2021版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)學(xué)案蘇教版必修5

1、223 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和二【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.2.會(huì)解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題.3.理解an與S的關(guān)系，能根據(jù)S求an.u問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一 數(shù)列中an與S的關(guān)系思考1數(shù)列an的前n項(xiàng)和S= n2,怎樣求ai, an?梳理 對(duì)任意數(shù)列an, S與an的關(guān)系可以表示為 n= 1,an=* n?2, n N思考2在數(shù)列an中，S= an2+bn+ ca, b, c為常數(shù)，這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?知識(shí)點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值d 2思考 我們已經(jīng)知道當(dāng)公差 d0時(shí)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù) S=?n+ a-d2n,類比二次函數(shù)的最值情況，等差

2、數(shù)列的S何時(shí)有最大值？何時(shí)有最小值？梳理 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值與S的單調(diào)性有關(guān).1假設(shè)ai>0, d<0,那么數(shù)列的前面假設(shè)干項(xiàng)為正項(xiàng) 或0，所以將這些項(xiàng)相加即得S的最大值. 假設(shè)ai<0, d>0,那么數(shù)列的前面假設(shè)干項(xiàng)為負(fù)項(xiàng) 或0，所以將這些項(xiàng)相加即得S的最小值. 假設(shè)ai>0, d>0,那么$是遞增數(shù)列,Si是$的最小值；假設(shè)ai<0, d<0,那么 佝是遞減數(shù)列, Si是S的最大值.類型一 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn求ani例i數(shù)列an的前n項(xiàng)和為n2+qn,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？

3、引申探究2 i例i中前n項(xiàng)和改為S = n+qn+ i，求通項(xiàng)公式.反思與感悟 前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an,先由n= i時(shí)，ai = S求得ai，再由n?2時(shí)，an=Sn- Sn- i求得3,最后驗(yàn)證Ri是否符合少，假設(shè)符合那么統(tǒng)一用一個(gè)解析式表示不符合那么分段.跟蹤訓(xùn)練i數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 3n,求an.類型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例2等差數(shù)列5,4 2, 3，的前n項(xiàng)和為S,求使得S最大的序號(hào)n的值.反思與感悟 在等差數(shù)列中，求 S的最大小值，其思路是找出某一項(xiàng)，使這項(xiàng)及它前面的項(xiàng)皆取正負(fù)值或零，而它后面的各項(xiàng)皆取負(fù) 正值，那么從第1項(xiàng)起到該項(xiàng)的各項(xiàng)的和為最大小由于S為關(guān)于n的二次函數(shù)，

4、也可借助二次函數(shù)的圖象或性質(zhì)求解.跟蹤訓(xùn)練2 在等差數(shù)列an中，a = 2n14,試用兩種方法求該數(shù)列前 n項(xiàng)和S的最小值.類型三求等差數(shù)列前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和 例3 假設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai = 13, d= 4,記Tn= | ai| +1比| + | an|，求Tn.反思與感悟 求等差數(shù)列an前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和，根據(jù)絕對(duì)值的意義，應(yīng)首先分清這個(gè)數(shù)列的哪些項(xiàng)是負(fù)的，哪些項(xiàng)是非負(fù)的，然后再分段求出前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和.跟蹤訓(xùn)練3 數(shù)列an中，S= n2 + 10n,數(shù)列bn的每一項(xiàng)都有 bn= |an|，求數(shù)列bn 的前n項(xiàng)和Tn的表達(dá)式.當(dāng)堂訓(xùn)練1 .數(shù)列an的前n項(xiàng)和S= n2+ n,貝U

5、an=2. 數(shù)列an為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S,假設(shè)S = (n+ 1)2+入，那么入的值是3. 首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為$,且S= S,當(dāng)n =時(shí)，S取到最大值.4. 數(shù)列an的前n項(xiàng)和$= 3 + 2n,求an.I一規(guī)律與方法 .1 .因?yàn)閍n= S Si只有n?2時(shí)才有意義，所以由 S求通項(xiàng)公式an= f (n)時(shí)，要分n= 1和 n>2兩種情況分別計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，假設(shè)不能，那么用分段函數(shù)的形式表示.2 .求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的方法：(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前n項(xiàng)和的最值，但要注意 n N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來確

6、定 n的值，更加直觀.an?0,an w 0, 通項(xiàng)法：當(dāng)ai>0, d<0,當(dāng)時(shí)，S取得最大值；當(dāng)ai<0, d>0,當(dāng)時(shí)，& +1 W0an + 1?0$取得最小值.3 .求等差數(shù)列an前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列 an的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn).合案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考 1 ai = Si = 1 ；當(dāng) n?2 時(shí)，an= S1 S1-1 = n (n 1) 2= 2n 1,又n= 1時(shí)也適合上式，所以= 2n- 1，n N*.梳理S1 Sn Si - 1思考 2 當(dāng) n= 1 時(shí)，a1 = S = a+ b+ c；22當(dāng) n?2 時(shí)，an= Sn Sn

7、1 = (an + bn + c) a( n 1) + b( n 1) + c =2an a+ b.a+ b + c n= 1, an*2an a+ b n?2, n N只有當(dāng)c= 0時(shí)，a1 = a+ b+ c才滿足an= 2an a+ b,數(shù)列an才是等差數(shù)列. c工0時(shí)，整個(gè)數(shù)列an不是等差數(shù)列，但從第二項(xiàng)起，以后各項(xiàng)依次構(gòu)成等差數(shù)列. 知識(shí)點(diǎn)二思考 由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a1< 0, d>0時(shí)，S先減后增，有最小值；當(dāng) a1>0, d<0時(shí)，S先增后減，有最大值；且 n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，S取到最值.題型探究例 1 解 根據(jù) Sn= a1 + a2+

8、 an1 + an可知 Sn1 = a1 + a2+ an1( n>1，n N)，當(dāng)n>1時(shí),=2nf,2 1 2 1an = S 一 S-1 = n + ?n ( n一 1) + ( n一 1) 當(dāng)n= 1時(shí)，a1 = S= 12+1 x 1 =扌，也滿足式.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = 2n 2.3故數(shù)列 an是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.引申探究解 當(dāng)n?2時(shí)，an= S1 S-1111 =(n2 + 2n+ 1) ( n 1)2+$n 1) +1 = 2n?15當(dāng)n= 1時(shí)，ai = S = 1 + 2 + 1 =不符合式.52, n =1,an=1 * 2n 2，n?

9、2, n N.跟蹤訓(xùn)練1 解 當(dāng)n= 1時(shí)，a1 = S= 3 ； 當(dāng) n?2 時(shí)，an= S S-1 = 3 3 1 = 2 3 當(dāng)n= 1時(shí)，代入 an= 23 ，得a1 = 2工3.3,n= 1,-an=n 1*2 3 , n?2, n N.例2解方法由題意知，等差數(shù)列5,47，3弓，的公差為所以nS= 5n+ -n- 12n 齊+1 12556于是,當(dāng)n取與152最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，S取最大值.5方法二an= a + (n 1) d= 5+ (n 1) x 7540540令an= 7門+ W0,解得n?8,且 as= 0, a9<0.故前n項(xiàng)和是從第9項(xiàng)開始減小，而 3= S

10、, 所以前7項(xiàng)或前8項(xiàng)和最大.跟蹤訓(xùn)練2 解 T an= 2n 14,a1= 12, d= 2.a1<a2< <a6<a7= 0<a8<a9< .當(dāng)n= 6或n= 7時(shí)，S取到最小值.易求 S6= Sr= 42, ( S) min = 42.例 3 解 T a1 = 13, d = 4, an= 17 4n.當(dāng) nW4 時(shí)，Tn= I a1 + | a2| + | an|=a1 + 82+ anL HuCLH-N9H&L Hu 汕p<ucxl+en 力 y 力事mRu汕 gHCXI+eHoHra事mLHU 汕s寸9 帑 90L CXIucxl廠撚一一存制汕 N<uu 9auo9+uolc* Hen s N 9 u g wu UOL + c Io9+uolzuhm"cxihj_ Fs臺(tái) ovue 起 gAU 汕 "UOL +ZU Ns Fs臺(tái) o<e 起 swu 汕 N<uu ucxlLL!e.*¥T<ne爭 6"幣岸駕 (N<uuc<Au)ucxlLLlsSHraeUOL+u i力丑s"N<uu bAuO9 + U9LCCXI* C HH U - N<uu 寸 wu JUC