空間直角坐標(biāo)系及向量及其加減法課件

1、1一一 空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)二二 空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離一一. . 向量的概念向量的概念二向量的加減法二向量的加減法三、向量與數(shù)的乘法三、向量與數(shù)的乘法2坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸: x 軸軸 (橫軸橫軸), y 軸軸 (縱軸縱軸), z 軸軸 (豎軸豎軸).一一 空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)xyzo右手系右手系xoyyozzox坐標(biāo)面坐標(biāo)面:坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn) o三個(gè)坐標(biāo)面把空間分隔成八個(gè)部分三個(gè)坐標(biāo)面把空間分隔成八個(gè)部分,每個(gè)部分稱為每個(gè)部分稱為卦限卦限.依次叫做第一至第八卦限依次叫做第一至第八卦限.xyz0 V V V V V 3MPQRxxyyzzo點(diǎn)點(diǎn)P, Q, R為點(diǎn)為點(diǎn)

2、M 在坐標(biāo)軸上的投影在坐標(biāo)軸上的投影,),(zyxM設(shè)設(shè) M 為空間內(nèi)一點(diǎn)，為空間內(nèi)一點(diǎn)，稱為稱為點(diǎn)點(diǎn)M 的坐標(biāo)的坐標(biāo).),(zyx點(diǎn)點(diǎn) M 的的橫坐標(biāo)橫坐標(biāo), 縱坐標(biāo)縱坐標(biāo), 豎坐標(biāo)豎坐標(biāo).點(diǎn)點(diǎn)M 記為記為 ).,( zyxM);0 ,( yxMxoyM ), 0(; zyMyozM );, 0 ,(zxMzoxM 例如例如 x 軸上的點(diǎn)，軸上的點(diǎn)，);0 , 0 ,(xM坐標(biāo)為坐標(biāo)為 y 軸上的點(diǎn)，軸上的點(diǎn)，);0 , 0(yM坐標(biāo)為坐標(biāo)為Z 軸上的點(diǎn)，軸上的點(diǎn)，);, 0 , 0(zM坐標(biāo)為坐標(biāo)為)0 , 0 , 0(原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面和坐標(biāo)軸上的點(diǎn) , 其坐標(biāo)各

3、有其坐標(biāo)各有一定的特點(diǎn)一定的特點(diǎn),4第二卦限第二卦限: ; 0, 0, 0 zyx第三卦限第三卦限: ; 0, 0, 0 zyx第四卦限第四卦限: ; 0, 0, 0 zyx第五卦限第五卦限: ; 0, 0, 0 zyx第六卦限第六卦限: 第七卦限第七卦限: 第一卦限第一卦限: ; 0, 0, 0 zyx第八卦限第八卦限: ; 0, 0, 0 zyx; 0, 0, 0 zyx. 0, 0, 0 zyx:在各卦限內(nèi)的符號(hào)在各卦限內(nèi)的符號(hào)、zyxxyz0 V V V V V5二二 空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離22212212NMNMMMd 22221NMPNPM 121xxPM 12yyPN

4、212212212)()()(zzyyxxd , ),(1111zyxM),(2222zyxM設(shè)設(shè) 的的距距離離為為與與特特別別地地0 , 0 , 0),( ,OzyxM222zyxOMd 122zzNM xyzoP1P2PR1R2RQ2Q1QN2M1M空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離公公式式614)12()31()47(222221 MM6)23() 12()75(222232 MM6)31()23()54(222213 MM1332 MMMM 即即321MMM 為等腰三角形為等腰三角形例例1解解求證以求證以)3 , 2 , 5(),2 , 1 , 7(),1 , 3 , 4(321MMM三

5、角形是一等腰三角形三角形是一等腰三角形.三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的解解), , 0 , 0( zM設(shè)設(shè)該該點(diǎn)點(diǎn)為為222)7() 10()40( z222) 2() 50() 30( z解得解得,914 z所求的點(diǎn)為所求的點(diǎn)為) 914 , 0 , 0( M例例2在在 Z軸上求與兩點(diǎn)軸上求與兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)等距離的點(diǎn).),7 , 1 , 4( A)2 , 5 , 3( BMBMA 由題意由題意即即7一一. . 向量的概念向量的概念既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量,稱為稱為向量向量(矢量矢量). 如速度如速度, 用用有向線段有向線段表示向量表示向量. 有向線段的長(zhǎng)度表示有向線段的長(zhǎng)度表示

6、例如例如向量向量21MM也可用一個(gè)字母表示也可用一個(gè)字母表示. 例如例如Fvba , , ,a, b, v, F 或或1M2Ma向量的向量的大小大小, 有向線段的方向表示向量的有向線段的方向表示向量的方向方向.加速度加速度, 力力, 位移等位移等.于點(diǎn)于點(diǎn) O 的的向徑向徑. 常用常用 r 表示表示.原點(diǎn)原點(diǎn) O 為起點(diǎn)為起點(diǎn), M 為終點(diǎn)的向量為終點(diǎn)的向量 OM叫做點(diǎn)叫做點(diǎn) M 對(duì)對(duì)1. 向量向量:2. 向量的表示向量的表示:3. 向徑：向徑：xyz0M 與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量稱為與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量稱為自由向量自由向量 (向量向量).若無(wú)特殊說(shuō)明，只研究自由向量若無(wú)特殊說(shuō)明，只研究自由向量4 .自由

7、向量自由向量:8向量的大小叫做向量的大小叫做向量的模向量的模,記作記作模等于的向量叫做模等于的向量叫做單位向量單位向量.模等于零的向量叫做模等于零的向量叫做零向量零向量, 記作記作零向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，方向可任意零向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，方向可任意.21MM0 0或或兩個(gè)非零向量方向相同或相反兩個(gè)非零向量方向相同或相反, 稱這兩個(gè)向量稱這兩個(gè)向量ba/零向量與任何向量都平行零向量與任何向量都平行.平行平行, 記作記作cba/cab若若 大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 相等相等ba,ba,. ba 記記做做5. 兩個(gè)向量相等兩個(gè)向量相等:6. 向量的模向量的模:7. 兩向量平行

8、兩向量平行:規(guī)定：規(guī)定：8. 向量的夾角向量的夾角:垂直垂直 ba),(),( abbaBAo abb OBaOA , 0 ,AOB規(guī)規(guī)定定ba與與為為向向量量記記作作的的夾夾角角,9bac 這種方法稱為向量加法的這種方法稱為向量加法的三角形法則。三角形法則。二向量的加減法二向量的加減法向量加法的規(guī)定：向量加法的規(guī)定：bBC ,aAB ABaCbba 設(shè)向量設(shè)向量ba,如圖如圖,作作規(guī)定向量規(guī)定向量即即的的和和向向量量與與為為 , bacAC 另外，有向量加法的另外，有向量加法的平行四邊形法則。平行四邊形法則。ba CabABD(1) 交換律交換律 向量加法的運(yùn)算規(guī)律向量加法的運(yùn)算規(guī)律abba

9、 (2) 結(jié)合律結(jié)合律 )()(cbacba abcba cb cba 10 由此可推得，由此可推得，n 個(gè)向量相加個(gè)向量相加, 做法為：做法為：4321aaaas 如如圖圖：s1a2a3a4anaaas 21 即即將將 n 個(gè)向量首尾相接依次作出個(gè)向量首尾相接依次作出,.a 記作記作a與與向向量量的模相同而方向相反的向量叫做的模相同而方向相反的向量叫做兩向量的差：兩向量的差：)( abab baba baba 負(fù)向量：負(fù)向量：,的負(fù)向量的負(fù)向量aabab a abab aa 然后從首向量的起點(diǎn)到末向量然后從首向量的起點(diǎn)到末向量引一向量即為和向量引一向量即為和向量.的終點(diǎn)的終點(diǎn)由此規(guī)定由此規(guī)定

10、 . 0 , aaaa特特別別地地不難得到：不難得到：11三、向量與數(shù)的乘法三、向量與數(shù)的乘法. aa 特別地特別地,00 aa)0( a)0( aaaaa )1( ,1aa/ 向量與數(shù)的乘積的規(guī)定：向量與數(shù)的乘積的規(guī)定：它它的的模模記記作作 .a ,的的乘乘積積是是一一個(gè)個(gè)向向量量與與實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)向向量量 a).(,)0(0,相相反反的的方方向向相相同同與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)它它的的方方向向a 運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律: (1) 結(jié)合律結(jié)合律 aaa (2) 分配律分配律 babaaaa 定理定理1. ,ab 使使實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的充分必要條件是存在的充分必要條件是存在 aba/ , 0 則則設(shè)設(shè)向向量量唯一的唯一的12再證唯再證唯 一性一性.證證. , 0 , 0| 即即故故因因 a充分性是顯然的充分性是顯然的.下面證必要性下面證必要性.ab/ 設(shè)設(shè)反反向向與與當(dāng)當(dāng)為為正正同同向向時(shí)時(shí)與與且且當(dāng)當(dāng)使使取取實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)ababab ,| .,ab 則則為為負(fù)負(fù)時(shí)時(shí), ,abab 設(shè)設(shè). 0)( a則則. ,00aa記記做做同同方方向向的的單單位位向向量量與與向向量量 |1 ,| 00aaaaaaaa 易易知知有有量量同同向向的的單單位位向向量量。向向的的模模的的結(jié)結(jié)果果是是一一個(gè)個(gè)與與原原即即：一一非非零零向向量量除除以以它它 定理定理1.