足a-b=0。多

15、項式其根的互異性是一個很自然的假設(shè)起點(diǎn)，chebyshev多項式（事實上整個正交多項式函數(shù)族）滿足這種合理的需要。最近有關(guān)這些函數(shù)這方面有趣且有用的結(jié)果都可在【1,2,3,5,12】找到。 另外一個非常重要的事實，我們對多項式的根，做這樣的限制是為了使多項式在被某種意義下被“固定”住。因為如果沒有任何的限制，顯然我們總能使多項式的無窮范數(shù)盡可能的大，要多大有多大只要我們想那樣做的話。稍后我們會突破多項式其根全部是實根的限制，討論在單位復(fù)圓盤上的多項式的相關(guān)課題。多項式其根的拖動（擾動） 一個非常漂亮的定理關(guān)于一個實系數(shù)都是相異的實根多項式臨界點(diǎn)的是我們的開始的地方。在【1】中有非常非常詳細(xì)的討

16、論，安德魯先生證明了多項式根拖動的一些定理： 如果我們對實系數(shù)都是相異的實根的多項式的一些內(nèi)部的根在一個方向上進(jìn)行移動，每個被移動的根的距離都不超過，那么多項式所有的臨界點(diǎn)都會向右方移動，并且移動的最大距離都少于。 在僅僅拖動一個具體的根的時候?qū)Ρ煌蟿忧暗亩囗検胶捅煌蟿雍蟮男露囗検竭M(jìn)行比較后發(fā)現(xiàn)在原先的多項式和拖動后形成的新多項式的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)了一些比較有趣的現(xiàn)象和性質(zhì)。下圖2中很生動形象的表示了拖動前后新老多項式的性態(tài)變化。當(dāng)然，我們最重要的是比較它們各自極值的變化。 圖2就是兩個五次的多項式，他們其他四個根沒有什么變換，其中有一個根x=0是被拖到了x=1.75。 我們最終發(fā)現(xiàn)，他是在一個根被

17、拖動的情況下，被拖動前的原多項式的極大極小值反而比拖動后的小。即拖動后的新多項式是獲得了更大的尺度。 性質(zhì)1.：設(shè)這里的為其多項式的相異的實根，在他們其中選一個內(nèi)部的根，稱他為，我們把他向右拖動個單位，其中滿足。那么拖動后得到的新的多項式那么與有下列一些關(guān)系。a 如果x，那么這里（當(dāng)且僅當(dāng)在他們的公共根上取等號 ）b 如果x，那么這里（當(dāng)且僅當(dāng)在他們的公共根上取等號）c 最后要指出的是多項式與 在區(qū)間上如果有那么對任意的x都成立。反之與 在區(qū)間上如果有那么對任意的x都成立。我們不用太大的篇幅來證明這個問題，但是最最關(guān)鍵的幾點(diǎn)還是要逐一給出的。首先多項式和僅僅在x=的地方相交，并且都為0。此外，

18、由于-的次數(shù)已近不超過n-1，故至多有n-1個實根，而他們就是x=這些點(diǎn)。所以，在區(qū)間中不存在使和相交的點(diǎn)。有一個重要的事實，任何兩個多項式在公共根所構(gòu)成的區(qū)間中一定不相交。那個擁有在左端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)更大的多項式，比相對的那個多項式在這些公共的區(qū)間中更大。當(dāng)然，稍后我們將利用這兩個多項式的展開的方法來嚴(yán)格證明這些看似非常簡單的事實。詳細(xì)的細(xì)節(jié)我們現(xiàn)在就開始了。引理 1假設(shè)和都是在區(qū)間上的多項式，這里有，此外在我們假定在區(qū)間內(nèi)部中和都是不相交的。那么如果有則對所有的x都成立。相類似的當(dāng)，則對所有的x都成立。證明： 由于在區(qū)間內(nèi)與不相交，不是所以對任x恒成立就是對恒成立。（不然假在一些點(diǎn)上，在其它一些

19、情況上，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)中rolle定理他們在區(qū)間一定會有等值的交點(diǎn)，顯然與我們先前的假定直接矛盾。）我們不是一般性，不妨設(shè)根據(jù)函數(shù)極限的保號型，則存在一個領(lǐng)域使得成立。由于，即直接可得。盡管是對一部分領(lǐng)域成立，但又由于先前的討論知道不是所以對任意的x恒能成立就是對恒能成立。故顯然對所有的x都成立。我們把這兩個多項式在a處展開就可以得到：在他們兩邊同時除以x-a，并且考慮到我們能得到：在不等式兩邊取極限。顯然，有但這是絕對矛盾的，因為我們假設(shè)就是。因此我們最終得到這樣的結(jié)論：對所有的，。我們回過身來，仔細(xì)地分析與我問就可以的出性質(zhì)1，我們發(fā)現(xiàn) 對任意的，我們有如果則就有對所有的成立。對于也是相類

20、似的。當(dāng)然對于向左拖動一個根也是有相應(yīng)的結(jié)論的。只不過需要不等式的方向做一些恰當(dāng)?shù)母淖?。即使?dāng)這些根是向左端點(diǎn)或是向右端點(diǎn)拖動結(jié)論還是成立的。更加令人振奮的是性質(zhì)1他還適用于有多個重根的實多項式的情況。具體的證明與先前的幾乎沒有什么實質(zhì)性的不同，我們這次就做一省略。我們現(xiàn)在把思路理一理，回到當(dāng)初的設(shè)想，怎樣使多項式的范數(shù)增加?，F(xiàn)在就可以利用性質(zhì)1的結(jié)論去具體操作把一個具體的多項式增加他的范數(shù)。就是一句話使多項式變得更加大。增大范數(shù)：在前面的過程中，我們需要去設(shè)置一些合理的限制關(guān)于多項式的零點(diǎn)。否則可能會使多項式的范數(shù)要多大就有多大。只要我們向無窮遠(yuǎn)處拖動便可。許多標(biāo)準(zhǔn)的正交多項式都定義在單位區(qū)

21、間內(nèi)。而任意一個多項式總能通過一個變換使得問題轉(zhuǎn)化為在單位區(qū)間上去考慮問題。因此我們把所有考慮的多項式都限制在單位區(qū)間上是有充分理由的。對于任給的一個多項式，是否存在一個多項式和他的類型完全一致的多項式（首一的定義在單位區(qū)間上的n次含有n個互異實根的實多項式），使得多項式滿足： 呢？要回答這個問題只要利用我們前面的性質(zhì)1就直接可以得出操作的方法。先找出多項式的臨界點(diǎn)（使范數(shù)達(dá)到最大處的x）然后就可以使向靠近的兩個端點(diǎn)處逐漸拖動根的位置。這將使范數(shù)增大。為了說明我們的過程，下面幾張圖就完整的說明了多項式范數(shù)上升的過程。 正是因為這樣的過程使得我們最終在拖動的時候不是把這些實根拖向-1就是把實根拖

22、到+1那里。最終得到多項式是一個新的多項式他就是我們所說的在范數(shù)意義下所謂的更大多項式。并且我們?nèi)绻麅H從多項式根的拖動理論的角度來說已經(jīng)達(dá)到這個多項式范數(shù)的極致了。bernstein多項式接著上面所說的對于首一的定義在單位區(qū)間上的n次實多項式通過拖動根都能增大其范數(shù)，在有限部后一定能得到的新的多項式最終都是歸于這樣的一個集合：這些都是形如bernstein多項式。這樣的多項式有許多有趣的性質(zhì)。他們的極值也有許多形式【8】。當(dāng)然我們只想關(guān)心他們最大值在什么處取到，并且是多少。 =0=0，因此=我們關(guān)心的是哪一個能夠使范數(shù)達(dá)到最大。由于是常數(shù)，所以問題就歸結(jié)到的極值的問題了。為了表述的方便，我們用

23、變量代換,先求函數(shù)的最值。由于和具有相同的增減性，他們有相同的臨界點(diǎn)。問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，以及臨界點(diǎn)。由=0（這是唯一的臨界點(diǎn)），時，。故的最大值是一定在區(qū)間的兩端點(diǎn)之一處取得， =，所以對任何的首一實多項式其根在區(qū)間且以-1,1為其根的多項式p，其類似的我們就可以得到，我們?nèi)菀子^察到如果，則當(dāng)時，。從這里我們知道了隨著多項式的次數(shù)n很大時，幾乎為零。其圖像在坐標(biāo)軸上顯示為幾乎貼著實數(shù)軸。我們在緒論中的顯然就可以算這個例子。含虛根的情況： 我們自然會想，如果放寬條件，即多項式有虛數(shù)根的情況（多項式本身還是實系數(shù)多項式），是否有與先前相類似的結(jié)論？當(dāng)然，我們假定多項式的系數(shù)全部是實系數(shù)多項式。

24、所以，根據(jù)多項式的理論，這樣的多項式的虛根一定是成對出現(xiàn)的。我們還假定所有的根的模都不超過1。我們這樣做的原因完全是為了對應(yīng)的先前多項式其根全是實根的情況。不過值得注意的是這里有一個關(guān)鍵的不同點(diǎn)：多項式根的拖動的相應(yīng)結(jié)論都是針對實系數(shù)多項式其根全是實根的情況。對于有虛根的情況，不管是一個（對）根，還是許多個（對）虛根的情況顯然就不能包括在內(nèi)了。 假設(shè)p是一個實系數(shù)多項式且-1，1都是其根。其他所有的根都在單位圓盤內(nèi)。這里的單位圓盤是（顯然是不包括其邊界的）假定p至少有一個虛根且他虛部是非零的（即不是純虛數(shù)）。我們不妨設(shè)他為因此，也是多項式p的一個根。其他我們分別稱為這樣，存在使得在處達(dá)到最大值

25、。固定這個，當(dāng)然除了和其他的根也不能移動?，F(xiàn)在我們知道=。這里被作為復(fù)數(shù)的模，但其實確是一個無可辯駁的實數(shù)。用幾何的觀點(diǎn)來說，完全是被到和的距離所決定的。我們移動（自然同時也被移動，和總是對稱的），使與的距離增大，（同時與的距離也在增大）則也隨之增大。上圖就是沿著與連線方向移動的過程（向圓盤的邊界移動） 這個時候我們可以得到： 這就是說對于這樣的多項式一定存在另一個和他同類型的實多項式，他有更大的范數(shù)，此外當(dāng)我們把在圓盤內(nèi)的復(fù)根向圓盤的邊界移動時范數(shù)會盡可能得大。最終導(dǎo)致所有的復(fù)根都在單位圓周上，所有的實根都在-1或1上面。這就和我們當(dāng)初對全部是實根的情況很類似，那么在這些形式的多項式中哪個多項式的范數(shù)最大？我們還是觀察根的位置。從幾何特征來看，固定所有的根除了一對共軛的虛根，我們可以再一次看見如何增大范數(shù)的。我們不妨就考慮所對應(yīng)的一對共軛復(fù)根的拖動。很明顯我們從時。這對復(fù)根就變成-1和1了。而這一過程中范數(shù)一直在增大。這個過程可以對其他的共軛的復(fù)根進(jìn)行, 使得多項式最終變成如下形式：，現(xiàn)在已經(jīng)到極致了，不可能再拖動了。范數(shù)已經(jīng)最大了。并且問題回到了前面所出現(xiàn)的情況?，F(xiàn)在我們可以在更加廣泛的范圍內(nèi)說出我們的結(jié)論了：