電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答5

1、最新可編輯word文檔第五章電磁波的輻射1 .若把麥克斯韋方程租的所有矢量都分解為無(wú)旋的(縱場(chǎng))和無(wú)散的(橫場(chǎng))兩部分，寫(xiě) 出E和B的這兩部分在真空中所滿(mǎn)足的方程式，并證明電場(chǎng)的無(wú)旋部分對(duì)應(yīng)于庫(kù)侖場(chǎng)。解：真空中的麥克斯韋方程組為q乂 e =汨/a,(1) E = P/曲，(2)BxBj hJ + %/cE /笈，(3)V B =0(4)如果把方程組中所有矢量都分解為無(wú)旋的縱場(chǎng)和無(wú)散的橫場(chǎng)，并分別用角標(biāo)L和T表示，則：由于 V B =0,所以B本身就是無(wú)散場(chǎng)，沒(méi)有縱場(chǎng)分量，即B l =0, B = Bt；E = E L +ET , ME L =0 , ET =0 ;J =JL +J T , M

2、JL =0, 7 J T =0；由(1)得：Vx( E L +E t)= Vx E T= -cB t/式(5)由(2)得：V .( E l + E t) = V .E l = P/1(6)由(3)得:bxbt =%(jl +jt)+R0%口eL +eL)/a= (N。Jl +N。，cE L/ct)+(Jt 十 %cEt /ct)(7)由電荷守恒定律 v J = VP/笈得：V JL =-cP/ct=-V .(%CEL/ct) 又因?yàn)?VmJl =0 = Wy% 6EL/次)，所以JL = %田L(fēng)/日，即J l + 名。cE l / Ft = 0(8)式簡(jiǎn)化為 V x b T = % J T +

3、 % cE T /方t(9)所以麥克斯韋方程租的新表示方法為： MET = -cBt /ctV XBt =匕 J T +也無(wú) cE T/ctE EL = P/%(10)Bl =0Jl pfE l/H =0由VME l =0引入標(biāo)勢(shì)中，E l = *,代入 E l =P/%得，、2 =-:：/ ；0所以E l對(duì)應(yīng)靜止電荷產(chǎn)生的庫(kù)侖場(chǎng)。,J = 0,則E和B可完全由矢勢(shì)AJ = 0,則麥?zhǔn)戏匠瘫硎緸椋?1)(2)(3)(4)上式的解就是靜止電荷在真空中產(chǎn)生的電勢(shì)分布，2.證明在線性各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中，若P = 0決定。若取 5=0 ,這時(shí)A滿(mǎn)足哪兩個(gè)方程？解：在線性各向同性均勻非導(dǎo)電介質(zhì)中，

4、若P=0,' E - - B /：:t' H = D / 汽D D =0-B =0其中，D = sE , H =B/N,由于(4)式，引入矢勢(shì)A,使B =Vx A(5)即B可完全由矢勢(shì)A決定。將(5)代入(1),得： m (E 十微/日)=0 ,(6)由此引入標(biāo)勢(shì)中，使E+小/3=中，即E = 中-cA/點(diǎn)(7)將(7)式代入(3)得：/中 +&/&( A) =0(8)所以，中可由A決定，進(jìn)而，E也可完全由矢勢(shì) A決定。如果取中=。，由(8)式得：* A =0(9)將(5)、(7)代入(2),并注意到0 =0 ,得：o2 A力 A氏二=0(10)ft(9)、(1

5、0)即為0 = 0時(shí)A滿(mǎn)足的兩個(gè)方程。3 .證明沿z軸方向傳播的平面電磁波可用矢勢(shì)A(0F)表示，其中E=t-z/c, A垂直于z軸方向。證：平面電磁波在沒(méi)有電荷分布的空間中傳播，勢(shì)的方程為F2a - k0E0c2A/猶2 =0V2tP 邛/值2 =0沿z軸方向傳播的平面波解為A = A e/kzvto邛ei(kz-&t)A與中滿(mǎn)足洛倫茲條件： A +為與/次=0。所以ik A 網(wǎng)%中=0,即=c2 kA /因此，只要給定 A,就可以確定 中，從而E和B隨之確定。由于B = m A = i Q A, E =cB"所以E和B只與矢勢(shì)的橫向分量有關(guān)，即平面電磁波可由A上來(lái)表示，即

6、B = A_l =i k 父 AlE =cB 父 n其中 A_ = A0ekf =入f(t=/c) =A°f 4根據(jù)題意 A_l可記為A(aE),其方向與z軸垂直。4 .設(shè)真空中矢勢(shì) A可用復(fù)數(shù)傅里葉展開(kāi)為 A(x,t)=£ ak(t)eikx +ak(t)e-ikx,其中ak k是ak的復(fù)共軻。一、,d2,、，2 2(1)證明ak滿(mǎn)足諧振子方程 ak(t) + k c ak(t) =0。 dt(2)當(dāng)選取規(guī)范W A=0,甲=0時(shí)，證明k ak = 0。.一一 *(3)把E和B用ak和ak表示出來(lái)。解：(1)證明：因?yàn)?a(x=£ ak(t)eikx+ak(t)e

7、"x k所以，根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)的正交性，必有：ak(t)= .A(x,t)eikxdx. 2, 、2 -,、(1)考慮到真空中J=0,d ak(t) _ 1A(x,t) ikx. ee ee d xdt2；:t2在洛倫茲規(guī)范下，V2 A -0d2 A /笈2 =N0 J ,故，V2 A = kosoc2 A /武2,所以(1)式化為2d a k(t)ikx2 rr22 = 1e (c v A)dx(2)dt.22. 2 2ikx而 k c ak(t) = k c A(x,t)e dx2于是 2 + k c ak(t) = fe1 xc V A + k c A(x, t)dx( 3)dt

8、i k x *. ik x因?yàn)锳(x,t)=£ak(t)e+ak(t)e，所以k.22、-A(x,t) - -k A(x,t)所以(3)式右邊積分中，被積函數(shù)為0,積分為0。所以ak滿(mǎn)足諧振子方程2d ak (t). 2 22+k c ak(t) 0°dt(2)當(dāng)選取規(guī)范v A = 0,甲=0時(shí)A'、akeikx ak(t)ekxCak(t) "ikx a；(t) "kx kk,. _ _i k xi k x _=1 k ake -1 k ak(t)e =0k因?yàn)閍k(t), ak(t)是線性無(wú)關(guān)正交組，所以要使上式成立，必有k ak(t) =

9、k ak(t) = 0(3)已知 A(x,t) =£ ak(t)eikx +ak(t)e5x,所以 k_i k x _*_i k x B 八 A =" ik ake-ik ak(t)e k* .一E -_ A =一d ak ei kxd ak (t) e4 kx ft k dtdt5 .設(shè)A和中是滿(mǎn)足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)。1 Z(1)引入一矢量函數(shù) Z(x,t)(赫茲矢量)，若令中= 2 ,證明A =。c 二 t1 ，2Z(2)若令邛= P ,證明Z (x ,t)滿(mǎn)足方程V2 Z -1 -Z = -c20 P ,寫(xiě)出在真 22c 二 t空中的推遲解。(3)證明E和B可通過(guò)

10、Z用下列公式表出：21 ：'E= V x(V xZ) -c % P, B= =一 Vx Z °c ft(1)證明：A和華是滿(mǎn)足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)，所以有即:(2)證明:=-V Z代入(1)得:1 ?A 'A 十2 ( Z ,Z) = 0 c ft),所以,2-1c二 t因?yàn)闃?biāo)勢(shì)在洛倫茲規(guī)范下有方程:J：2 -x2 c 二 t代入，得：庠)1 c,則上式化為-0”9 即' 2Z - -12 Z- = P = -c20Pc 二 t 0(1)(2)(3)(4)與方程 V2A-=%J 的推遲解 A(x,t) = jJ(x''tT/6dV'類(lèi)

11、比,c 二 t4 二r得方程(5)在真空中的推遲解為c2,0 P(x', t - r /c)Z(x,t)=-0 f-dV'(6)4 二r1 Z(3)將邛= Z , A = -1Z 代入 E = -V<P -cA /沆及 B = 父 A,得:c2 ftE = V x(V mz ) -c*0P ,。入、Z6.兩個(gè)質(zhì)量、發(fā)生。c ：:t電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞，證明電偶極輻射和磁偶極輻射都不會(huì)證：電偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為:ikRe2 (Pn)n4二 0c2RikRe ，、B =3( p"),4二 0c3R磁偶極矩的變化產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為:I ikR0eE =

12、-( m x n),4 二 cR ikR0e4 二 c3 R(m n)在兩個(gè)質(zhì)量、電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞的過(guò)程中，取兩粒子的連線為x軸，則系統(tǒng)的電偶極矩p =q xi qx 2 =q( Xi x 2)p =q( x 1 - x 2)由于兩粒子質(zhì)量相同，根據(jù)牛頓第二定律，有x1 = -x2,所以p = 0 ,因此系統(tǒng)的電偶極矩產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為0；又由于系統(tǒng)的磁偶極矩 m =0,所以系統(tǒng)的磁偶極矩產(chǎn)生的輻射場(chǎng)為 0,即兩個(gè)質(zhì)量、電荷都相同的粒子相向而行發(fā)生碰撞，電偶極輻射 和磁偶極輻射都不會(huì)發(fā)生。7 .設(shè)有一球?qū)ΨQ(chēng)的電荷分布，以頻率 切沿徑向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求輻射場(chǎng)，并對(duì)結(jié)果給以物理 解釋。解

13、：因?yàn)殡姾蔀榍驅(qū)ΨQ(chēng)分布， 不失一般性，設(shè)球面上均勻分布了總電量為 Q的電荷，于是,球面電荷密度為工仃=Q/4nR2取如圖所示相對(duì)的兩塊小面元 dSi,dS2,由于兩塊小面為/二一一、元對(duì)應(yīng)相同的立體角，故有相同的面積dS1 =dS2,冷工一2d。= 86 = WS2 = dq2因?yàn)閮呻姾稍猟q1, dq2球?qū)ΨQ(chēng)分布，又以相同的頻率 切沿徑向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以有p =0, m =0故此兩電荷元的振動(dòng)不能產(chǎn)生輻射場(chǎng)。根據(jù)場(chǎng)的疊加原理整個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)分布的電荷體系沿徑向的簡(jiǎn)諧振蕩是不能產(chǎn)生車(chē)§射場(chǎng)的振動(dòng)，輻射場(chǎng)為0。8 . 一飛輪半徑為R,并有電荷均勻分布在其邊緣上，總電量為Q。設(shè)此飛輪以恒定角速

14、度口旋轉(zhuǎn)，求輻射場(chǎng)。解：設(shè)飛輪邊緣的厚度為 d,于是邊緣上的電荷面密度 仃=Q/2nRd ,體系的電偶極矩為 p = Q d dl x = x dl2 Rd2二R2 二2 二cosi di ex , i sin dey =0002體系的磁偶極矩由此得p =0,Q;-j2 Q；：jRm = I S 二 R ez 二ez2 二2m = 0 ,故輻射場(chǎng)為0。9.利用電荷守恒定律，驗(yàn)證 A和中的推遲勢(shì)滿(mǎn)足洛倫茲條件。 證明：推遲勢(shì)A與中可寫(xiě)作：A (x,t臣JdV',中(x ,t)='P dV',4- v' r4 -，0 v, r, r x-x'其中 t'

15、;=t 一一 = t-。c c對(duì)于r的函數(shù)，有'DM”L1=J(x',t') A -dV'4二 V'rL 1-0- -J (x ',t')dV'4二 V'r1 J1 J因?yàn)?J (x' ,t') = 、r =A ' rc 寸c :t'1 J'、' J (x ',t') =' J (x ',t')"t Lr一 c Ft'所以J ( x',t') =L J ( x',t')t*onst J&

16、#39; J ( x',t')o1o 1A= J(x',t')dV' 、' J(x',t')t' zconst - 7 J(x',t')dV'4二 v,r4二 V'r. 11 .1 . J (x',t') A'-dV'-'八' J (x ',t')dV'- J ( x ',t')tMonstdV'4二 v,r 4二 v, r4二 V,rAJ(x'，t')4二 v,rdV, J (

17、x '，t')t*°nst4二 v,rdV'由于 尸'J (x''t') dv' = gJ( x'.ds' =0,所以 V'rS' r，1.、A= -0' J ( x '，t')t,卻nstdV'4 ' V, r另外"j''匚c 4二；0 V, r ;t 4二 V, r ct'dV'一. 1 - L 1 .F：所以 A至= V,r j (x,Uist %dV,ep由電荷守恒定律，中J （ x '，t&

18、#39;）t0onst +=0即得A和平的推遲勢(shì)滿(mǎn)足t'、1 ；A 2 二 0c2 ft10.半徑為R0的均勻永磁體，磁化強(qiáng)度為 M 0,球以恒定角速度 與繞通過(guò)球心而垂直于的軸旋轉(zhuǎn)，設(shè) R0切« c ,求輻射場(chǎng)和能流。（提示：M 0以角速度0轉(zhuǎn)動(dòng)，可分解為相位差為冗/2的互相垂直的線振動(dòng)；直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系為ex ey kez )sin 9cos cos 日 cos中 sin 8 sine cos sini cos9-sin 日-sin e eeR cose I eg0人犯解：本題相當(dāng)于一個(gè)位于原點(diǎn)的磁偶極子的旋轉(zhuǎn)，此磁偶極子的磁偶極矩為:4 _3 _m =

19、一 ：R0 M 0其旋轉(zhuǎn)振蕩可分解為3x,4=n3y方向上相位差為 "2的簡(jiǎn)諧振蕩的合成。R3M0 cosgt)ex,4343.二一二R0 M 0 sin( t)ey = 一 二R0M 0 cos( t - )ey3y 32 y用復(fù)數(shù)形式表達(dá)為:根據(jù)磁偶極矩輻射場(chǎng)公式4 r 3. .t. 4 f3 “-it=nR0M0eex，my =i nR0M0eey33B =匕。一 eikR (m 黑 n)黑 n ,得4 二 c2ReikR*M。2et( e xer)er同理可得2 3-0 - Rq M 0 i(kR.，t)-TT-e(exer) er3c R23 -.”0，R0M 0 i(kR

20、Jt)/-i2e( ey3c2Rer)er再根據(jù)直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系sin 二 coscos 二 cossin sincos sin© ) I cos日-sin f-sinYeR、cos e I e(j0人e420( e6cos9 cos e-esin gei'kRY®3c R"0s R0 M 0 (egcos9 sin 巾 +ecos')iei(kRY" 3c R0 '2R3M03c2R(eg cos8 +ie*)ei(kR依二同理，根據(jù)輻射場(chǎng)公式4cReikR (mn)S=工¥isin2 現(xiàn)32二 2c3

21、R2及坐標(biāo)基矢變換關(guān)系，可得:。-2R3M。3cRJ0'4R6Mo(ieg -egose)ei(kR 源18c3R2(1 - cos2 - ) er11.帶電粒子e作半徑為a的非相對(duì)論性圓周運(yùn)動(dòng)，回旋頻率為缶。求遠(yuǎn)處的輻射電磁場(chǎng)和輻射能流。解：帶電粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其磁偶極矩m是常矢量，因此不產(chǎn)生電磁輻射，但此系統(tǒng)的電偶極矩是一旋轉(zhuǎn)的變化量p = eaer,仿上題解法，把旋轉(zhuǎn)量 p分解為x, y方向上的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振蕩：px = eacosotex =eae*$ exi("T2)_-it_Py =eacos( t蹙/2)ey =eae ey =eaie e 由此可得：px=-i

22、0eae由ex , pX=F2eae"1c'aexpy = eaoe-iey,py = -iea«2e_idey根據(jù)公式B =史0k eikR (nx p)及直角坐標(biāo)基矢與球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系4 Hfex "sin 9cos cos9 cos 一 sine；/eR'ey = sin 日 sin e cos日 sin e cos® | eRz j 、 cos日 -sin日 0人e1.得:口鼠，2eaB )-4 二 cR(e cos - ie-i)ei(kRft )再根據(jù)公式E =匕kceikR（n父p） xn,4 二R球坐標(biāo)基矢變換關(guān)系，得p

23、 2cc 23r232二 oc R2 ,sin 8n及直角坐標(biāo)基矢與24 2 2E = 00 ea (egcosH+ie勸ei(kR葡坤，S= 00 2e a2 (1 + cos2 9)er4二R32二 cR12.設(shè)有一電矩振幅為po,頻率為co的電偶極子位于距理想導(dǎo)體平面為a/2處，po平行于導(dǎo)體平面。設(shè) a « £ ,求在R » h處電磁場(chǎng)及輻射能流。解：如圖所示，設(shè)平面 xoy是導(dǎo)體平面，利用鏡像法，構(gòu)造圖中電偶極子p0的鏡象p0。由圖可p = Poe"%x , p= p0e"%x = -p0ex-Jex2Lt.2-it,p = f p°eY>x, p =切 p°eT、x電偶極子p產(chǎn)生的輻射磁場(chǎng)為3-e4二 0c3R 一aik (R - cos22Po,3 、4二；oc R4k-cos m2i(kRrt),e eexerik2cos?l i(kRt)e 2 eex電偶極子的鏡象p'產(chǎn)生的輻射磁場(chǎng)為B2 =14二 oc3Rik(R«acosqe 2 per2Po,3r4二 oc Ri(kR- eikacos -i-ik cos 71)e 2-e 2exer所以B(