平均數(shù)二數(shù)值平均數(shù)PPT課件

1、 設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值： x1、x2、xn， 則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算： 其中，為總和符號(hào)； 表示從第一個(gè)觀測(cè)值x1累加到第n個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng) 在意義上已明確時(shí)，可簡(jiǎn)寫(xiě)為x，（3-1）式可改寫(xiě)為： nxnxxxxniin121niix1nxx第1頁(yè)/共45頁(yè) 【例3.1】 某種公牛站測(cè)得10頭成年公牛的體重分別為500、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均數(shù)。 由于 x=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285， n=10 第2頁(yè)/共45頁(yè) 得： 即10頭種公牛平均體重為528.5 kg。

2、 （二）加權(quán)法 對(duì)于樣本含量 n30 以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為： .5(kg)528105285nxxffxfxffffxfxfxfxkiikiiikkk11212211第3頁(yè)/共45頁(yè) 式中： 第i組的組中值； 第i組的次數(shù)； 分組數(shù) 第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此將fi 稱為是xi的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。 【例3.2】 將100頭長(zhǎng)白母豬的仔豬一月窩重（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。ixifk第4頁(yè)/共45頁(yè)要點(diǎn)解釋權(quán)數(shù)（Weighted），是分布數(shù)列中的頻數(shù)或頻率。

3、對(duì)求平均數(shù)具有權(quán)衡輕重的作用，是影響平均數(shù)變動(dòng)的兩個(gè)因素之一（另一因素是變量值）。權(quán)數(shù)例(1) (2)(3)X456合計(jì)頻數(shù) 頻率(%)10201025.050.025.040100.0X456合計(jì)頻數(shù) 頻率(%)20402025.050.025.080100.0X456合計(jì)頻數(shù) 頻率(%)20101050.025.025.080100.0 =5 =5 =4.75 xxx第5頁(yè)/共45頁(yè) 表31 100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表第6頁(yè)/共45頁(yè) 利用（32）式得： 即這100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。 計(jì)算若干個(gè)來(lái)自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)

4、采用加權(quán)法計(jì)算。 )(2 .451004520kgffxx第7頁(yè)/共45頁(yè) 【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500頭，其平均體重為750 kg ，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725 kg，如果將這兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體重為多少？ 此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即 第8頁(yè)/共45頁(yè) 即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89 kg。 （三）平均數(shù)的基本性質(zhì) 1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。 或簡(jiǎn)寫(xiě)成)(89.738270012007251500750

5、kgffxx0)(1xxnii0)(xx第9頁(yè)/共45頁(yè) 2、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。 (xi- )2 (xi- a)2 （常數(shù)a ） 或簡(jiǎn)寫(xiě)為： 對(duì)于總體而言，通常用表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為： ni 1xni 12)(xx2)(xNxNii1x第10頁(yè)/共45頁(yè) 式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。 當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。 統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（ ）作為總體平均數(shù)（）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。 x第11頁(yè)/共45頁(yè)常用的幾種數(shù)值平均數(shù)：概 念 計(jì)算 公 式

6、特 點(diǎn)優(yōu)點(diǎn):容易理解， 便于計(jì)算； 靈敏度高； 穩(wěn)定性好； 、 和 。缺點(diǎn):易受極值影響； 在偏斜分布和U形分布中，不具有代 表性。1. 算術(shù)平均數(shù)（ ）標(biāo)志總量與總體單位總數(shù)的比值nxxiiiiffxx簡(jiǎn)單：加權(quán)：0 xx最小2xxx第12頁(yè)/共45頁(yè)常用的幾種平均數(shù)： 概 念 計(jì)算 公 式 特 點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：靈敏度高； 在某種不能計(jì) 算的條件下， 可以代替算術(shù) 平均數(shù)。 缺點(diǎn)：不易理解； 易受極值影響； 有“0”值時(shí)不能 計(jì)算。2. 調(diào)和平均數(shù)（ ）標(biāo)志值倒數(shù)平均數(shù)的倒數(shù)簡(jiǎn)單：加權(quán)：HxiHxnx/1iXiiHmmx/第13頁(yè)/共45頁(yè)調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的區(qū)別頻率分布變了，均值也變。因此，嚴(yán)

7、格地說(shuō)，權(quán)數(shù)應(yīng)指頻率。凡是掌握被平均指標(biāo)的分母資料時(shí)，用算術(shù)平均法。凡是掌握被平均指標(biāo)的分子資料時(shí)，用調(diào)和平均法。平均指標(biāo)分子：標(biāo)志總量分母：總體單位總數(shù)幾何平均等于對(duì)數(shù)的算術(shù)平均 組距數(shù)列求中位數(shù)是用插值法對(duì)中位數(shù)組分割的結(jié)果。第14頁(yè)/共45頁(yè)價(jià)格（元）3.32.52.0合計(jì)銷售量（斤）3451254350 . 245 . 233 . 3iiiffxx算術(shù)平均求某種商品三種零售價(jià)格的平均價(jià)格調(diào)和平均100 . 21105 . 219 . 93 . 3110109 . 91iiiHmxmx49. 203.129 .29價(jià)格（元）3.32.52.0合計(jì)銷售額（元）9.9101029.9例)(4

8、92. 2129 .29元第15頁(yè)/共45頁(yè)三、幾何平均數(shù) n 個(gè)觀測(cè)值相乘之積開(kāi) n 次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)，記為G。它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析，畜禽疾病及藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析 。 如畜禽 、水產(chǎn)養(yǎng)殖的 增長(zhǎng)率，抗體的滴度，藥物的效價(jià)，畜禽疾病的潛伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下： nnnnxxxxxxxxG1)(321321第16頁(yè)/共45頁(yè) 為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即 【例3.7】 某波爾山羊群19972000年各年度的存欄數(shù)見(jiàn)表33，試求其年平均增長(zhǎng)率。 )lglg(l

9、g1lg211nxxxnG第17頁(yè)/共45頁(yè) 表33 某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長(zhǎng)率第18頁(yè)/共45頁(yè) 利用（37）式求年平均增長(zhǎng)率 G= =lg-1（-0.368-0.3980.602） =lg-1（-0.456）=0.3501 即年平均增長(zhǎng)率為0.3501或35.01%。)lglg(lg1lg211nxxxn第19頁(yè)/共45頁(yè)例 求95%、93%、90%的幾何平均數(shù)%64.9279515. 0%90%93%9533Gx455. 8943. 7561. 8912. 83190. 0log93. 0log95. 0log31logGx%71.92Gx（計(jì)算誤差：0.0007）第20頁(yè)/共45

10、頁(yè)常用的幾種平均數(shù)：概 念 計(jì)算 公 式 特 點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): 靈敏度高； 受極值影響小于 和 適宜于各比率之積 為總比率的變量求 平均。缺點(diǎn): 有“0”或負(fù)值時(shí) 不能計(jì)算； 偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列只能 用正根。3. 幾何平均數(shù)（ ）幾個(gè)變量值連乘積的幾次根簡(jiǎn)單：加權(quán)：GxniGxxififiGxx第21頁(yè)/共45頁(yè)位置平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系XfXfXfMoMex(對(duì)稱分布)MoMex正偏態(tài)分布（右）MoMex負(fù)偏態(tài)分布(左）在偏斜不大時(shí))(2MexMoMexMeMo2332xMoMe23MoMex1212xxMeMeMoMoxMeMo(對(duì)稱分布)正偏態(tài)分布（右）負(fù)偏態(tài)分布(左）(對(duì)稱分布)正偏態(tài)分布（右）(對(duì)

11、稱分布)正偏態(tài)分布（右）負(fù)偏態(tài)分布（左）（對(duì)稱分布）正偏態(tài)分布（右）第22頁(yè)/共45頁(yè)應(yīng)用平均指標(biāo)的原則 1必須是同質(zhì)的量方可平均； 2總平均數(shù)與組平均數(shù)結(jié)合分析； 3根據(jù)具體條件選擇平均方法； 4平均數(shù)與典型值和分配數(shù)列結(jié)合分析； 5集中趨勢(shì)與離散趨勢(shì)結(jié)合分析。第23頁(yè)/共45頁(yè)第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差 一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義 用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。第24頁(yè)/共45頁(yè) 全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)計(jì)量。但是全距只利用了資料中的最大值和

12、最小值，并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。 第25頁(yè)/共45頁(yè) 為 了 準(zhǔn) 確 地 表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度 ，人們 首 先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，（ ） ，稱為離均差。 雖然離均差能表示一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù) ，離均差之和 為零，即（ ） = 0 ，因 而 不 能 用離均差之和（ ）來(lái) 表 示 資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。 xxxxxx第26頁(yè)/共45頁(yè) 為了解決離均差有正 、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn) 題 ， 可先求 離 均 差的絕

13、對(duì) 值 并 將 各 離 均 差 絕對(duì) 值 之 和 除以 觀 測(cè) 值 個(gè) 數(shù) n 求 得 平 均 絕 對(duì) 離差，即| |/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異程度 ，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào) ，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。xx第27頁(yè)/共45頁(yè) 我們還可以采用將離均差平方的辦法來(lái)解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題。 先將各 個(gè)離 均差平方，即 ( )2 ，再求 離均差平方和 ， 即 ，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS； 由 于 離差平方和 常 隨 樣 本 大 小 而 改 變 ，為 了 消 除 樣 本大小 的 影 響 ， 用平方和 除 以 樣 本 大 小， 即 ，求出離均差平

14、方和的平均數(shù) ；xx2)(xx nxx/)(2第28頁(yè)/共45頁(yè) 為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú) 偏估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度 n-1， 于是，我們 采 用統(tǒng)計(jì)量 表示資料的變異程度。 統(tǒng)計(jì)量 稱 為 均 方 （ mean square縮寫(xiě)為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即 S2= 1/)(2nxx1/)(2nxx1/)(2nxx第29頁(yè)/共45頁(yè) 相應(yīng)的總體參數(shù)叫 總體方差 ，記為2。對(duì)于有限總體而言，2的計(jì)算公式為： Nxx/)(22第30頁(yè)/共45頁(yè) 由于 樣本方差 帶有原觀測(cè)單位的 平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程

15、度而不作其它分析時(shí) ， 常需要與平均數(shù)配合使用 ，這 時(shí)應(yīng) 將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)學(xué)上把樣本方差 S2 的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn) 差，記為S，即： 1)(2nxxS第31頁(yè)/共45頁(yè) 由于 所以上式可改寫(xiě)為： )2()(222xxxxxx222xnxxx222)()(2nxnnxxnxx22)(12)(2nxSnx第32頁(yè)/共45頁(yè) 相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為。對(duì)于有限總體而言，的計(jì)算公式為： 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。 Nx/)(2第33頁(yè)/共45頁(yè)二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法 （一）直接法 對(duì)于未分組或小樣本資料 ， 可直接利用（311）或（3-12）式

16、來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。第34頁(yè)/共45頁(yè) 【例3.9】 計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。 此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：x=5400，x2=2955000，代入（312）式得： 即10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量的 標(biāo)準(zhǔn)差 為65.828g。828.6511010/540029550001/)(222nnxxS第35頁(yè)/共45頁(yè) （二）加權(quán)法 對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式為： 式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；f = n為總次數(shù)。 1/)(1)(

17、222fffxfxfxxfS第36頁(yè)/共45頁(yè) 【例3.10】 利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見(jiàn)表3-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。 將表3-4中的f、fx、 代入（314）式得： 即某 純 系 蛋 雞200枚 蛋 重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。5524. 31200200/1.1070511.5755071/)(222fffxfxS2fx第37頁(yè)/共45頁(yè) 表34 某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布 及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表第38頁(yè)/共45頁(yè) 三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性 （一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個(gè)觀測(cè)值的影響，如觀測(cè)值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。 （二）在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，在各觀測(cè)值加上或減去一個(gè)常數(shù)

18、，其數(shù)值不變。 （三）當(dāng)每個(gè)觀測(cè)值乘以或除以一個(gè)常數(shù)a，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或1/a倍。 第39頁(yè)/共45頁(yè) （四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準(zhǔn)差（ S）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（ 2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差（ 3S） 范 圍內(nèi)。也就是說(shuō)全距近似地等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（全距/6）來(lái)粗略估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。 xxx第40頁(yè)/共45頁(yè)第三節(jié) 變異系數(shù) 變異系數(shù)是衡量資料中各觀測(cè)值變異 程度的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)量 。 標(biāo) 準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱為 變異系數(shù)，記為CV。 變異系數(shù)可以消除單位 和 （或）平 均數(shù)不同對(duì)兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度比較的影響。 第41頁(yè)/共45頁(yè) 變異系數(shù)的計(jì)算公式為： 【例3.11】 已知某良種豬場(chǎng)長(zhǎng)白成年母豬平均體重為 19