格林公式及應(yīng)用(2)課件

1、12Gyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān), ,一、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)內(nèi) 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .，有，有、曲線曲線的任兩條的任兩條終點(diǎn)在終點(diǎn)在在在及起點(diǎn)及起點(diǎn)、任兩點(diǎn)任兩點(diǎn)21LLBABA,3二二. 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)等價(jià)條件平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)D是單連通開區(qū)域單連通開區(qū)域 ,),(,),(yxQyxP在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線任意分段光滑閉曲線 L , 有LydQxdP0(2) 對(duì)D 中任一分段光

2、滑曲線 L , 曲線積分(3)ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyPLydQxdP與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分, 即 4(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線 L , 有LydQxdP0(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分LydQxdP與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 證明證明 (1) (2)設(shè)21, LL21LLydQxdPydQxdP1LydQxdP2LydQxdP)(21LLydQxdP0AB1L2L2LydQxdP1LydQxdP為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則5(3) 在

3、D內(nèi)是某一函數(shù) 的全微分, 即 (2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分LydQxdP與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(證明證明 (2) (3)在D內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxA因曲線積分),(),(),(yxyxydQdxPyxu00),(),(yxuyxxuux),(),(yxxyxydQdxP則),(),(yxxyxdxPxyxxP),( xuxuxx0lim),(limyxxPx 0),(yxP同理可證yu),(yxQ因此有ydQxdPud),(yxB),(00yxA。),(yxxC。和任一點(diǎn)B( x , y ) ,與路徑無(wú)關(guān) , 設(shè)

4、6(3) 在 D 內(nèi)是某一函數(shù) 的全微分, 即 ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyP證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得ydyuxdxuudydQxdP則),(, ),(yxQyuyxPxuxyuxQyxuyP22,P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)xyuyxu22從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyP7(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線 L , 有LydQxdP0(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyP設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線, 所圍區(qū)域?yàn)?DD (如圖 ), 因此在 上DxQyP利用格林公式格林公式 , 得ydxdyPxQQdy

5、PdxLD)(DDL證明證明 (4) (1)08二二. 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)等價(jià)條件平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)D是單連通開區(qū)域單連通開區(qū)域 ,),(,),(yxQyxP在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,(1) 沿 D 中任意分段光滑閉曲線任意分段光滑閉曲線 L , 有LydQxdP0(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L , 曲線積分(3)ydQxdP),(yxuydQxdPyxud),(4) 在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyPLydQxdP與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分, 即 9yx說(shuō)明說(shuō)明: 若在某區(qū)域內(nèi)有,xQyP則(2) 求曲線積分時(shí)

6、, 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,(3) 求全微分 Pdx+Qdy 在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動(dòng)點(diǎn),),(DyxydyxQxdyxPyxuyxyx),(),(),(),(),(00 xxxdyxP00),(或yyydyxQyxu00),(),(0y0 x則原函數(shù)為yyydyxQ0),(xxxdyxP0),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)(1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;101例例,)()(LyxdyyxdxyxI22計(jì)算計(jì)算的的弧弧到到從從上上是是曲曲線線其其中中),(),(0101222BAxyL解：因?yàn)?22yxyxyxP),(22yxyxyxQ),(y

7、PyxxyyxxQ222222)(),(),(00yx即不含原點(diǎn)的單連通域，積分與路徑無(wú)關(guān)。 取新路徑 的的上上半半單單位位圓圓弧弧到到為為從從),(),(*0101BAL122 yx11其參數(shù)方程為 0變到變到從從 ttytx,sin,cos）（LyxdyyxdxyxI22)(dttttttt0 cos)sin(cos)sin)(sin(cos0 dt12例例2. 驗(yàn)證ydyxxdyx22是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證證: 設(shè),yxQyxP22則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x,y) 使ydyxxdyxud22),(),(),(yxyydxxdyxyxu0022

8、。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxdx00ydyxy02ydyxy022221yx13oxy例例3. 驗(yàn)證22yxydxxdy在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù),并求出它. 證證: 令2222yxxQyxyP,則)()(022222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函數(shù)),(),(),(yxyxydxxdyyxu0122010 xd)(arctan0 xxy)0,(x)0, 1(。),(yx。), 1(yyyxydx02214oxy)0,(x)0, 1(。),(yx。), 1(y),(),(),(yxyxydxxdyyxu0122yyyd021yxyyarctanar

9、ctanarctan1yxarctan2 xyarctanxyxxdy122或15故積分路徑可取圓弧例例4. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)xyrkF,2作用下沿曲線 L :xycos2 由),(20 A移動(dòng)到, ),(02 B求力場(chǎng)所作的功W. ( 其中 )22yxr解解:dsFWL)(Lyxdxdyrk2令,22rxkQrykP則有)()(022422yxxQryxkyP曲線積分在除原點(diǎn)外的單連通開區(qū)域單連通開區(qū)域上與路徑無(wú)關(guān), :ABBAyLOx)(2yxdxdyrkWAB dk)cos(sin2022思考思考：積分路徑是否可以取 為什么？ ?OBAO):(sin,cos0222 yxk2 165例例設(shè)函

10、數(shù) 平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分 xoyyxQ在在),(LdyyxQxydx),(2與路徑無(wú)關(guān)，并且對(duì)任意t恒有 ),(),(),(),(),(),(ttdyyxQxydxdyyxQxydx10010022).,(yxQ求求解：由積分與路徑無(wú)關(guān)的條件知 xxyyxQ22)(待待定定)()(),(yCyCxyxQ217),(),(),(1002tdyyxQxydx102dyyCt)(102dyyCt)(),(),(),(tdyyxQxydx1002tdyyC01)(tdyyCt0)(tdyyCtdyyCt0102)()(兩邊對(duì)t求導(dǎo)得 1212ttCtCt)()(所所以以12 yyC)(1

11、22yxyxQ),(18內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式格林公式LQdyPdx2. 等價(jià)條件等價(jià)條件在 D 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)yPxQ在 D 內(nèi)有ydQxdPuddxdyyPxQDLQdyPdx對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線L0LQdyPdx在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則有19213311P習(xí)題)5)(3)(1 (6),3)(1 (5),2(4 , 3),3(2),1 ( 120D思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問(wèn)下列計(jì)算是否正確 ?Lyxydxxdy224) 1(lyxydxxdy224lydxxdy441o2y1x2LlDd54

12、15Lyxydxxdy22)2(lyxydxxdy22ldxyxdy41Dd2412提示:022 yx時(shí)yPxQ) 1(yPxQ)2(212. 設(shè)設(shè),56,4),(grad42234yyxxyxyxu求).,(yxu提示提示:),(yxudxdxyx)4(34ydyyx)56(422),()0 , 0(),(yxyxuCyox),(yx)0 ,(xxdxx04ydyyxy0422)56(C551x322yxCy 5xdxyx)4(34ydyyx)56(42222一一、 填填空空題題: :1 1、 設(shè)設(shè)閉閉區(qū)區(qū)域域D由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線L圍圍成成, , 函函數(shù)數(shù)),(,),(yxQy

13、xP及及在在D上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 設(shè)設(shè)D為為 平平 面面 上上 的的 一一 個(gè)個(gè) 單單 連連 通通 域域 , , 函函 數(shù)數(shù)),(,),(yxQyxP在在D內(nèi)內(nèi)有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在在D內(nèi)內(nèi)處處處處成成立立；3 3、 設(shè)設(shè)D為為由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域, ,其其面面積積為

14、為 5 5, ,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且1 xQ, ,1 yP, ,則則 LQdyPdx_ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題23二、二、 計(jì)算計(jì)算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由拋物線是由拋物線2xy 和和xy 2所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線, ,并并驗(yàn)證格林公式的正確性驗(yàn)證格林公式的正確性 . .三、三、 利用曲線積分利用曲線積分, ,求星形線求星形線taytax33sin,cos 所所圍成的圖形的面積圍成的圖形的面積 . .四、證明曲線積分四、證明曲線積分 )4,3()2, 1(2232)

15、36()6(dyxyyxdxyxy在整個(gè)在整個(gè)xoy面面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)內(nèi)與路徑無(wú)關(guān), ,并計(jì)算積分值并計(jì)算積分值 . .五、利用格林公式五、利用格林公式, ,計(jì)算下列曲線積分計(jì)算下列曲線積分: :1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(22其中其中L是在圓周是在圓周 22xxy 上由點(diǎn)上由點(diǎn)(0,0)(0,0)到點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)(1,1)的一段??；的一段??；242 2、求曲線積分、求曲線積分 AMBdyyxdxyxI221)()(和和 ANBdyyxdxyxI222)()(的差的差. .其中其中AMB是過(guò)原點(diǎn)和是過(guò)原點(diǎn)和)1,1(A, ,)6,2(B且其對(duì)稱軸垂直于且其對(duì)稱軸垂直于x軸的拋物線

16、上的弧段軸的拋物線上的弧段, , AMB是連接是連接BA ,的線段的線段 . .六、計(jì)算六、計(jì)算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的光滑閉曲為不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的光滑閉曲 線線 .( .(取逆時(shí)針?lè)较蛉∧鏁r(shí)針?lè)较? )七、驗(yàn)證七、驗(yàn)證yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在整在整個(gè)個(gè)xoy平面內(nèi)是某一函數(shù)平面內(nèi)是某一函數(shù)),(yxu的全微分的全微分, ,并求這并求這樣一個(gè)樣一個(gè)),(yxu. .25八八、試試確確定定 , ,使使得得dyryxdxryx 22 是是某某個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)),(yxu的的全全微微分分, ,其其中中22yxr , ,并并求求),(yxu. .九九、設(shè)設(shè)在在半半平平面面0 x內(nèi)內(nèi)有有力力)(3jyixrkF 構(gòu)構(gòu)成成力力場(chǎng)場(chǎng), ,其其中中k為為常常數(shù)數(shù), , 22yxr . .證證明明在在此此力力場(chǎng)場(chǎng)中中場(chǎng)場(chǎng)力力所所作作的的功功與與所所取取的的路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān) . .26練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、 LdyQPdx； 2 2、xQyp ； 3 3、10.10.三、三、301. . 四、