復(fù)變函數(shù)論自學(xué)考試大綱

1、10019復(fù)變函數(shù)論自學(xué)考試大綱浙江省高等教育自學(xué)考試辦公室二OO四年十二月指定教材：復(fù)變函數(shù)論，鐘玉泉編，高等教育出版社2004年1月第3版一、課程性質(zhì)與說明復(fù)變函數(shù)論是高等師范數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程之一。復(fù)變函數(shù)論主要研究解析函數(shù)。解析函數(shù)定義的幾種等價(jià)形式，表現(xiàn)了解析函數(shù)這一概念在不同方面的特性。復(fù)變函數(shù)論的基本理論以柯西定理為主要定理，柯西公式為重要公式，留數(shù)基本定理是柯西定理的推廣。共形映射是復(fù)變函數(shù)幾何理論的基本概念。留數(shù)理論和共形映射也為實(shí)際應(yīng)用提供了特有的復(fù)變函數(shù)論方法。二、考核目標(biāo)第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)和平面點(diǎn)集是研究復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)及其極限理論與微積分學(xué)的相應(yīng)內(nèi)容類似

2、，但因復(fù)變函數(shù)是研究平面上的問題，因而有其新的含義與特點(diǎn)。（一）目的和要求1明確復(fù)數(shù)、區(qū)域、單連通區(qū)域、多連通區(qū)域、逐段光滑曲線、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)、擴(kuò)充復(fù)平面等概念。2明確復(fù)變函數(shù)連續(xù)性等價(jià)于其實(shí)部與虛部的連續(xù)性。3掌握復(fù)數(shù)的計(jì)算，會(huì)應(yīng)用模和輻角的性質(zhì)。4會(huì)作點(diǎn)集的圖形，掌握一些簡單函數(shù)的變換性質(zhì)。（二）主要內(nèi)容1復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的表示式及代數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模及輻角、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)在幾何中的應(yīng)用。2復(fù)平面上的點(diǎn)集平面點(diǎn)集、曲線、區(qū)域。3復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的概念、極限及連續(xù)性。4復(fù)球面及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)球面、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)及擴(kuò)充復(fù)平面。第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)是本課程的主要研究對象，它是一類特殊的可微函數(shù)。判斷函數(shù)可微和解析的

3、主要條件是柯西黎曼條件。復(fù)變函數(shù)中各類基本初等函數(shù)之間，具有明確的統(tǒng)一性。（一）目的和要求1正確理解復(fù)變函數(shù)的可微、解析函數(shù)等基本概念。2明確柯西黎曼條件與函數(shù)可微性、解析性的關(guān)系。3明確復(fù)變函數(shù)中各類基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)以及它們與實(shí)初等函數(shù)的異同點(diǎn)。4能確定根式函數(shù)的單值解析分支并能求其函數(shù)值。（二）主要內(nèi)容1解析函數(shù)的概念與柯西黎曼條件2初等解析函數(shù)指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、根式函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單值解析分支、反三角函數(shù)、一般冪函數(shù)和一般指數(shù)函數(shù)。第三章 復(fù)變函數(shù)的積分以柯西定理為基礎(chǔ)，建立柯西公式，從而得出解析函數(shù)的積分表達(dá)式及各階可微性。摩勒拉定理解決了柯西定理的逆問題。（一）目的和要求1

4、正確理解復(fù)積分的概念，掌握復(fù)積分的性質(zhì)及一般計(jì)算法。2明確柯西積分定理及其幾種推廣的條件和結(jié)論。能運(yùn)用柯西定理、柯西公式、高階導(dǎo)數(shù)公式來求積分。3掌握柯西不等式、劉維爾定理、代數(shù)學(xué)基本定理。知道摩勒拉定理與柯西定理組成了解析函數(shù)的一個(gè)充要條件。4明確調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念，會(huì)由已知的調(diào)和函數(shù)和求出解析函數(shù)（二）主要內(nèi)容1復(fù)積分的概念及其簡單性質(zhì)。2柯西積分定理。3柯西積分公式及其推論。4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。第四章 解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法泰勒級(jí)數(shù)給予解析函數(shù)明確的解析表示式。解析函數(shù)的唯一性定理及最大模原理是解析函數(shù)的重要特性。（一）目的和要求1明確冪級(jí)數(shù)、收斂半徑的概念。2會(huì)在指定

5、點(diǎn)的鄰域內(nèi)將解析函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)。3明確解析函數(shù)零點(diǎn)孤立性、唯一性定理以及最大模原理的條件和結(jié)論。（二）主要內(nèi)容1復(fù)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。2冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)、阿貝爾定理、收斂半徑、收斂圓。冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的解析性。3解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)圓內(nèi)解析函數(shù)的泰勒展式及其唯一性，冪級(jí)數(shù)和函數(shù)在收斂圓周上的奇點(diǎn)存在性，初等函數(shù)的泰勒展式。4解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性及唯一性定理。5最大模原理。第五章 解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)洛朗展式是研究解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的重要工具。（一）目的和要求1明確洛朗展式、孤立奇點(diǎn)、可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)的概念和性質(zhì)。2會(huì)求簡單函數(shù)的洛朗展式，會(huì)判別孤立奇點(diǎn)的類型（包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形）。（二）主要

6、內(nèi)容1解析函數(shù)的洛朗展式環(huán)內(nèi)解析函數(shù)的洛朗展式及其唯一性。2解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)的定義、分類及函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)。3解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。第六章 留數(shù)理論及其應(yīng)用留數(shù)在復(fù)變函數(shù)的周線積分及一些實(shí)積分計(jì)算中起著重要作用。應(yīng)用留數(shù)理論還可以考察區(qū)域內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)分布狀況。（一）目的和要求1明確留數(shù)的概念、留數(shù)的基本定理，會(huì)求函數(shù)的留數(shù)。2用留數(shù)理論計(jì)算周線積分。3用留數(shù)定理計(jì)算四種類型的實(shí)積分。4明確儒歇定理的條件和結(jié)論，并能應(yīng)用儒歇定理解決有關(guān)代數(shù)方程的問題。（二）主要內(nèi)容1留數(shù)留數(shù)的定義、基本定理、求法（包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)情形）。2用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分：(1)型積分, (2) 型積分

7、, (3) 型積分, (4)積分路徑上有奇點(diǎn)的積分。3輻角原理及其應(yīng)用。第七章 共形映射共形映射是復(fù)變函數(shù)幾何理論的基本概念。線性變換和其它初等函數(shù)的包含有廣泛的應(yīng)用。（一）目的和要求1明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及共形映射、線性變換的概念和性質(zhì)。明確單葉解析函數(shù)的概念和性質(zhì)。2會(huì)用線性變換以及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等變換作為“跳板”尋求簡單區(qū)域的共形映射。（二）主要內(nèi)容1解析變換的特性。2線性變換。3某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射與；與，以及它們的簡單復(fù)合變換。三、樣題(考試大綱中題型舉例僅作參考，實(shí)際命題時(shí)不受此限)1 填空題(每空2分，共16分)(1) 若函數(shù)在復(fù)平面上為解析函數(shù)，并且有界，則 該命題被稱為劉維爾定理。2判斷下列命題之真?zhèn)危ㄓ?#252;表示正確，û表示不正確。每小題2分，共14分）(1) 在有界區(qū)域內(nèi)解析，且在其中有無窮多個(gè)零點(diǎn)，則在內(nèi)恒為零 （ ）3完成下列各題（每小題5分，共30分）(1) 證明在平面上是無界函數(shù)4（10分）試證明：在原點(diǎn)解析，而在處分