北京市海淀區(qū)2019-2020學年高二上學期期末考試數(shù)學理試卷Word版含答案

1、北京市海淀區(qū)2019-2020 學年上學期期末考試高二數(shù)學理試卷本試卷共100分.考試時間90分鐘.一.選擇題：本大題共 8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .直線x y 1 = 0的斜率是D.ji A . 1B. -1C.42.方程x2y2 -4x =0表示的圓的圓心和半徑分別為A (-2,0) , 2B. (-2,0) , 4C. (2,0) , 2 D . (2,0) , 4C.m/r "/廠I _mD.m /nn_3.若兩條直線 ax 2y -1 = 0與3x - 6y -1 = 0垂直，則a的值為 ()A.4B.-4C.1D

2、.一14在空間直角坐標系中，點P(1,2, -3)關(guān)于坐標平面xOy的對稱點為()A.(-1,-2,3)B.(-1,-2,-3)C.(-1,2,-3)D.(1,2,3)5.已知三條直線 m, n,l，三個平面：, 1,，下面說法正確的是()B.心二 m/nn _ I6“直線l的方程為y =k(x-2)”是“直線l經(jīng)過點(2,0) ”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.個三棱錐的三視圖如圖所示，則三棱錐的體積為(A.B.10C.20D.25iw <s>觀圖x -y 1 _0,&實數(shù)x , y滿足x叮，若u=2xy的最小值為4

3、，則實數(shù)a等于()y -aA. -4B. -3C. -2D. 6二填空題：本大題共 6小題，每小題4分，共24分.29. 雙曲線x2 -仝=1的漸近線方程為42 210. 點P是橢圓+=1上的一點，F(xiàn)l、F2分別是橢圓的左右焦點，貝y心PF1F2的周長是 .4311. 已知命題 p : Nxa1，x22x+1>0Up 是.12. 在空間直角坐標系中，已知點A(1,0,2), B(2,1,0),C(0,a,1)，若AB丄AC，貝U實數(shù)a的值為 13 .已知點 P是圓x2 y2 =1上的動點， Q是直線l:3x，4y-10=0上的動點，則| PQ |的最小值為14 .如圖，在棱長均為 2的正

4、三棱柱 ABC-AB1G中，點M是側(cè)棱AA的中點，點P、Q分別是側(cè)面BBCC1B1、底面ABC內(nèi)的動點，且 AP平面BCM， PQ丄平面BCM，則點Q的軌跡的長度為.三解答題：本大題共 4小題，共44分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分10分)已知圓 M 過點 A(0,、3) , B(1,0) , C(3,0).(I)求圓M的方程；(n)過點(0,2)的直線I與圓M相交于D、E兩點，且DE =23，求直線I的方程.16.(本小題滿分10分)已知拋物線C : y2 =4x，過焦點F的直線I與拋物線C交于A , B兩點，定點M (5,0).(I)若直線I的斜率為1，求 AB

5、M的面積；(n)若：AMB是以M為直角頂點的直角三角形，求直線 l的方程.17.(本小題滿分12分)如圖，在底面是正三角形的三棱錐P-ABC中，D為PC的中點，PA二AB=1,PB = PC 二 2 .(I)求證：PA _平面ABC ；(n)求BD與平面ABC所成角的大小;(川)求二面角 D - AB -C的余弦值.18.(本小題滿分12分)2 2已知橢圓C:務(wù)答"(a b 0)的左、右焦點分別為 F1、F2，右頂點為A，上頂點為B , BF” a b是邊長為2的正三角形.(I)求橢圓C的標準方程及離心率；(n)是否存在過點 F2的直線l，交橢圓于兩點 P、Q，使得PA/QR，如果存

6、在，試求直線I的方程，如果不存在，請說明理由.北京市海淀區(qū)2019-2020 學年上學期期末考試高二數(shù)學理試卷參考答案閱卷須知：1. 評分參考中所注分數(shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分數(shù)2. 其它正確解法可以參照評分標準按相應(yīng)步驟給分一選擇題：本大題共 8小題，每小題4分，共32分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目 要求的.題號12345678答案ACADDABC填空題：本大題共 6小題，每小題4分，共24分.9.y - _2x10.611.x 1, x2 -2x 1 _ 012.-113.114.43三解答題：本大題共 4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.1

7、5.解：（I）設(shè)圓 M : x2 y2 Dx Ey 0,則3 + 任桿=0D=21 D F =0 二 E =0 （3分）9-3D+F=0F=-3故圓 M : x2 y2 2x _3 二 0 ,即（x 1）2 y2 二 4 （ 4 分）（n）由（I）得，M （1,0）.設(shè) N 為 DE 中點，貝U MN I , | DN | = | EN | =丄 23 = ：$3 （ 5分）2此時 |MN |_C3）2 =1. （6 分）當I的斜率不存在時，I : x =0，此時| MN |=1，符合題意 （7分）當I的斜率存在時，設(shè)丨：y二kx 2，由題意“mi （8分）.k2 13解得：k = 一 , （

8、9分）43故直線I的方程為y x 2，即3x_4y8=0 （10分）4綜上直線I的方程為x=0或3x4y8=：016解：（I）解法1：由題意F（1,0），當AB的斜率為1時，l:y=x_1 （ 1分）y2 =4x y 二x -12y _4y _4 = 0（ 2 分）（5分）設(shè) A（X1,yJ , B（X2,y2），由 > =42-4 （-4） 0（3 分）（4分）故右4y1 丁2 - -4有卜1 -丫2 丨一（yr y2）2 -4y2 =4.2有 SAMB =SAMF SBMF 專皿4 "214-2"1"®2（5 分）解法2:由題意F（1,0），當

9、AB的斜率為1時，I : y =x-1 （ 1分）丄 y2 = 4x 2二 x -6x 1=0 （2 分）y =x -12設(shè) A（X1,yJ , B（X2,y2），由厶=4 -4 （-4）0X1 + x? = 6 , AB =Xr +x? +2 = 8 （ 3 分）點M到直線AB的距離d =5-12= 2、2（4分）（n）解法1 ：易得，直線l的斜率不為零，設(shè)直線l的方程為x二my T（6分）宀取 “2_4m0x = my 1設(shè) A（Xi, yi）， B%, y2），由:-16m2 16 0，得yi y2 =4myi y-4MA MB = 0，得（論 _5）（x2 -5） y2 = 0，（7

10、分）（8 分）即（myj -4）（my2 -4） y2 = 0整理得：（m2 1）yry2 _4m（如 y2） 16 = 0此時有：（m2 1） （V）-4m （4m） 16 =0，解得 m 二 5（9分）故I的方程為x 15 y 1 或 x 二-5 y 155即 5x -、15y - 5 =0 或 5x 、15y - 5 = 0（10 分）解法2：易知直線I _x時不符合題意可設(shè)直線I的方程為y二k(x-1).Kx-1）,y2 =4x消去 y，可得 k2x2 -（2k24）x k2 =0（6分）則,;-16（k21）0.設(shè) A（Xi,yi），B（X2,y2），則4Xi X2 = 2 2 ，

11、X1X2 = 1.k（7 分）由 MA MB =0，得（xi -5）（X2 -5） yy =0,（8 分）即：x.,x2 -5（x1 x2） 25-4 xm =0，4V15即：-5（2 R 25-4。解得故 I 的方程為5x - 3y - 5 = 0或.5x3y -5 = 0 .（9分）（10 分）17.解：（I）： PA=AB=1, PB =、2 ,二 PA_AB （1 分）底面是正三角形AC = AB = 1/ pc=、2 PA_AC （2 分）/ ABAC 二 AAB, AC 二平面 ABC PA _ 平面 ABC . （3 分）(n)以A為原點,AB為x軸，AP為z軸，平面ABC中垂直

12、于AB的直線為y軸建立空間直角坐標系,2則 A（0,0,0），B（1,0,0），eg,#,。）, P（0,0,1）（4 分）所以 D,-,1） , BD -31,1） . （5分）4 42442T平面ABC的法向量為 厲=（0,0,1）, （6分）記BD與平面ABC所成的角為二，貝U! I 1sin日=cosemBD# （7 分）2二 . （ 8 分）6（川）設(shè)平面 ABD的法向量為n2 =（x, y, z）,由n? AD得:6 Ty .1z=0442（9分）由 n2 AB 得：x = 0（10 分）代入上式得，z二2令 y=2，則 z =，因而，n, (0,2,-、. 3).（11 分）21

13、記二面角D-AB-C的大小為：，則cosmcos：, n27（12 分）18.解：（I）由題意可得 a = 2, b =, /3, c = 12分）所以橢圓C的標準方程為2 2x y1,433分）（4分）(n)解法1：由(I)得,斤（-1,0） , F2（1,0） , A（2,0），設(shè) P（X1,y1）, Qgm）顯然直線I的斜率不為零，設(shè)直線l的方程為x = my T，則（5分）-2 2Fl3（my 1）2 4y-12（6分）x 二 my 1整理得：(3m24)y22此時 = 144 m 1440，故故 I 的方程為 '一 5x -2y -=0 或 '、5x 2y - .5

14、=0.(12 分)6m（7 分）3m249y1 y223m24注意到 AP 二化-2,yJ =（m% -1,yJ , FQ =區(qū) 1, y?） = （my 2）8 分）9分）若 PA/QF，則（my -1） y（my2 2） y1，即 y?二-2y1y2 二 _2y1此時由*6my1 y26m =23m24y2 二3m2412m3m2472m272 m2（3m2 4）29223_；，解得5m =4，即卄-雋(11 分)故I的方程為y 1,即."5x _2y _：,?5 二0或、5x 2y_：.j5=0 （12 分）解法 2:由（I）得 斤（-1,0） , F2（1,0） , A（2,0）.一 IpfJ|af2|直線I丄x時，一耳=1式 _弐，貝y PA/QR不成立，不符合題意. |QF2|吋2（5 分）可設(shè)直線I的方程為y二k（x-1）. （6分）y =k（x-1）,2 2工匕=1,43消去 y，可得 4k2 3 x28k2x 4k212 二 0 （ 7 分）224k -123