專(zhuān)題06 三角形中的倒角模型之平行線+拐點(diǎn)模型解讀與提分精練（全國(guó)）（解析版）

專(zhuān)題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點(diǎn)模型近年來(lái)各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類(lèi)問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專(zhuān)題就平行線+拐點(diǎn)模型（豬蹄模型(M型)、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型） 2模型2.鉛筆頭模型 3模型3.牛角模型 4模型4.羊角模型 4模型5.蛇形模型（“5”字模型） 5 6模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型）先說(shuō)說(shuō)這個(gè)名字的由來(lái)，為什么叫豬蹄模型呢？因?yàn)樗L(zhǎng)得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根據(jù)外形來(lái)取的，只要你喜歡，叫什么都無(wú)所謂，掌握其中的核心才是關(guān)鍵。。①注意：拐角為左右依次排列；②若出現(xiàn)不是依次排列的，應(yīng)進(jìn)行拆分。圖1圖2圖3條件：如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②條件：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．條件：如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.證明：根據(jù)圖1中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，條件：如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.證明：由圖2的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2024·山西·二模）如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，衛(wèi)星波束與平行射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，作，則，結(jié)合得出，推出，最后由，即可得解．【詳解】解：如圖，作，則，，，，，故選：B．例2．（2024九年級(jí)下·遼寧·學(xué)業(yè)考試）如圖，，，則的度數(shù)為．【答案】/80度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角等知識(shí)點(diǎn)，作可得；根據(jù)即可求解.【詳解】解：作，如圖所示：∵，∴∵∴∴∵∴故答案為：例3．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°【答案】C【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差可得，同樣的方法可得，再根據(jù)角的倍分可得，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作，則，∴，，同理可得：，，∴，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，谷愛(ài)凌的勵(lì)志故事也激勵(lì)著我們青少年，很多同學(xué)紛紛來(lái)到滑雪場(chǎng)，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺(jué)，但是第一次走進(jìn)滑雪場(chǎng)的你，如果不想體驗(yàn)人仰馬翻的感覺(jué)，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，，當(dāng)人腳與地面的夾角時(shí)，求出此時(shí)上身與水平線的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)得出，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出結(jié)果．【詳解】解：延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，，，

根據(jù)題意得，，故選：A．【點(diǎn)睛】題目考查平行線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例5．（23-24七年級(jí)下·廣東云浮·期末）小明學(xué)習(xí)了角平分線的定義以及平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)后，對(duì)角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，直線，直線是直線，的第三條截線，，分別是，的平分線，并且相交于點(diǎn)K．

問(wèn)題解決：（1），的平分線，所夾的的度數(shù)為_(kāi)_____；問(wèn)題探究：（2）如圖2，，的平分線相交于點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出與之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；拓展延伸：（3）在圖3中作，的平分線相交于點(diǎn)K，作，的平分線相交于點(diǎn)，依此類(lèi)推，作，的平分線相交于點(diǎn)，求出的度數(shù)．【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）【分析】本題考查利用平行線的性質(zhì)和平行公理的推論探究角的關(guān)系(拐點(diǎn)問(wèn)題)，角平分線的相關(guān)計(jì)算等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明過(guò)點(diǎn)K作，則，利用平行線的性質(zhì)推出，繼而推出，從而得到；（2）與（1）同理可得：，繼而得解；（3）由（2）得，同理得，，繼而總結(jié)規(guī)律得，從而得解．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)K作，則，∴，

∵，分別是，的平分線，并且相交于點(diǎn)K，∴，∴，∴，故答案為：．（2）．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作．，，，，．，的平分線相交于點(diǎn)，，，．由（1），知，．（3）由（2），可知．同理，可得，，……．當(dāng)時(shí)，．例6．（2024·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┮阎本€AB∥CD。（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫(xiě)出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（2）過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．（3）過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，利用平行線的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，本題構(gòu)造輔助線利用平行線的傳遞性結(jié)合平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．模型2.鉛筆頭模型（子彈模型）因?yàn)樗L(zhǎng)得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據(jù)外形來(lái)取的，叫什么都無(wú)所謂，掌握其中的核心才是關(guān)鍵。①注意拐角朝同一方向②若出現(xiàn)拐角不朝同一方向的，應(yīng)進(jìn)行拆分.圖1圖2圖3條件：如圖1，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；（該結(jié)論和條件互換結(jié)果任然成立）。證明：在圖2中，過(guò)P作AM的平行線PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；條件：如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°證明：在圖2中，過(guò)P1作AM的平行線P1E，過(guò)點(diǎn)P2作AM的平行線P2F，∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；條件：如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.證明：在圖3中，過(guò)各角的頂點(diǎn)依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過(guò)凸透鏡的折射后，折射光線和折射光線交主光軸于點(diǎn)P，若，，則°．【答案】45【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．此題主要考查了平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，又，，，，，．故答案為：45．例2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)，得出，結(jié)合，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：如圖：∵∴則∵∴故選：D例3．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線和之間，連接和的平分線交于點(diǎn)Q，下列等式正確的是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)P作，過(guò)點(diǎn)Q作，可得，從而得到，，，進(jìn)而得到，再由角平分線的定義可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作，過(guò)點(diǎn)Q作，

∵，∴，∴，，，∴，∵和的平分線交于點(diǎn)Q，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例4．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖①所示，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．如圖②所示，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（、、），則（度）；（1）如圖③所示，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（、、、），則（度）；（2）如圖④所示，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（、、、、），則（度）；（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是（度）．

【答案】360540720180n【分析】過(guò)點(diǎn)作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于的倍；（1）分別過(guò)、分別作的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于的三倍；（2）分別過(guò)、、分別作的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于的四倍；（3）根據(jù)前三問(wèn)個(gè)的剪法，剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是度．【詳解】過(guò)作（如圖②）．∵原四邊形是長(zhǎng)方形，∴，又∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴，又∵，∴；

（）分別過(guò)、分別作的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得；（）分別過(guò)、、分別作的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得；（）由此可得一般規(guī)律：剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是度．故答案為：；；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．例5．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問(wèn)題的解．

(1)如圖1，，點(diǎn)E為、之間的一點(diǎn)．求證：．(2)如圖2，，點(diǎn)E、F、G、H為、之間的四點(diǎn)．則______．(3)如圖3，，則______．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)；(3)；【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再計(jì)算角度和即可證明；（2）分別過(guò)點(diǎn)E、F、G、H作的平行線，在兩相鄰平行線間利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得兩角度和后，再將所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在、之間每有一條線段便可求得一個(gè)180°角度和，結(jié)合圖3找出n和線段條數(shù)的關(guān)系便可解答；【詳解】（1）證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)作，

∵，，∴，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得：，，∴，∴；（2）解：如下圖，分別過(guò)點(diǎn)E、F、G、H作，，，，結(jié)合（1）解答在兩相鄰平行線間可得：，，，，，將所有角度相加可得：；（3）解：由（2）解答可知在、之間每有一條線段便可求得一個(gè)180°角度和，由圖3可知：當(dāng)、之間有2條線段時(shí)，，當(dāng)、之間有3條線段時(shí)，，當(dāng)、之間有4條線段時(shí)，，當(dāng)、之間有5條線段時(shí)，，…，當(dāng)、之間有條線段時(shí)，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了平行線公理的推論，平行線的性質(zhì)，歸納總結(jié)的解題思路，通過(guò)作輔助線將角度按組計(jì)算是解題關(guān)鍵．模型3.牛角模型因?yàn)樗L(zhǎng)得像犀牛角，故取名牛角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結(jié)論：.證明：如圖，延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝，∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴；條件：如圖2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結(jié)論：.證明：如圖，延長(zhǎng)AB交DE于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-，∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴；例1．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）抖空竹是一種傳統(tǒng)雜技節(jié)目，是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如圖1是某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間，若將其抽象成圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題：在平面內(nèi)，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，延長(zhǎng)交于F，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交于F，∵，，∴，∵，∴，故選：C．例2．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作，則，由平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)一步推出．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·湖北洪山·七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點(diǎn)，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為_(kāi)_____．【答案】∠P＝360°﹣2a【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的關(guān)系，然后即可用a表示∠P．【詳解】解：延長(zhǎng)AB交PD于點(diǎn)G，延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)H，∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案為：∠P＝360°﹣2a．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，有一定的綜合性，認(rèn)真找出角的關(guān)系是關(guān)鍵．例4．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校?？计谥校┮阎本€，點(diǎn)為直線，所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)，(1)問(wèn)題提出：如圖1，，．求的度數(shù)：(2)問(wèn)題遷移：如圖2，寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(3)問(wèn)題應(yīng)用：如圖3，，，，求的值．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，易得，由平行線的性質(zhì)可得，，即可求出；（2）過(guò)點(diǎn)作，易得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；（3）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，易得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再由已知等量代換，即可求得的值．【詳解】（1）解：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，．，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．例5．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，．

(1)如圖，求證；(2)如圖，點(diǎn)在上，平分，交于點(diǎn)，探究的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的條件下，如圖交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，結(jié)合已知即可得出，據(jù)此即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，，由角平分線的定義得，，由（1）可知∥，則，，然后由得，再四邊形的內(nèi)角和等于得，即，據(jù)此可得出，的數(shù)量關(guān)系；（3）設(shè)，則，，由∥得，而，然后根據(jù)得，據(jù)此可求出，則，最后根據(jù)周角的定義可求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，

，，∥．（2）解：，的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：設(shè)，，平分，，，，，由（1）可知：∥，，，，，，由四邊形的內(nèi)角和等于得：，即：，，．（3）解：設(shè)，，，由（1）可知：∥，，，，，，，解得：，，，根據(jù)周角的定義得：，．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的判定及性質(zhì)：兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．模型4.羊角模型因長(zhǎng)像酷似山羊角，故取名羊角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝，∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴；條件：如圖2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-，∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴；例1．（2024·重慶江津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，如果，，那么的度數(shù)為．

【答案】/35度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對(duì)等角以及外角定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．例2．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點(diǎn)分別在上，當(dāng)時(shí)，．【答案】/65度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，等邊對(duì)等角，得到，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴；故答案為：．例3．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到，，即可求得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵，，∴．∴，．∵，∴．∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例4．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期末）如圖，的角平分線交的角平分線的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，直線交于點(diǎn)N，若，則°【答案】36【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的外角定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和可得，再根據(jù)三角形的外角定理分別求出，，進(jìn)而可求解【詳解】解：如圖所示：交于點(diǎn)E，由題意可知：平分，平分，，，，即，，，是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，,故答案為：36例5．（2023七年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知．(1)如圖1，求證：；(2)若F為直線、之間的一點(diǎn)，，平分交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)C．①如圖2，若，且，求的度數(shù)；②如圖3，若點(diǎn)K在射線上，且滿足，若，，直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②或【分析】（1）過(guò)E作，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行解答即可；（2）①過(guò)F作，交于H點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，則，,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合，從而得出，進(jìn)而得出答案；②過(guò)點(diǎn)F作，設(shè)，則，，所以，，然后分當(dāng)K在上；當(dāng)K在延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)E作，∴，又∵，∴，∴，即；（2）①如圖，過(guò)F作，交于H點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，則，,∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，即，∴；②如圖，過(guò)點(diǎn)F作，設(shè)，則，，∴，∴，，當(dāng)K在上，，∴，∴，∴；當(dāng)K在延長(zhǎng)線上時(shí)，，，∴，∴，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質(zhì)、作出正確輔助線、運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解題是關(guān)鍵．模型5.蛇形模型（“5”字模型）因模型像一條彎曲的水蛇，故取名蛇形模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：在圖2中，過(guò)C作AB的平行線CF，∴∠BCF＝∠B，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.條件：如圖2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結(jié)論：.證明：在圖2中，過(guò)C作AB的平行線CF，∴∠B+∠BCF＝180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)，拐彎后與原來(lái)方向相同，如圖，若，則等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)C作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作，∴，∵∴；∵，∴；由題意，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判斷和性質(zhì)，作出輔助線，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24七年級(jí)下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，，的角平分線的反向延長(zhǎng)線和的角平分線交于點(diǎn)F，，則．【答案】/104度【分析】本題考查了角平分線的意義，平行線的性質(zhì)，平角的意義，四邊形內(nèi)角和，先根據(jù)角平分線的意義設(shè)，繼而根據(jù)平角的意義得出，再由平行線的性質(zhì)及四邊形內(nèi)角和得出，結(jié)合，求解即可．【詳解】∵的角平分線的反向延長(zhǎng)線和的角平分線交于點(diǎn)F，∴設(shè)，∴，過(guò)點(diǎn)F作，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，故答案為：．例3．（23-24七年級(jí)下·湖北鄂州·期中）如圖，已知點(diǎn)，，不在同一條直線上，．(1)求證；(2)如圖2，，分別為三等分、所在直線，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，在（2）的前提下，且有，直線、交于點(diǎn)，，請(qǐng)直接寫(xiě)出_________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，則，可得，，，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，則，可得，，再由，，可得，，可得，再由（1）中結(jié)論，即可求解；（3）根據(jù)，可得∠ACP=3∠AQB，再由AC∥BQ，可得∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，從而得到∠PAC=30°，進(jìn)而得到∠QBP=∠ACP=90°，再由，，可得∠CAD=45°，∠EBC=135°，即可求解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，則，∵，∴，，，，（2）解：過(guò)點(diǎn)作，則，∵，，∴，，∵，，∴，即，由（1）得：，∴．（3）解：∵，∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=3∠AQB，∵AC∥BQ，∴∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，∴∠ACP=3∠CAP，∵，∴∠PAC+∠ACP=120°，即∠PAC+3∠PAC=120°，解得：∠PAC=30°，∴∠QBP=∠ACP=90°，∴∠ACB=90°，∵，∴∠PAC=2∠DAH，∴∠DAH=15°，即∠CAD=45°，∵，∴∠EBQ=45°，∴∠EBC=135°，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·期末）如圖，，．(1)如果，求的度數(shù)；設(shè)，，直接寫(xiě)出、之間的數(shù)量關(guān)系：；(2)如圖，、的角平分線交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若，點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接．已知，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)不發(fā)生變化；，理由見(jiàn)詳解(3)或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，則有，然后得到，，然后計(jì)算解題；過(guò)點(diǎn)作，則有，，再根據(jù)直角得到結(jié)論；（2）由可得，，然后根據(jù)角平分線的定義得到，，然后利用同的推導(dǎo)過(guò)程得到結(jié)論；（3）由（2）可得，，，然后分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)兩種情況進(jìn)行解題．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作，，，，，又，，；過(guò)點(diǎn)作，，，，，又，，，故答案為：；（2）解：不發(fā)生變化；，理由為：由可得，，、的角平分線交于點(diǎn)，，，，過(guò)作，，；（3）由（2）得，，，，，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖，則，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖，則，，．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的計(jì)算、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，若，，，則的度數(shù)是（）A．115° B．130° C．140° D．150°【答案】C【分析】利用平行線的傳遞性作出輔助線，再通過(guò)平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)作的平行線，如圖所示；，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的基本性質(zhì)與平行的傳遞性，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)傳遞性做出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是路政工程車(chē)的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作工作籃底部，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作工作籃底部，，

工作籃底部與支撐平臺(tái)平行，工作籃底部支撐平臺(tái)，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．3．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，平行的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用相關(guān)知識(shí)．根據(jù)可得，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)結(jié)合可得，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵，．又∵，，．故選：C．4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）抖空竹是我國(guó)的傳統(tǒng)體育，也是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．明代《帝京景物略》一書(shū)中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見(jiàn)抖空竹在民間流行的歷史至少在年以上．如圖，通過(guò)觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先利用平行線的性質(zhì)可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，故選：．5．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，若，，，，那么的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)得出，，再結(jié)合計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，故選：D．6．（24-25九年級(jí)上·湖北·課后作業(yè)）①如圖①，，則；②如圖②，，則；③如圖③，，則；④如圖④，直線，點(diǎn)在直線上，則．以上結(jié)論正確的是（

）A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②③④【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角定理，正確添加輔助線，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．對(duì)于“拐點(diǎn)”類(lèi)問(wèn)題，一般是過(guò)“拐點(diǎn)”作平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角定理即可求解判斷出角度之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：①，如解圖①，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，故①正確；②，如解圖②，設(shè)與交于點(diǎn)，，，是的一個(gè)外角，，，，故②正確；③，由①可得：，，，，故③不正確；④，，，，，，故④正確；所以結(jié)論正確的是①②④，故選：C．7．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，是某款嬰兒車(chē)的幾何示意圖，若，，，則的度數(shù)是°．【答案】【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，先證明，，再利用三角形的外角的性質(zhì)解答即可．【詳解】∵，，，∴，，∴．故答案為：8．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，，的角平分線的反向延長(zhǎng)線和的角平分線交于點(diǎn)，，則．【答案】/度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，四邊形內(nèi)角和定理等．過(guò)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，可得，，進(jìn)而可得，，利用四邊形內(nèi)角和為度，可得，再結(jié)合即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過(guò)作，

∵，∴，∵的角平分線的反向延長(zhǎng)線和的角平分線交于點(diǎn)，∴可設(shè)，，∴，，∴四邊形中，，即，①又∵，∴，②∴，解得，故答案為：．9．（23-24七年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，，為上方一點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，、的角平分線交于點(diǎn)，的角平分線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)等于．【答案】/164度【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的概念，三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，首先根據(jù)角平分線的概念結(jié)合平角得到，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理求出，然后由平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】如圖所示，∵平分，平分∴，∴∵∴∵∴∴∵平分∴∴．故答案為：．10．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，兩直線、平行，則．【答案】900°【詳解】分別過(guò)E點(diǎn),F點(diǎn),G點(diǎn),H點(diǎn)作L1,L2,L3,L4平行于AB觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，則故答案900°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵。11．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級(jí)?？计谥校﹩?wèn)題探究：如下面四個(gè)圖形中，ABCD．（1）分別說(shuō)出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關(guān)系．（2）請(qǐng)你從中任選一個(gè)加以說(shuō)明理由．解決問(wèn)題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【答案】(1)圖1：∠1+∠2＝∠3；

圖2：∠1+∠2+∠3＝；圖3：∠1＝∠2+∠3；

圖4：∠1+∠3＝∠2；(2)見(jiàn)解析；(3)【分析】(1)圖1：首先過(guò)點(diǎn)P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案；圖2：首先過(guò)點(diǎn)P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得答案；圖3：由ABCD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案；圖4：由ABCD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案．（2）選圖1，過(guò)點(diǎn)P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得答案；（3）利用圖1結(jié)論進(jìn)行求解【詳解】(1)圖1：∠1+∠2＝∠3；

圖2：∠1+∠2+∠3＝

圖3：∠1＝∠2+∠3；圖4：∠1+∠3＝∠2；(2)選擇圖1，如圖所示：過(guò)點(diǎn)P作EP//AB∵ABCD，EPAB∴ABEPCD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；(3)由圖1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用與輔助線的作法．12．（2023春·湖北黃岡·七年級(jí)校考期中）如圖，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點(diǎn)P，，直接寫(xiě)出．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出、，據(jù)此可得；（2）過(guò)點(diǎn)Q作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出，結(jié)合（1）的結(jié)論可得出；（3）由（2）的結(jié)論可得出①，由可得出②，聯(lián)立①②可求出的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得出的度數(shù)，將其代入中可求出結(jié)論．【詳解】（1）在圖①中，過(guò)點(diǎn)C作，則．

∵，∴，∴．（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作，則．∵，∴．∵平分，平分，∴，∴．∵，∴．（3）∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、添加輔助線構(gòu)建平行線．13．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：，點(diǎn)在上，點(diǎn)、在上，點(diǎn)在、之間，連接、、，，，垂足為點(diǎn)．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，平分，、交于點(diǎn)，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，平分交于點(diǎn)，若，與所在直線交于點(diǎn)，若射線從射線的位置開(kāi)始繞著點(diǎn)逆時(shí)針以每秒的速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，射線交直線于點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，第一次與平行？并求此時(shí)的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)，【分析】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角分線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握拐點(diǎn)問(wèn)題中的輔助線作法．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可；（3）過(guò)點(diǎn)作，先利用，設(shè)，，結(jié)合平行線的性質(zhì)求出，利用，結(jié)合平行線的判定與性質(zhì)求出，利用，，結(jié)合平行線的判定與性質(zhì)求出，即可求出，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，，平分，，平分，，；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵，∴設(shè)，，∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，解得：，∴，，由（2）得，∴，∴，∵，，∴，∴，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)逆時(shí)針以每秒的速度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，∴，綜上，時(shí)，第一次與平行，此時(shí)．14．（24-25八年級(jí)上·四川瀘州·開(kāi)學(xué)考試）（1）如圖1，已知，，，則求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，平分，平分，則的度數(shù)．（3）如圖2，已知，平分，平分，．當(dāng)點(diǎn)P、M在直線AC同側(cè)時(shí)，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系：；（4）如圖3，已知，平分，平分．當(dāng)點(diǎn)P、M在直線異側(cè)時(shí)，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）70度；（2）35度；（3）；（4）【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系，角平分線的計(jì)算，以及三角形外角的定義以及性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)P作，由平行線的性質(zhì)可得出，，最后根據(jù)即可得出答案．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，則可得到，由（1）可得出，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)R，由三角形外角的定義可得，，相加可得出，等量代換可得出，代入即可求出．（3）由（2）可得：．（4）過(guò)P作于Q，于N，由平行線的性質(zhì)可得出，，，，由角平分線的定義可得出，，最后根據(jù)，等量代換可得出【詳解】解：（1）如圖1，過(guò)P作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴；（2）如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，則可得到，則，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)R，則可得，，∴，∴，∴；（3）由（2）可得：，故答案為：；（4）如圖，過(guò)P作于Q，于N，則，∴，，，，∵平分，平分，∴，，∴，即，故答案為：．15．（23-24七年級(jí)下·河北邯鄲·期中）已知，直線，點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，連接與．(1)如圖1，點(diǎn)在直線之間，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)在直線之間，與的角平分線相交于點(diǎn)，寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，點(diǎn)落在下方，與的角平分線相交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先過(guò)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到，，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過(guò)作，根據(jù)，可得，，進(jìn)而得到，同理可得，，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進(jìn)而得到；（3）過(guò)作，根據(jù)，可得，，進(jìn)而得到，同理可得，，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進(jìn)而得到．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)作，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過(guò)作，，，，，，過(guò)作，，，，，，，與的角平分線相交于點(diǎn)，，；（3）．理由如下：如圖3，過(guò)作，∵，∴，∴，，∴，過(guò)作，，，，，，，∵與的角平分線相交于點(diǎn)K，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行計(jì)算．16．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期中），點(diǎn)E、F分別在、上；點(diǎn)O在直線、之間，且(1)如圖1，①若，求的度數(shù)；②若，請(qǐng)你直接寫(xiě)出________；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點(diǎn)M、N，求的值(3)如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點(diǎn)M、N，且，直接寫(xiě)出m的值【答案】(1)①②(2)(3)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)并正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)分別求得，，再根據(jù)，即可求出①②結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，，進(jìn)而可求出的值；（3）如圖3，設(shè)直線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，由得到，根據(jù)三角形外角與內(nèi)角關(guān)系得到，進(jìn)而得到，再由三角形外角與內(nèi)角關(guān)系求得，即可得到與的關(guān)系，即，再由題意可求得，，然后由，化簡(jiǎn)可得方程，求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，，，，①，，，，；②，，，，，；故答案為：；（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，平分，平分，，，又由（1）得，，．（3）解：如圖3，設(shè)直線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，，，，，，即，，在內(nèi)，，，，，，，即，，解得．17．（23-24七年級(jí)下·遼寧大連·期末）【問(wèn)題初探】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師和同學(xué)們共同探究平行線的作用．李老師給出如下問(wèn)題：，點(diǎn)為下方一點(diǎn)，連接，得到，試探究與的數(shù)量關(guān)系．（1）小紅的做法是：如圖2，過(guò)點(diǎn)作．（2）小明的做法是：如圖3，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的做法，寫(xiě)出證明過(guò)程．【歸納總結(jié)】（2）李老師和同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，在解決題目的過(guò)程中，都運(yùn)用了作平行線的方法，平行線起到了構(gòu)造等角的作用．為了幫助學(xué)生更好的體會(huì)平行線的作用，李老師提出了下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答．如圖4，直線，點(diǎn)在之間，點(diǎn)在下方，連．延長(zhǎng)至和的角平分線相交于點(diǎn)．探究與的數(shù)量關(guān)系；【學(xué)以致用】（3）如圖5，和的角平分線相交于點(diǎn)．作平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【答案】（1）①；②；（2）；（3）【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解答本題的關(guān)鍵．；（1）①過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出；②設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)平