復變函數期末試卷

1、一 . 填空 (每題2分，共10分)。1. 設，則 .2.設c為沿原點z=0到點z=1+i的直線段,則 2 .3. 函數f(z)=在點z=0處的留數為_4. 若冪級數處收斂，則該級數在z=2處的斂散性為 . 5. 設冪級數的收斂半徑為R，那么冪級數的收斂半徑為 .二. 單項選擇題 (每題2分，共40分)。1 復數的輻角為 （）Aarctan B-arctan C-arctan D+arctan2 方程所表示的平面曲線為 （）A圓 B直線 C橢圓 D雙曲線3復數的三角表示式為 （）A BC D4設z=cosi，則 （）AImz=0 BRez= C|z|=0 Dargz=5復數對應的點在 （）A第

2、一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6設w=Ln(1-i),則Imw等于（）A B C D7.設函數f(z)=u+iv在點z0處可導的充要條件是 ( )A. u,v在點z0處有偏導數 C. u,v在點z0處滿足柯西黎曼方程B. u,v在點z0處可微 D. u,v在點z0處可微，且滿足柯西黎曼方程8若函數f(z)在正向簡單閉曲線C所包圍的區(qū)域D內解析，在C上連續(xù)，且z=a為D內任一點，n為正整數，則積分等于 （）A B C D9 設C為正向圓周z+1|=2,n為正整數，則積分等于 （）A.1 B2i C0 D10設C為正向圓周|z|=2，則積分等于 （ ）A0 B2i C4i D8i11設

3、函數f(z)=，則f（z）等于 （）A B C D12設積分路線C為z=-1到z=1的上半單位圓周，則等于（）A B C D13冪級數的收斂區(qū)域為（）A B C D14 是函數f(z)=的（）A.一階極點 B可去奇點 C一階零點 D本性奇點15 z=-1是函數的 （）A.3級極點 B4級極點 C5級極點 D6級極點16 冪極數的收斂半徑為（）A.0B1C2 D17 設Q（z）在點z=0處解析，,則Resf(z),0等于 （）AQ（0）BQ（0） CQ（0） DQ（0）18下列積分中，積分值不為零的是（）A CB D19.級數是 ( )A. 收斂 B. 發(fā)散 C. 絕對收斂 D. 條件收斂20.

4、在|z|<1內解析且在（-1，1）內具有展開式的函數只能是（ ）A. B. C. D. 三計算及應用題（每題10分，共50分）。 1求函數在z=1處的泰勒展開式及內展開為洛朗級數. 2設.3.給定積分.試就下列不同情形，寫出此積分的值：(1)C為正向圓周|z|=1， (2)C為正向圓周|z-2|=1, (3)C為正向圓周|z|=3. 4已知解析函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虛部v(x,y)=x3-3xy2,并且f(i)=0,求f(z).5. 討論的可導性與解析性.一、 填空題(每空 3 分，共15 分) 1、復數的模_。2、=_。3、設C為正向圓周=2，則=_。4、Z=1是

5、的_級零點。5、設，則_。二、單項選擇題（每題 3 分，共15 分）1、當等于什么實數時，等式成立（ ）（A） (B)（C） (D) 2、函數把Z平面上的曲線映射成為平面上的（ ）（A）一條過原點的直線 （B）一個過原點的圓（C）上半平面 （D）方程為的圓3、設為正向圓周：，則的值為（ ）（A）0 （B） （C）-1 (D) -4、是的（ ）（A）可去奇點 （B）一級極點 （C）本性奇點 (D) 零點5、下列函數處處解析的是（ ）（A） （B） （C） (D) 三、（10分）設z=四、（10分）將復數化成三角形式與指數形式，并求它的輻角主值。五、（10分）設函數.問常數取何值時，在復平面內處處

6、解析？六、（10分）證明為調和函數，并求其共軛調和函數和由它們構成的解析函數。七、（12分）計算下面積分的值，其中C為正向圓周|z|=3 （1） （2）八、（10分）將內展開為洛朗級數九、（8分）用留數計算實積分一、填空題(每空 3 分，共 15 分) 1（1i）3（1i）3 _ 2.e= 。3 其中C為正向圓周：4。4 （其中n為正整數）。5.Res= _二、選擇題(每題 3 分，共 15 分) 1下列函數極限存在的是 （ ）A B. C. D. ()2將Z平面上的曲線x2+y2=4映射成W平面上的曲線u2+v2=的映射函數f(z)為( )AW= B.W=Z2 C.W= D.W=3下列命題正

7、確的是 （ ）A如果在z0連續(xù)，那么存在B如果存在，那么在z0解析C如果在z0解析，那么存在D如果z0是的奇點，那么在z0不可導4下列級數絕對收斂的是 （ ） A B. C. D.5是f(z)=的 （ ）A可去奇點 B.一級極點 C.本性奇點 D.二級極點三、計算題(每題10 分，共 70 分)1.已知為調和函數，求滿足f(2)=-i的解析函數f(z)=u+iv。2設f(z)= (1)試求f(1)；(2)當時，試求f(z)。3. 求函數f(z)=在圓環(huán)域內的洛朗展開式。4. 計算積分dz，C為正向圓周：5。5. 計算。6. 求+，其中和的起點和終點相同，都是0和1i，但路徑不同，是連接這兩點的

8、直線段，是經過z=1的折線段。7. 設級數收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1。一、填空題(每空 3 分，共 15 分) 1設，則Imz 。2.方程lnz=的解為 。3設C為正向圓周|z|=1，則 。4冪級數的收斂半徑為 。5. 奇點類型是 。二選擇題(每題 3 分，共 15 分) 1復數的輻角為 （）A.arctan B-arctan C-arctan D+arctan2.設z=cosi，則（）AImz=0 BRez= C|z|=0 Dargz=3設函數f(z)=，則f（z）等于（）A B C D4設Q（z）在點z=0處解析，,則Resf(z),0等于（）AQ（0） BQ（0） CQ（0） DQ（0） 5是函數f(z)=的 （ ）A.一級極點 B可去奇點 C一級零點 D本性奇點三計算題(每題10 分，共 70 分)1. 求的共軛調和函數v(x,y)，并使v(0,0)1。2求其中C為不經過z=-1的任意簡單閉曲線，n為整數。3. 試求函數f(z)=在點z=0處的泰勒級數，并指出其收斂區(qū)域。4. 利用留數計算積分dz，其中C為正向圓周： 4.5. 設.6. 將內展開為洛朗級數。7.若復數的模相等且+=0.證明: 構成等邊三角形的三個頂點。07-08復變答案一 1 -4 2. 3. 4. 5. 二1C 2.C 3.C 4.C 5.A三 1.