高中線性規(guī)劃練習(xí)(含詳細(xì)解答)

1、線性規(guī)劃練習(xí)1. “截距”型考題在線性約束條件下，求形如的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，通常轉(zhuǎn)化為求直線在軸上的截距的取值. 結(jié)合圖形易知，目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得.掌握此規(guī)律可以有效避免因畫圖太草而造成的視覺誤差.1.【2012年高考·廣東卷 理5】已知變量滿足約束條件，則的最大值為( ) 2. (2012年高考·遼寧卷 理8)設(shè)變量滿足，則的最大值為A20 B35 C45 D553.(2012年高考·全國大綱卷 理13) 若滿足約束條件，則的最小值為 。4.【2012年高考·陜西卷 理14】 設(shè)函數(shù)，是由軸和曲線及該曲線在點(diǎn)處的切線所圍成的封

2、閉區(qū)域，則在上的最大值為 5.【2012年高考·江西卷 理8】某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計(jì)，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入 總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（ ）A50，0 B30，20 C20，30 D0，506. (2012年高考·四川卷 理9 ) 某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品. 已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1

3、千克. 每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元. 公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克. 通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元7. (2012年高考·安徽卷 理11) 若滿足約束條件：；則的取值范圍為.8(2012年高考·山東卷 理5)的約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=3xy的取值范圍是 A ，6B，1 C1，6 D6， 9(2012年高考·新課標(biāo)卷 理14) 設(shè)滿足約束條件：；則的取值范圍為 .2 . “距離”型考題10

4、.【2010年高考·福建卷 理8】 設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是,平面區(qū)域是與關(guān)于直線對(duì)稱,對(duì)于中的任意一點(diǎn)A與中的任意一點(diǎn)B, 的最小值等于( )A. B.4 C. D.211.( 2012年高考·北京卷 理2) 設(shè)不等式組，表示平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是A B C D 3. “斜率”型考題12.【2008年高考·福建卷 理8】 若實(shí)數(shù)x、y滿足則的取值范圍是 （ ）A.(0,1) B. C.(1,+) D.13.（2012年高考·江蘇卷 14）已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是 4. “平面區(qū)域的面積”型考題

5、14.【2012年高考·重慶卷 理10】設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為A B C D 15.（2007年高考·江蘇卷 理10）在平面直角坐標(biāo)系，已知平面區(qū)域且，則平面區(qū)域的面積為 （ ）A B C D16.（2008年高考·安徽卷 理15） 若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為 .17.（2009年高考·安徽卷 理7） 若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是（A） （B） （C） （D） 高18.（2008年高考·浙江卷 理17）若，且當(dāng)時(shí)，恒有，則以,b為坐標(biāo)點(diǎn)所

6、形成的平面區(qū)域的面積等于_.5. “求約束條件中的參數(shù)”型考題規(guī)律方法：當(dāng)參數(shù)在線性規(guī)劃問題的約束條件中時(shí)，作可行域，要注意應(yīng)用“過定點(diǎn)的直線系”知識(shí)，使直線“初步穩(wěn)定”，再結(jié)合題中的條件進(jìn)行全方面分析才能準(zhǔn)確獲得答案.19.（2009年高考·福建卷 文9）在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為A. 5 B. 1 C. 2 D. 3 20.【2012年高考·福建卷 理9】若直線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）A B1 C D221.（2008年高考·山東卷 理12）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，使函?shù)的

7、圖象過區(qū)域的的取值范圍是（ ）A1，3 B2， C2，9 D，922.（2010年高考·北京卷 理7）設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a 的取值范圍是 A (1，3 B 2，3 C (1，2 D 3， 23.（2007年高考·浙江卷 理17）設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的取值范圍是_.24.（2010年高考·浙江卷 理7） 若實(shí)數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9，則實(shí)數(shù)（ ）A B C 1 D 26. “求目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)”型考題規(guī)律方法：目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)問題的意義，轉(zhuǎn)化成“直線的斜率”、“點(diǎn)到直線的距離”等模型進(jìn)行討論與研究

8、.25.（2009年高考·陜西卷 理11）若x，y滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是 （ ）A（，2） B（，2） C D 26.（2011年高考·湖南卷 理7）設(shè)m>1，在約束條件目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為A B C（1，3） D7. 其它型考題27. （2009年高考·山東卷 理12） 設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù) 的值是最大值為12，則的最小值為（ ） A. B. C. D. 428. （2010年高考·安徽卷 理13）設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù) 的最大值為8，則的最小值為_.

9、線性規(guī)劃問題 答案解析1. “截距”型考題在線性約束條件下，求形如的線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，通常轉(zhuǎn)化為求直線在軸上的截距的取值. 結(jié)合圖形易知，目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得.掌握此規(guī)律可以有效避免因畫圖太草而造成的視覺誤差.1、選 【解析】約束條件對(duì)應(yīng)內(nèi)的區(qū)域(含邊界)，其中 畫出可行域，結(jié)合圖形和z的幾何意義易得2、選D； 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，的最大值為55，故選D.3、答案：【解析】利用不等式組，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)最小為.4、答案2； 【解析】當(dāng)x > 0時(shí)，曲線在點(diǎn)處

10、的切線為，則根據(jù)題意可畫出可行域D如右圖： 目標(biāo)函數(shù)， 當(dāng)，時(shí)，z取得最大值25、選B；【解析】本題考查線性規(guī)劃知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)學(xué)建模的思想方法以及實(shí)踐能力. 設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x、y畝，總利潤為z萬元， 則目標(biāo)函數(shù)為 . 線性約束條件為 即 作出不等式組表示的可行域, 易求得點(diǎn). 平移直線，可知當(dāng)直線，經(jīng)過點(diǎn)，即時(shí) z取得最大值，且（萬元）. 故選B.點(diǎn)評(píng)：解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為：(1)審題仔細(xì)閱讀，明確有哪些限制條件，目標(biāo)函數(shù)是什么？(2)轉(zhuǎn)化設(shè)元寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù);(3)求解關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)

11、系；(4)作答就應(yīng)用題提出的問題作出回答6、答案C 【解析】 設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶，乙種產(chǎn)品Y桶，公司共可獲得利潤為Z元/天，則由已知，得 Z=300X+400Y，且 ，畫可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)Z=300X+400Y可變形為Y=這是隨Z變化的一族平行直線，解方程組 ， ，即A（4,4） 7、答案； 【解析】約束條件對(duì)應(yīng)內(nèi)的區(qū)域(含邊界)，其中，畫出可行域，結(jié)合圖形和t的幾何意義易得8、選A； 【解析】 作出可行域和直線：，將直線平移至點(diǎn)處有最大值，點(diǎn)處有最小值，即. 應(yīng)選A.9、答案3，3；【解析】約束條件對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)樗倪呅蝺?nèi)及邊界，其中，則2 . “距離”型考題10、選B ；【命題意圖

12、】本題考查不等式中的線性規(guī)劃以及兩個(gè)圖形間最小距離的求解、基本公式（點(diǎn)到直線的距離公式等）的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。【解析】由題意知，所求的的最小值，即為區(qū)域中的點(diǎn)到直線的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點(diǎn)（1，1）到直線的距離最小，故的最小值為，所以選B。評(píng)注：在線性約束條件下，求分別在關(guān)于一直線對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的兩點(diǎn)距離的最值問題，通常轉(zhuǎn)化為求其中一點(diǎn)(x，y)到對(duì)稱軸的距離的的最值問題。結(jié)合圖形易知，可行域的頂點(diǎn)及可行域邊界線上的點(diǎn)是求距離最值的關(guān)鍵點(diǎn).11、選D；【解析】題目中表示的區(qū)域?yàn)檎叫危鐖D所示，而動(dòng)點(diǎn)M可 以存在的位置為正方形面積減去四

13、分之一圓的面積部分，因此 ，故選D.3. “斜率”型考題12、選C；【解析】如圖，陰影部分為不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，表示平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)之間連線的斜率，由圖易知，選C.評(píng)注：在線性約束條件下，對(duì)于形如的目標(biāo)函數(shù)的取值問題，通常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)、之間連線斜率的取值. 結(jié)合圖形易知，可行域的頂點(diǎn)是求解斜率取值問題的關(guān)鍵點(diǎn). 在本題中，要合理運(yùn)用極限思想，判定的最小值無限趨近于1.13、答案；【解析】條件可化為：. 設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍.作出（）所在平面區(qū)域（如圖），求出的切線的斜率，設(shè)過切點(diǎn)的切線為， 則，要使它最小，須.的最小值在處，為. 此時(shí)，點(diǎn)在上之間. 當(dāng)（）對(duì)應(yīng)點(diǎn)時(shí)，

14、 ，的最大值在處，最大值為7. 的取值范圍為， 即的取值范圍是4. “平面區(qū)域的面積”型考題14、選；【解析】由對(duì)稱性：圍成的面積與圍成的面積相等，得：所表示的平面圖形的面積為圍成的面積既15、選B；【解析】令，則，代入集合A，易得，其所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分，則平面區(qū)域的面積為×2×11，選B.評(píng)注：本題涉及雙重約束條件，解題的關(guān)鍵是采用換元的思想去尋求平面區(qū)域所對(duì)應(yīng)的約束條件，從而準(zhǔn)確畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.16、答案；【解析】如圖，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域，其中： .當(dāng)從2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線掃過的平面區(qū)域即為與之間的平面區(qū)域，則動(dòng)直線掃過中的那部分平面區(qū)域

15、的面積即為四邊形的面積，由圖易知，其面積為：.評(píng)注：本題所求平面區(qū)域即為題設(shè)平面區(qū)域A與動(dòng)直線在從2連續(xù)變化到1時(shí)掃過的平面區(qū)域之間的公共區(qū)域，理解題意，準(zhǔn)確畫圖是解題的關(guān)鍵.AxDyCOy=kx+17、選A； 【解析】不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）ABC=，設(shè)與的交點(diǎn)為D，則由知， ，選A. 18、答案1；【解析】如圖，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域， 要使得恒有成立，只須平面區(qū)域頂點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式，易得所以所形成的平面區(qū)域的面積等于1.評(píng)注：本題是線性規(guī)劃背景下的不等式恒成立問題，只須考慮可行域的頂點(diǎn)即可. 作為該試卷客觀題的最

16、后一題，熟悉的題面有效避免了學(xué)生恐懼心理的產(chǎn)生，但這并不等于降低了對(duì)數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想方法的考查，真可謂簡約而不簡單.5. “求約束條件中的參數(shù)”型考題19、選D；【解析】 作出不等式組所圍成的平面區(qū)域. 如圖所示，由題意可知，公共區(qū)域的面積為2；|AC|=4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，4）代入得a=3，故選D. 點(diǎn)評(píng)：該題在作可行域時(shí)，若能抓住直線方程中含有參數(shù)a這個(gè)特征，迅速與“直線系”產(chǎn)生聯(lián)系，就會(huì)明確可變形為的形式，則此直線必過定點(diǎn)(0，1)；此時(shí)可行域的“大致”情況就可以限定，再借助于題中的其它條件，就可輕松獲解. 20、選B；分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為含參的線性規(guī)劃，需要畫出可行域的圖形，含

17、參的直線要能畫出大致圖像. 解答：可行域如圖：所以，若直線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則，即。評(píng)注：題設(shè)不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域隨參數(shù)m的變化而變化，先局部后整體是突破的關(guān)鍵.21、選C；【解析】區(qū)域是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖）,其中，使函數(shù)的圖象過區(qū)域,由圖易知，只須區(qū)域M的頂點(diǎn)不位于函數(shù)圖象的同側(cè)，即不等式(a0，a1)恒成立，即評(píng)注：首先要準(zhǔn)確畫出圖形；其次要能結(jié)合圖形對(duì)題意進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；最后要能正確使用“同側(cè)同號(hào)、異側(cè)異號(hào)”的規(guī)律.22、選A；【解析】這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問題，作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)的圖象，能夠看出，當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點(diǎn)（2，9）時(shí)，a可以取到最大值3，而

18、顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn). 23、答案；【解析】 如圖10，直線，由題意，要使得不等式組表示的區(qū)域包含在圓的內(nèi)部，則直線應(yīng)位于直線與軸之間（包括直線及軸），即，所以的取值范圍是.評(píng)注：由集合之間的包含關(guān)系到對(duì)應(yīng)平面區(qū)域之間的包含關(guān)系是解決本題的第一突破口；另外，在直線的旋轉(zhuǎn)變化中，確定關(guān)鍵的兩個(gè)特殊位置、軸是解決本題第二突破口，這對(duì)考生的想象能力、數(shù)形結(jié)合能力都提出了非常高的要求.24、選C；【思路點(diǎn)撥】畫出平面區(qū)域，利用的最大值為9，確定區(qū)域的邊界【規(guī)范解答】選C令，則，z表示斜率為-1的直線在y軸上的截距當(dāng)z最大值為9時(shí)， 過點(diǎn)A，因此過點(diǎn)A，所以6. “求目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)”型考題25、選B；【解析】如圖，陰影部分ABC為題設(shè)約束條件所對(duì)應(yīng)的可行域，其中A(1，0)，法一：，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線，直線的斜率為，