空間直線及其方程(19)課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程二、空間直線的對稱式方程二、空間直線的對稱式方程 和參數(shù)式方程和參數(shù)式方程三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程xyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于一如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為條已知直

2、線，這個(gè)向量稱為這條直線的這條直線的方向向量方向向量sL, ,sm n p 記記為為（）. .二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程 直線的任一方向向量的三個(gè)坐標(biāo)直線的任一方向向量的三個(gè)坐標(biāo)m,n,pm,n,p叫叫做該直線的一組做該直線的一組方向數(shù)方向數(shù). .方向向量的余弦稱為直線的方向向量的余弦稱為直線的方向余弦方向余弦. .pzznyymxx000 直線的直線的對稱對稱式方程式方程sMM0/即即0000(,),Mxyz設(shè)設(shè)( , , ),M x y zL 0000,M Mxxyy zz （）有有且且xyzosLM, ,sm n p （）. .0M建立直線方程建立直線方程或或點(diǎn)向式點(diǎn)向式方程方程

3、2,0 xy 25002xyz說明說明:在直線方程中某些分母為零時(shí)在直線方程中某些分母為零時(shí), 其分子也其分子也即平行于即平行于z軸的直線軸的直線25032xyz表示表示5322yzx 即平行于即平行于yOz面（在平面面（在平面x=2上）的直線上）的直線.理解為零理解為零.例如例如表示表示而而tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程則則pzznyymxx000 點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程解解故可取直線的方向向量故可取直線的方向向量因此所求直線方程為因此所求直線方程為234.4-13xyz)4 , 3, 2( A例例1 一直線過點(diǎn)一直線過點(diǎn)，且與直線

4、，且與直線平行，求其方程平行，求其方程. .依題意依題意, ,所求直線與已知直線平行所求直線與已知直線平行, ,1(4 -1 3)s ，已知直線的方向向量為已知直線的方向向量為1(4, 1, 3),ss 124-13xyz 例例2 2 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線：用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線：.043201 zyxzyx解解 在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱

5、式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx312111 kji1L2L定義定義直線直線:1L1111(,)sm np 直線直線:2L121212cos(,)ssL Lss 兩直線的方向向量的夾角兩直線的方向向量的夾角（銳角）（銳角）稱為稱為則兩直線的則兩直線的夾角公式：夾角公式：三、兩直線的夾角兩直線的夾角兩直線的夾角. .121212222222111222|m mn np pmnpmnp 2222(,)sm np 1s2s 兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L

6、直線直線:2L1(1, 4,0),s 2(0,0,1),s , 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為(, ,),sm n p 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ( 4, 3, 1), .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程定義定義 直線和它在平面上的投影直線的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx(, ,),sm n p ( ,),nA B C ( , )2s n 由由圖圖知知四、直線與平面的夾角(0)2 稱為稱為直線與平面的夾角直線與平面的夾

7、角ns222222|AmBnCpABCmnp 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAmsincos( , )s n ( , )2s n sinsnsn 解解 取已知平面的法向量取已知平面的法向量124231xyz 則直線的對稱式方程為則直線的對稱式方程為2340 xyz 垂直的直線方程垂直的直線方程. . 為所求直線的方向向量為所求直線的方向向量. . (2,3,1)n n例例4 4 求過點(diǎn)求過點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面且與平面解解(1, 1,2),n (2, 1,2),s 222222|si

8、npnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角解解 先作一過點(diǎn)先作一過點(diǎn)MM且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N N, ,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 , ,73 t交點(diǎn)交點(diǎn))73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN2133(2,1,3)777 12 624(,),777 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx一、空間直線方程一、空間直線方程

9、一般式一般式對稱式對稱式參數(shù)式參數(shù)式1111222200A xB yC zDA xB yC zD 000 xxmtyyntzzpt 000 xxyyzzmnp 222(0)mnp 小結(jié)1111111,xxyyzzLmnp ：直線直線1212120m mn np p2222222,xxyyzzLmnp ：111222mnpmnp 二、線與線的關(guān)系二、線與線的關(guān)系直線直線夾角公式夾角公式: :1111(,)smnp 2222(,)smnp 120ss 12LL 12/LL120ss 1212cosssss 0,AxByCzD mnpABC平面平面 :L L / 夾角公式：夾角公式：0m AnBpC sin ,xxyyzzmnp三、面與線間的關(guān)系三、面與線間的關(guān)系直線直線 L :(,)nA B C (, , )sm n p 0sn 0s