一類次序統(tǒng)計(jì)量的精致漸近性

1、一類次序統(tǒng)計(jì)量的精致漸近性摘要：對(duì)-極值吸引場(chǎng)（）的隨機(jī)樣本及非隨機(jī)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量的精致漸近性進(jìn)行了討論，得到非隨機(jī)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量的精致漸近性的結(jié)果是隨機(jī)樣本的結(jié)果當(dāng)時(shí)的特況.關(guān)鍵詞：精致漸近性；weibull分布；最大值吸引場(chǎng).abstract: we do some research on the maximum domain of attraction of the random sample and non random samples order statistics. then draw the conclusion that the result of the precise

2、 asymptotic of the non random samples order statistics is the special case of that of the random one.key words: precise asymptotic; the weibull distribution;the maximum domain of attraction1. 引言和主要結(jié)論本文假設(shè)為非退化獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量列，其共同的分布函數(shù)為.記近年來(lái)，對(duì)隨機(jī)變量的考慮已經(jīng)有了很多的成果，但涉及到次序統(tǒng)計(jì)量的并不多，有文獻(xiàn)考慮了iid的隨機(jī)變量序列的分布函數(shù)屬于極值分布為freche

3、t分布的最大值吸引場(chǎng)的情況下的相應(yīng)次序統(tǒng)計(jì)量的精致漸近性，本文旨在考慮極值分布是weibull分布的最大值吸引場(chǎng)的精致漸近性。 首先介紹極值分布的相關(guān)概念及內(nèi)容.定義 設(shè)為非退化獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量列，其共同的分布函數(shù)為.若存在某適當(dāng)?shù)?，及分布函?shù)使 （1.1）則稱（或）屬于極值分布的最大值吸引場(chǎng).注1 由fisher-tippett定理（參見1中的定理3.2.3）知，只有french分布，gumbel分布，weibull分布三種情況，其中.若，則稱 (或)屬于weibull分布的最大值吸引場(chǎng)，記作（或），本文只關(guān)注,周知，.由1中定理3.3.7知當(dāng)且僅當(dāng)，其中為正值慢變函數(shù).若，則 （1.2

4、）其中正則化常數(shù)滿足.中心化常數(shù)注2（1.2）式中的極限分布在仿射變換的意義下是唯一的：（詳見1）設(shè)為與序列互相獨(dú)立的iid的隨機(jī)變量列. 以概率1取正值且.記.則為一更新計(jì)數(shù)過(guò)程.定義隨機(jī)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量定義非隨機(jī)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量為在上述基礎(chǔ)上，我們得到如下關(guān)于次序統(tǒng)計(jì)量和（假定這兩種次序統(tǒng)計(jì)量都是有意義的，即以及）的精致漸近性的結(jié)果.定理1.1 設(shè)，則對(duì)有 (1.3)特別的 (1.4)注3 非隨機(jī)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量的精致漸近性的結(jié)果（1.4）是隨機(jī)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量的精致漸近性的結(jié)果（1.3）中時(shí)的特況.定理1.2 條件同定理1.1.則對(duì)有 (1.5)特別地 (1.6)注4 不難看出，定理1.

5、2是定理1.1中的情況，但兩者的收斂速度卻完全不同.同樣，定理1.2中非隨機(jī)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量的精致性的結(jié)果是隨機(jī)樣本情況中時(shí)的特況。2 主要引理以下均設(shè)為正常數(shù)，且在不同的地方可以不同。引理2.1設(shè)為某極值分布，則對(duì)某標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)，使當(dāng)且僅當(dāng)引理2.2設(shè).其中，為某極值分布，則. (2.1)引理2.3設(shè).其中，為某極值分布，則. (2.2)為了書寫方便，以下記，則將代入得，.引理2.4 對(duì)上述，我們有.特別地證明：事實(shí)上引理證畢。引理2.5 若，為任意大于零的常數(shù)，則對(duì)，當(dāng)n充分大時(shí)有， （2.3），. （2.4）其中為與無(wú)關(guān)的常數(shù).證明：，先證（2.3）式成立.令.則由于為i.i.d.的隨機(jī)變

6、量列，故由markov不等式得.又由，知 （2.5）類似地有 （2.6）故以下我們只需證.事實(shí)上，由于,故存在某正值慢變函數(shù)，使得，又，從而，當(dāng)n充分大時(shí)，不妨設(shè)，則 （2.7）再由potter定理知，對(duì)充分大的.存在使得.故根據(jù)（2.7）式得.引理證畢.3.定理的證明定理1.1的證明 先證（1.3）式成立.根據(jù)引理2.4得： （3.1）再由如下不等式組及（3.1）式即得故以下我們只需證 （3.2）記，則由引理2.2知.設(shè)為充分大常數(shù)，則有，. （3.3）下證 （3.4） （3.5）事實(shí)上，由于，故有故由（3.7）式及知此即（3.5）式成立.另一方面，設(shè)，根據(jù)引理2.5得.從而.即（3.6）式

7、成立.故由（3.4）（3.5）（3.6）即得（1.3）式成立.（1.4）式的證明只需令上述計(jì)數(shù)過(guò)程中的作為（1.3）的特況.定理證畢.定理1.2的證明 先證（1.5）式成立，首先 （3.7）故由（3.7）式及下述不等式組.即得故以下我們只需證 （3.8）首先對(duì),有 （3.9）下證. （3.10）. （3.11）當(dāng)時(shí)，（3.11），（3.12）式的證明類似于定理2.1中的證明，我們不再累贅.同（1.4）的證明，（1.6）式是（1.5）式得特況.定理證畢。參考文獻(xiàn)：【1】p. embrechts, c.kl$ddotu$ppelberg, t.mikosch, modelling extremal

8、 events for insurance andfinance,1997, springer.【2】n. h. bingham, c. m. goldie, j. l. teugels, regular variation, 1987, cambridge, london, etc. 【3】嚴(yán)繼高，王岳寶，成鳳旸，一類非隨機(jī)樣本及隨機(jī)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量的精致漸近性，系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，26（2） （2006，4）， 237244后記時(shí)間如白駒過(guò)隙，依稀還記得去年申請(qǐng)莙政學(xué)者時(shí)的情景，交材料，面試，暑期研修，轉(zhuǎn)眼已經(jīng)到了結(jié)題的時(shí)候了。筆鋒至此，心中竟充滿著對(duì)這一年來(lái)莙政之路上陪伴我的人還有發(fā)生的事的

9、感動(dòng)、牽掛與不舍。從面對(duì)著課題的一無(wú)所知，到一步步的學(xué)習(xí)探究，學(xué)新知識(shí)，打好基礎(chǔ)，在我的導(dǎo)師的指導(dǎo)下，我逐漸揭開課題神秘的面紗，我對(duì)有關(guān)極限理論的文獻(xiàn)進(jìn)行研讀，在暑假里，我又對(duì)嚴(yán)老師的論文進(jìn)行了自己的思考與分析，并將嚴(yán)老師文章中的證明過(guò)程的每一步都細(xì)細(xì)推導(dǎo)了一遍。數(shù)學(xué)證明有的時(shí)候確實(shí)枯燥無(wú)味，最初，由于對(duì)概念的理解還不是特別到位，我也走了很多彎路。譬如weibull分布的定義域是負(fù)的，一開始我就沒(méi)有注意到，所以，起初的證明過(guò)程便完全不對(duì)，剛開始的工作都不完全正確。暑假過(guò)后，只得重來(lái)，于是，我又把先前的材料拿出來(lái)仔細(xì)地學(xué)習(xí)，查閱有關(guān)資料，檢查其中的細(xì)節(jié)，重新思考研究我自己的證明過(guò)程。在吸取上一次的教訓(xùn)之后，有了一些經(jīng)驗(yàn)，我便更加細(xì)心認(rèn)真了，也沒(méi)有上次那樣粗枝大葉了，同時(shí)我也發(fā)現(xiàn)了證明過(guò)程中的問(wèn)題。這樣我再跟嚴(yán)老師討論之后，嚴(yán)老師又給我提供了一些他的想法。于是我又開始了我新一輪的科研工作，證明，演算，再檢查，我仔細(xì)地審視著前面的結(jié)果，并認(rèn)真推敲下面的過(guò)程，終于，得到自己的結(jié)果之后，我又去跟嚴(yán)老師討論了一番。這次，又有一個(gè)左尾函數(shù)搞錯(cuò)了，表達(dá)式寫得有一點(diǎn)問(wèn)題，再反復(fù)檢查之后，我終于在寒假結(jié)束之際將整個(gè)證明過(guò)程完成了?，F(xiàn)已經(jīng)成功的推導(dǎo)出了weibull分布最大值吸引場(chǎng)的精致漸近性的結(jié)果。莙政之年，我真的收獲了很多，也成長(zhǎng)了很多，收獲的不僅僅是一篇自己獨(dú)立完成的科研