復(fù)變函數(shù)總結(jié)

1、第一章 復(fù)數(shù)的運算與復(fù)平面上的拓撲1.復(fù)數(shù)的定義一對有序?qū)崝?shù)（x,y）構(gòu)成復(fù)數(shù),其中.，X稱為復(fù)數(shù)的實部，y稱為復(fù)數(shù)的虛部。復(fù)數(shù)的表示方法1）模：；2）幅角：在時，矢量與軸正向的夾角，記為（多值函數(shù)）；主值是位于中的幅角。3）與之間的關(guān)系如下： 當 ； 當4）三角表示：，其中；注：中間一定是“+”5）指數(shù)表示：，其中2.復(fù)數(shù)的四則運算1）.加減法：若，則2）.乘除法：3）若，則； 。4）若, 則；5.無窮遠點得擴充與擴充復(fù)平面復(fù)平面對內(nèi)任一點z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點, 則球面上除N點外的所有點和復(fù)平面上的所有點有一一對應(yīng)的關(guān)系, 而N點本身可代表無窮遠點, 記作¥

2、.這樣的球面稱作復(fù)球面這樣的球面稱作復(fù)球面.擴充復(fù)平面-引進一個“理想點”: 無窮遠點 復(fù)平面的開集與閉集復(fù)平面中領(lǐng)域，內(nèi)點，外點，邊界點，聚點，閉集等概念復(fù)數(shù)序列的極限和復(fù)數(shù)域的完備性復(fù)數(shù)的極限，柯西收斂定理，魏爾斯特拉斯定理，聚點定理等從實數(shù)域里的推廣，可以結(jié)合實數(shù)域中的形式來理解。第二章 復(fù)變量函數(shù)1.復(fù)變量函數(shù)的定義1）復(fù)變函數(shù)的反演變換（了解）2）復(fù)變函數(shù)性質(zhì)反函數(shù)有界性周期性，3）極限與連續(xù)性極限：連續(xù)性2.復(fù)變量函數(shù)的形式偏導1）復(fù)初等函數(shù)2)指數(shù)函數(shù)：，在平面處處可導，處處解析；且。注：是以為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）3)對數(shù)函數(shù)： （多值函數(shù)）；主值：。（單值函數(shù)）

3、的每一個主值分支在除去原點及負實軸的平面內(nèi)處處解析，且；注：負復(fù)數(shù)也有對數(shù)存在。（與實函數(shù)不同）4)乘冪與冪函數(shù)：；注：在除去原點及負實軸的平面內(nèi)處處解析，且。5)三角函數(shù)： 在平面內(nèi)解析，且注：有界性不再成立；（與實函數(shù)不同）6）雙曲函數(shù) ；奇函數(shù)，是偶函數(shù)。在平面內(nèi)解析第三章 解析函數(shù)的定義1.復(fù)變量函數(shù)的導數(shù)復(fù)變量函數(shù)的解析性2.函數(shù)可導與解析的充要條件1）函數(shù)可導的充要條件：在可導和在可微，且在 處滿足條件： 此時， 有。2）函數(shù)解析的充要條件：在區(qū)域內(nèi)解析和在在內(nèi)可微，且滿足條件：；此時。注意： 若在區(qū)域具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明具有

4、一階連續(xù)偏導且滿足條件時，函數(shù)一定是可導或解析的。解析映射的幾何意義保角性：任何兩條相交曲線的夾角（即在交點的切線的夾角）在解析映射下的夾角保持不變第四章 柯西定理和柯西公式1 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)1） （與的方向相反）；2） 是常數(shù)；3） 若曲線由與連接而成，則。2復(fù)變函數(shù)積分的一般計算法1）化為線積分：；（常用于理論證明）2）參數(shù)方法：設(shè)曲線： ，其中對應(yīng)曲線的起點，對應(yīng)曲線的終點，則 3.積分與路徑無關(guān)的條件和原函數(shù)1）條件：見書中定理（1.1）（1.2）命題（1.1）（1.2）這幾個定理及命題都只有理論上的意義。柯西-古爾薩定理及其應(yīng)用4柯西古薩基本定理：設(shè)在單連域內(nèi)解析，為內(nèi)任一閉曲線

5、，則 5復(fù)合閉路定理： 設(shè)在多連域內(nèi)解析，為內(nèi)任意一條簡單閉曲線，是內(nèi)的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于內(nèi)，則 其中與均取正向； ，其中由及所組成的復(fù)合閉路。6閉路變形原理 ： 一個在區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因在內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過程中不經(jīng)過使不解析的奇點。7解析函數(shù)沿非閉曲線的積分： 設(shè)在單連域內(nèi)解析，為在內(nèi)的一個原函數(shù)，則說明：解析函數(shù)沿非閉曲線的積分與積分路徑無關(guān)，計算時只要求出原函數(shù)即可。8. 柯西積分公式：設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一正向簡單閉曲線，的內(nèi)部完全屬于，為內(nèi)任意一點，則9高階導數(shù)公式：解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導數(shù)為 其中為的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于。10重要結(jié)論：。 （是包含的任意正向簡單閉曲線）8復(fù)變函數(shù)積分的計算方法1）若在區(qū)域內(nèi)處處不解析，用一般積分法2）設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，l 是內(nèi)一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理， l 是內(nèi)的一條非閉曲線，對應(yīng)曲線的起點和終點，則有3）設(shè)在區(qū)域內(nèi)不解析l 曲線內(nèi)僅有一個奇點：（在內(nèi)解析）l 曲線內(nèi)有多于一個奇點： （內(nèi)只有一個奇點） 或：（留數(shù)基本