八年級下冊四邊形解題技巧

1、四邊形解題技巧一、平行四邊形應(yīng)用舉例平行四邊形具有對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分等性質(zhì)，它們在計算、證明中都有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)舉例說明1求角的度數(shù)例1 如圖，ABCD中AD=2AB，點E、A、B、F在一條直線上，且EAABBF，求DOC的度數(shù)例2 （2007·河北）如圖，若ABCD與EBCF關(guān)于BC所在直線對稱，ABE=90°，則F=_2求線段的長例3 如圖，在四邊形ABCD中，AB6，BC8，A =120°，B60°，BCD150°，求AD的長例4 (2006·河北)如圖，在DABCD中，AD5，AB=3，AE平分BAD交B

2、C邊于點E，則線段BE、EC的長度分別為( ) A2和3 B3和2 C4和1 D1和43求周長例5 (2006·日照)如圖，在ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，EAF= 45°，且AE+AF=，求ABCD的周長4求第三邊的取值范圍例6 (2006·雙柏)如圖，在ABCD中，對角線AC和BD相交于點0，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范圍是( ) A10<m<12 B2<m<22 Cl<m<ll D5<m<65綜合計算題例7 如圖,ABCD的周長為，BC的長為，AEBC于E，AFDC，垂足為DC

3、延長線上的點F，AE=3 求：(1)D的度數(shù)；(2)AF的長6探索題例8 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BCD的平分線CF交邊AB于點F，ADC的平分線DG交邊AB于點G，且DG與CF交于點E請你在已知條件的基礎(chǔ)上再添加一個條件，使得EFG為等腰直角三角形，并說明理由二、添作中位線，妙證幾何題三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半這是三角形的一條很重要的性質(zhì)，它包含了位置與數(shù)量兩種關(guān)系在題中，若有線段的中點，可過中點作第三邊的平行線或取另一邊中點構(gòu)造中位線，運用中位線定理，實現(xiàn)線段或角的轉(zhuǎn)移，從而迅速找到解題突破口，往往會使得某些看似無法解決的幾何題化難為易，迎刃而

4、解例9 如圖，在ABC中，AB<AC，點D在AC上，且有CD=AB，E、F分別是AD和BC的中點，連結(jié)EF并延長與BA的延長線相交于點G，求證：AE=AG例10 如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，且AC=BD，E、F分別是AD、BC的中點，EF分別交AC、BD于M、N求證：OMN=ONM.例11 如圖，ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，BE的延長線交AC于點F，求證：.例12 如圖，ABC的中線AD、BE相交于點G，求證：.三、巧算與矩形有關(guān)的面積題解答這類問題可考慮用未知數(shù)表示某些線段，構(gòu)造方程來求解例13 如圖，矩形ABCD的面積為S，E是AB的四等分點，

5、F是BC的三等分點，G是CD的中點，則EFG的面積為_例14 如圖，矩形ABCD中，E是BC上的點，F(xiàn)是CD上的點，且，則等于( )A.2 B.3 C.4 D.5四、折疊問題近幾年一些省市的中考題中出現(xiàn)了很多有關(guān)矩形紙片折疊的問題由于這類問題的實踐性強，需要同學們通過動手操作去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法其規(guī)律為利用折疊前后線段、角的對應(yīng)相等關(guān)系，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理來求解以下面例題加以說明例15 矩形紙片ABCD中AD=4 cm，AB=10 cm，按如圖所示的方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則DE=_cm例16 將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示的圖形，已知CED'=60&#

6、176;，則AED的大小是( ) A60° B50° C75° D55°例17 如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果將該矩形沿對角線BD折疊，那么圖中陰影部分的面積是多少？五、路在何方我們知道如果直線mn，A、B為直線n上的兩點，C、P為直線m上的兩點(如圖)，容易根據(jù)平行線之間的距離處處相等及同底等高的兩個三角形面積相等的知識，得到兩對面積相等的三角形，即ABC和ABP面積相等；CPA和CPB面積相等，還有一對面積相等的三角形，你知道嗎？ 我們進一步看：如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么無論點P移動到任何位置，總有ABP與ABC的

7、面積相等， 理由：因為平行線間的距離相等，所以無論點P在m上怎么移動，總有ABP與ABC的同底等高，因此，它們的面積總相等例18 如左圖，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖，經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如右圖所示形狀，但承包土地與開始荒地的分界小路(圖中折線CDE)還保留著，為了便于通行，張大爺想過E點修一條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，請你用有關(guān)數(shù)學知識，按張大爺?shù)囊笤O(shè)計出修路方案（不計分界小路與直路的占地面積） (1)寫出設(shè)計方案，并在圖中畫出相應(yīng)的圖形； (2)說明方案設(shè)計理由 六、聚焦閱讀理解題 閱讀綜合理解題主要考查同學們對“新事物”“

8、新知識”的接受和理解能力，也考查同學們運用所學知識來解決“新事物”“新知識”的能力解決這類綜合問題的關(guān)鍵是合理運用所學知識來理解題目，從而做到正確解題。例19 閱讀以下短文，然后解決下列問題： 如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形這邊所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖所示，矩形ABEF即為ABC的“友好矩形”顯然，當ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個 (1)依照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”； (2)如圖，若ABC為直角三角形，且C=90°，在圖中畫出ABC的所有“友好矩形”，并比

9、較這些矩形面積的大??； (3)如圖，若ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖中畫出ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以說明圖 圖 圖七、“Face to Face”中點四邊形 順次連結(jié)四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形這個中點四邊形有許多重要性質(zhì)，在中考試題中也屢見不鮮，中點四邊形的四個結(jié)論如下：1任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形 已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點求證：四邊形EFGH是平行四邊形2對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形 已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、D

10、A的中點，AC=BD.求證：四邊形EFGH是菱形3對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形 已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，ACBD.求證：四邊形EFGH是矩形4對角線相等且垂直的四邊形的中點四邊形是正方形 因為四邊形的兩條對角線垂直，所以這個四邊形的中點四邊形是矩形，又因為這個四邊形的兩條對角線相等，所以這個四邊形的中點四邊形是菱形既是矩形又是菱形的圖形就是正方形 中點四邊形的這四個結(jié)論應(yīng)結(jié)合以下特例靈活掌握：菱形的中點四邊形為矩形，矩形的中點四邊形為菱形，正方形的中點四邊形為正方形例20 順次連結(jié)等腰梯形四邊中點得到一個四邊形，再順次連結(jié)所得四邊

11、形四邊中點得到的圖形是( ) A.等腰梯形 B直角梯形 C菱形 D矩形例21 （2007·牡丹江）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3，BC=5，AC、BD相交于0點，且BOC=60°，順次連結(jié)等腰梯形各邊中點所得四邊形的周長是( ) A24 B.20 C16 D.12八、“智力魔方”一七巧板 七巧板是由正方形按如圖所示的方法制作成的（沿實線剪開），其中有五塊都是等腰直角三角形，一塊正方形，一塊平行四邊形，七巧板是一種數(shù)學玩具，有很強的益智性與趣味性，深受人們的喜愛在近幾年的中考試題中，就出現(xiàn)了一些與七巧板有關(guān)的拼圖和計算題，值得關(guān)注例22 七巧板是我們祖先創(chuàng)造的

12、一種智力玩具，它來源于勾股法如圖(1)，整幅七巧板是由正方形ABCD分割成七小塊（其中：五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形）組成如圖(2)，是由七巧板拼成的一個梯形，若正方形ABCD的邊長為12 cm，則梯形MNGH的周長是_cm（結(jié)果保留根號）例23 用邊長為1的正方形紙板制成一副七巧板(如圖(1)，將它拼成“小天鵝”圖案(如圖(2)，其中陰影部分的面積為( )A B C D 九、四邊形“聯(lián)姻”直角坐標系 中考中常把四邊形與平面直角坐標系結(jié)合起來考查，這類題目有利于同學們把“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來思考，提高同學們綜合運用知識的能力例24 一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標系內(nèi)，

13、0為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4如圖，將紙片沿CE對折，點B落在x軸上的點D處，求點D的坐標例25 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A、B、D的坐標分別是(O，O)、(5，O)和(2，3)求：(1)頂點C的坐標；(2)對角線AC、BD的交點E的坐標例26 已知菱形ABCD的邊長為5，BAD是銳角，把它放在平面直角坐標系之中，并且使AD邊在y軸上，點A在點D的下方，這時點C的坐標為(4，10) (1)求出頂點A的坐標；(2)畫出符合題意的圖形例27 一個正方形的兩個頂點O和A的坐標分別是(O，0)和(4，O)，請寫出另外兩個頂點的坐標十、“天塹”變“通

14、途” 梯形是不同于平行四邊形的一類特殊四邊形，解決梯形問題的基本思路是通過添加輔助線，對梯形進行割補、拼接，使“天塹”變“通途”，從而轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問題，使看似不可能的問題得到解決，一般而言，梯形中常用的輔助線主要有以下幾種1平移一腰 過梯形的一個頂點作一腰的平行線，將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)，將分散的條件集中到三角形中去，使問題順利得解.例28 如圖，梯形ABCD中ADBC，AD=2 cm，BC=7 cm，AB=4 cm，求CD的取值范圍 規(guī)律總結(jié)：通過作腰的平行線，構(gòu)造平行四邊形、三角形，從而把分散的條件集中到一個三角形中去，從而為解題創(chuàng)造必要條件，這種方法很重要，需切實掌握2延長兩腰交于一點 將梯形的兩腰延長，使之交于一點，把梯形轉(zhuǎn)化為大、小兩個三角形，從而利用特殊三角形的有關(guān)性質(zhì)解決梯形問題例29 如圖，梯形ABCD中，ADBC，B=C，試說明梯形ABCD是等腰梯形 規(guī)律總結(jié)：延長兩腰交于一點，可把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題解決3平移一條對角線 從梯形一底的一個頂點向梯形外作對角線的平行線，與另一底的延長線相交，構(gòu)成平行四邊形和特殊三角形