2021版高中數學第二章平面解析幾何初步2.4.1空間直角坐標系學案新人教B版必修2

1、2. 4.1 空間直角坐標系【學習目標】1. 了解空間直角坐標系的建系方式2掌握空間中任意一點的表示方法3能在空間直角坐標系中求出點的坐標.Q問題導學知識點空間直角坐標系思考i在數軸上，一個實數就能確定一點的位置.在坐標平面上，需要一對有序實數才能 確定一點的位置為了確定空間中任意點的位置，需要幾個實數呢？思考2空間直角坐標系需要幾個坐標軸，它們之間什么關系?梳理1空間直角坐標系定義：為了確定空間點的位置，我們在平面直角坐標系xOy的根底上，通過原點 Q再作一條，使它與x軸，y軸都，這樣它們中的任意兩條都 ;軸的方向通常這樣選擇：從 z軸的正方向看，x軸的正半軸沿 方向轉90°能與y

2、軸的正半軸重合.這時，我們說在空間建立了一個Oxyz, Q叫做 坐標平面：每 分別確定的平面yOz, xOz, xOy叫做坐標平面. 卦限：三個坐標平面把空間分為 局部，每一局部都稱為 .2空間中點的坐標過點P作一個平面平行于平面 垂直于x軸，這個平面與 的交點記為 它在的坐標為X,這個數x就叫做點P的x坐標.過點P作一個平面平行于平面 垂直于y軸，這個平面與 的交點記為，它在的坐標為y,這個數y就叫做點P的y坐標.過點P作一個平面平行于平面 (垂直于z軸)，這個平面與 的交點記為，它在的坐標為z，這個數z就叫做點P的z坐標.這樣，我們對空間中的一個點， 定義了三個實數的有序數組作為它的坐標，

3、記作.其中x, y, z也可稱為點P的坐標分量.囪題型探究類型一 確定空間中任意一點的坐標例1棱長為2的正方體ABCB A B' C D，建立如下圖不同的空間直角坐標系， 試分別寫出正方體各頂點的坐標.反思與感悟 (1)建立空間直角坐標系時，要考慮如何建系才能使點的坐標簡單、便于計算，一般是要使盡量多的點落在坐標軸上.(2)對于長方體或正方體，一般取相鄰的三條棱所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標系；確定點的坐標時，最常用的方法就是求某些與軸平行的線段的長度，即將坐標轉化為與軸平 行的線段長度，同時要注意坐標的符號，這也是求空間點坐標的關鍵.跟蹤訓練1 在棱長為1的正方體 ABC

4、ABCD中，E F分別是DD BD的中點，點 G在棱CD上，且CG= 4CD H為CG的中點，試建立適當的坐標系，寫出E、F、G H的坐標.類型二空間中點的位置確實定例2在空間直角坐標系 Oxyz中，作出點P(5,4,6)反思與感悟點P的坐標確定其位置的方法(1) 利用平移點的方法，將原點按坐標軸方向三次平移得點P.(2) 構造適合條件的長方體，通過和原點相對的頂點確定點P的位置.(3) 通過作三個分別與坐標軸垂直的平面，由平面的交點確定點P.跟蹤訓練2點(2,0,3)在空間直角坐標系中的()A. y軸上B. xOy平面上C. xOz平面上D. yOz平面上類型三空間點的對稱問題例3求點A(1

5、,2 , - 1)關于坐標平面xOy及x軸對稱的點的坐標.反思與感悟以下幾條對稱規(guī)律要在理解的根底上熟記：(1) 點A(x, y, z)關于x軸的對稱點為 A(x, - y,- z),關于y軸的對稱點為A( x, y, - z),關于z軸的對稱點為A( -x, - y, z).(2) 點A(x, y, z)關于原點的對稱點為 A( -x,- y, - z).點A(x, y, z)關于xOy平面的對稱點為 A(x, y, - z),關于xOz平面的對稱點為 As(x, - y, z),關于yOz平面的對稱點為 A( - x , y , z).關于坐標軸和坐標平面對稱的點的坐標的變化規(guī)律為“關于誰

6、對稱誰不變，其余的相反. 跟蹤訓練3 點P(2,3 , - 1),求：(1)點P關于各坐標平面對稱的點的坐標； 點P關于各坐標軸對稱的點的坐標；(3) 點P關于坐標原點對稱的點的坐標.當堂訓練1.點P(a , b , c)到坐標平面xOy的距離是()A. a2 + b2 B . |a| C . | b| D . | c|2 以棱長為1的正方體 ABCD ABCD的棱AB, AD, AA所在的直線為坐標軸，建立空間直 角坐標系，如下圖，那么正方形 AABB的對角線的交點坐標為()1 1B.2, 0, 21 1 1D.2, 2，23.如下圖，點P'在x軸的正半軸上，且| OP | = 2,

7、點P在xOz平面內，且垂直于x軸,| PP | = 1,那么點P的坐標是;點P1關于z軸的對稱點F2的4 .點P(1,1,1)關于xOy平面的對稱點 R的坐標為 坐標為 5.如圖，正四棱柱 ABCB A B C D (底面為正方形的直棱柱 )中，|AA| = 2| AB = 4,點E在CC上且|CE = 3|EC.試建立適當的坐標系，寫出點B, C, E, A的坐標.規(guī)律與方法-1.空間中確定點 M坐標的三種方法(1)過點M作MM垂直于平面xOy,垂足為M,求出M的橫坐標和縱坐標，再由射線MM的指 向和線段 MM1 的長度確定豎坐標構造以0M為體對角線的長方體，由長方體的三個棱長結合點M的位置

8、，可以確定點 M的坐標(3) 假設題中所給的圖形中存在垂直于坐標軸的平面或點M 在坐標軸或坐標平面上， 那么利用這一條件，再作軸的垂線即可確定點M的坐標.2求空間對稱點的規(guī)律方法(1) 空間的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律， 才能準確求解(2) 對稱點的問題常常采用“關于誰對稱誰保持不變，其余坐標相反這個結論合案精析問題導學知識點思考1需要三個實數.思考2空間直角坐標系需要三個坐標軸，它們中任意兩條互相垂直.梳理(1)數軸z 垂直 互相垂直逆時針空間直角坐標系坐標原點 兩條坐標軸 八一個卦限yOz x軸 PX x軸上 xOz y軸Py y軸上 xOy z軸

9、FZ z軸上P(x，y，z)題型探究例1解 對于圖，因為點D是坐標原點，A, C, D分別在x軸，y軸，z軸的正半軸上.又正方體的棱長為 2，所以 Q0,0,0) , A(2,0,0) , C(0,2,0) , D (0,0,2).因為點B在xDy平面上，它在x軸，y軸上的投影分別為 A,C,所以耳2,2,0).同理，A' (2,0,2), C (0,2,2).因為B在xDy平面上的投影是 B,在z軸上的投影是 D',所以B' (2,2,2).對于圖，代B,C,D都在xD'y平面的下方，所以其 z坐標都為負，A',B', C',D'

10、;都在xD' y平面上，所以其 z坐標都為零.因為D'是坐標原點，A', C'分別在x軸，y軸的正半軸上，D在z軸的負半軸上，且正方體的棱長為2,所以D' (0,0,0) , A (2,0,0),C (0,2,0) , D(0,0 , - 2).同，得 B' (2,2,0) , A(2,0 , - 2) , C(0,2 , - 2) , 02,2 , - 2).跟蹤訓練1解 建立如下圖的空間直角坐標系.N1Atin1點E在z軸上，它的橫坐標 x、縱坐標y均為0，而E為DD的中點，故其坐標為(0,0 , ?).11 11過F作FML AD FN丄D

11、C由平面幾何知識，得 FMh刁FN= °,故F點坐標為(？，？，0).一3一3點G在y軸上，其x, z坐標均為0,又DG= 4,故點G坐標為(0 , 4, 0)，過點H作HK!CG71于K,由于H為CG的中點，故K為CG的中點，即點H的坐標為(0,乞，功-例2解 方法一 第一步：從原點出發(fā)沿 x軸正方向移動5個單位第二步：沿與 y軸平 行的方向向右移動 4個單位.第三步：沿與 z軸平行的方向向上移動 6個單位(如下圖), 即得點P方法二 以O為頂點構造長方體， 使這個長方體在點 O處的三條棱分別在 x軸，y軸，z軸的 正半軸上，且棱長分別為 5,4,6，那么長方體與頂點 O相對的頂點

12、即為所求點 P跟蹤訓練2 C 點(2,0,3)的縱坐標為0 ,此點是xOz平面上的點，應選 C.例3 解 過點A作AMIL平面xOy于M并延長到點 C,使AM= CM那么點A與點C關于坐標 平面xOy對稱，且 0,2,1)過點A作ANL x軸交x軸于N,并延長到點B,使ANh NB那么A與B關于x軸對稱且B(1,2,1), A(1,2 , 1)關于坐標平面xOy對稱的點為C(1,2,1),關于x軸對稱的點為B(1 , 2,1).跟蹤訓練3解(1)設點P關于xOy坐標平面的對稱點為 P',那么點P'在x軸上的坐標及 在y軸上的坐標與點 P的坐標相同，而點 P'在z軸上的坐標與點 P在z軸上的坐標互為相 反數.所以，點P關于xOy坐標平面的對稱點P'的坐標為(2,3,1).同理，點P關于yOz, xOz坐標平面的對稱點的坐標分別為 (一2,3 , 1), (2 , 3, 1). 設點P關于x軸的對稱點為Q貝U點Q在x軸上的坐標與點P的坐標相同，而點Q在y軸上的坐標及在z軸上的坐標與點 P在y軸上的坐標及在 z軸上的坐標互為相反數.所以，點P關于x軸的對稱點Q的坐標為(2 , 3,1).同理，點P關于y軸、z軸的對稱點的坐標分別為(2,3,1) , ( 2， 3， 1