初中數(shù)學(xué)整式與規(guī)律探索(含解析)

1、初中數(shù)學(xué)整式與規(guī)律探索考試要求:內(nèi)容基本要求略高要求較高要求I代數(shù)式了解代數(shù)式的值槪念會(huì)求代數(shù)式的值，能根據(jù)代數(shù)式 的值或特征，推斷這些代數(shù)式反 映的規(guī)律能根據(jù)特定的問(wèn) 題所提供的資料， 合理選用知識(shí)和方法， 通過(guò)代數(shù)式的適 兒變形求代數(shù)式 的值.整式有關(guān)概念了解整式及其有關(guān)概念整式的加減運(yùn) 算理解整式加減運(yùn)算法則會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)訊的整式加減運(yùn)算能用整式的加減 運(yùn)算對(duì)女項(xiàng)式進(jìn) 行變型'進(jìn)一步解 決有關(guān)問(wèn)題.重難點(diǎn):1. 能根據(jù)圖，表，數(shù)，式中的排列特征，探究期中蘊(yùn)藏的數(shù)式規(guī)律課前預(yù)習(xí)：徳國(guó)著名大科學(xué)家高斯（17771855）出生在一個(gè)貧窮的家庭.高斯在還不會(huì)講話就自己 學(xué)計(jì)算，在三歲時(shí)有一天晚

2、上他看著父親在算工錢時(shí)，還糾正父親計(jì)算的錯(cuò)誤.長(zhǎng)大后他成為當(dāng)代最杰出的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他在物理的電磁學(xué)方而有一些貢獻(xiàn)，現(xiàn)在電 磁學(xué)的一個(gè)單位就是用他的名字命名。數(shù)學(xué)家們則稱呼他為“數(shù)學(xué)王子” 他八歲時(shí)進(jìn)入鄉(xiāng)村小學(xué)讀書。教數(shù)學(xué)的老師是一個(gè)從城里來(lái)的人，覺(jué)得在一個(gè)窮鄉(xiāng)僻壤教幾 個(gè)小糊那讀書，真是大材小用。而他又有些偏見(jiàn)：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的 孩子念書不必認(rèn)真，如果有機(jī)會(huì)還應(yīng)該處罰他們，使自己在這枯燥的生活里添一些樂(lè)趣. 這一天正是數(shù)學(xué)教師情緒低落的一天。同學(xué)們看到老師那抑郁的臉孔，心里畏縮起來(lái)，知道 老師又會(huì)在今天捉這些學(xué)生處罰了.“你們今天替我算從1加2加3 直到100的和.誰(shuí)

3、算不出來(lái)就罰他不能回家吃午飯。”老 師講了這句話后就一言不發(fā)的拿起一本小說(shuō)坐在椅子上看去了.教室里的小朋友們拿起石板開(kāi)始計(jì)算：“1加2等于3, 3加3等于6, 6加4等于10” 一些小朋友加到一個(gè)數(shù)后就擦掉石板上的結(jié)果，再加下去，數(shù)越來(lái)越大，很不好.。有些孩 子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗來(lái).還不到半個(gè)小時(shí)，小高斯拿起了他的石板走上前去“老師，答案是不是這樣？ ”老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說(shuō)：“去，回去再算！錯(cuò)了?！彼氩豢赡苓@么快就會(huì)有 答案了.可是髙斯卻站著不動(dòng)，把石板伸向老師而前：“老師！我想這個(gè)答案是對(duì)的”數(shù)學(xué)老師本來(lái)想怒吼起來(lái)，可是一看石板上整整齊齊寫了這樣的數(shù)：505

4、0,他驚奇起來(lái)，因 為他自己曾經(jīng)算過(guò)，得到的數(shù)也是5050,這個(gè)8歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個(gè)數(shù)值呢？ 髙斯解釋他發(fā)現(xiàn)的一個(gè)方法，這個(gè)方法就是古時(shí)希臘人和中國(guó)人用來(lái)計(jì)算級(jí)數(shù)l+2+3+-+n 的方法。髙斯的發(fā)現(xiàn)使老師覺(jué)得羞愧，覺(jué)得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點(diǎn)是 不對(duì)的。他以后也認(rèn)真教起書來(lái)，并且還常從城里買些數(shù)學(xué)書自己進(jìn)修并借給髙斯看。在他 的鼓勵(lì)下，高斯以后便在數(shù)學(xué)上作了一些重要的研究了例題精講：模塊一規(guī)律探索在解數(shù)學(xué)題時(shí)，往往從特殊的，簡(jiǎn)單的，局部的事例出發(fā)，探求一般的規(guī)律：或者從現(xiàn) 有的結(jié)論，信息，通過(guò)觀察，類比，聯(lián)想，進(jìn)而猜想未知領(lǐng)域的奧秘，這種思想方法叫歸納 猜想.歸納

5、猜想是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的最基本而又十分重要的方法它能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象 問(wèn)題具體化，是探索解題思路的有效方法，也是科學(xué)發(fā)展史上的一種重要的方法.注釋：歸納猜想是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，解題中觀察活動(dòng)主要有三條途徑：1. 從數(shù)與式的特征觀察：2. 從幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察：3. 通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單，特殊情況的觀察，再推廣到一般情況.規(guī)律類的中考試題，無(wú)論在素材的選取、文字的表述、題型的設(shè)計(jì)等方而都別具一格，令人 耳目一新，其目的是繼續(xù)考察學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，在往年"數(shù)字類"、"計(jì)算類”、"圖 形類"的基礎(chǔ)上，今年又推陳出新，增加了"設(shè)

6、計(jì)類”與"動(dòng)態(tài)類”兩種新題型，現(xiàn)將今年中考 規(guī)律類中考試題分析如下：一、 設(shè)計(jì)類【例1】將連續(xù)的自然數(shù)1至36按如圖的方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形陣列，用一個(gè)長(zhǎng)方形任意圈 出其中的9個(gè)數(shù)，設(shè)圈岀的9個(gè)數(shù)的中心的數(shù)為“，用含有"的代數(shù)式表示這9個(gè) 數(shù)的和為【難度】1星61218243036【解析】解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察圖形，找數(shù)字之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用 代數(shù)式的規(guī)律命題是近年來(lái)代數(shù)式命題的熱點(diǎn).本題主要考察列代數(shù)式，尋找長(zhǎng)方形中9個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系，若中心數(shù)為a,則a上方的數(shù)可記為“-6,下方的數(shù)記為a + 6,左邊的數(shù)記為“-1 ,右邊的數(shù)記為“ + 1 ,左上方的數(shù)

7、記為“-7,右上方的數(shù)記為“-5,左下方的數(shù)記為“ + 5,右下方的數(shù) 記為a + 1 ,所以這九個(gè)數(shù)相加的和為9a【答案】9a【例2】觀察算式：1 = 12;1 + 3 = 22;1 + 3 + 5 = 32;1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42;1 + 3 + 5 + 7+9 = 25 = 5?用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律（n為正整數(shù)）1 + 3 + 5 + 7 + 9 + （2舁-1）二 【難度】1星【解析】用代數(shù)式表示數(shù)的規(guī)律，要認(rèn)真觀察特例，然后有特殊得到一般規(guī)律，特別注意卄的表示意義認(rèn)真觀察已知等式的數(shù)字變化規(guī)律，左邊為從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的和 右邊為數(shù)字個(gè)數(shù)的平方.【答案】,r【

8、例3】某體療館用大小相同的長(zhǎng)方形木塊鑲嵌地而.第1次鋪2塊，如圖（1）：第2次把第1次鋪的完全圍起來(lái)，如圖（2）所示：第3次把第2次鋪的完全I(xiàn)羽起來(lái)，如圖（3）依此方法，第舁次鋪完后，用字母表示第次鑲嵌所使用的木塊數(shù)為【難度】1星 【解析】由圖可知，可列表次 數(shù)123 木 塊 數(shù)71018 由上表發(fā)現(xiàn)，后面每次鑲嵌的木塊祁比前一次增加8塊,即第次鑲嵌木塊數(shù)為2 + 8(n-l) = 8n + 6 (塊)觀察因形變化可找規(guī)律，從表格中數(shù)量變化也可尋找規(guī)律, 因此可以從“數(shù)” “形”兩方面解 決此類問(wèn)題。【答案】8«+6【例4】如圖所示，下列每個(gè)圖形都是由若干枚棋子圉成的正方形圖案，圖案

9、的每條邊(包括兩個(gè)頂點(diǎn))上都有“ («>2)枚棋子，每個(gè)圖案中棋子總數(shù)為"則s與“之間的關(guān)系可以表示為(1) (2)(3)(4)【難度】1星【解析】由圖(1)可知，n = 29s = 4：由圖(2)可知，h = 3,5 = 4 + 4 = 4x2 :由圖可知，畀= 4,s = 4 + 4 + 4 = 4x3;由圖可知， = 5,s = 4 + 4 + 4 + 4 = 4x4, A s 與"之間的關(guān)系可用式子 5 = 4(/?-!)表示【答案】5 = 4(-1)1.如圖（1）所示的是一個(gè)三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖（2）,再分別連 接圖（2）中間

10、的小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖（3）,按此方法繼續(xù)連接，請(qǐng)你根據(jù)每個(gè) 圖中三角形的個(gè)數(shù)的規(guī)律完成下列問(wèn)題.（1）將下表填寫完整:圖形編號(hào)(1)(2)(3)(4)(5)三角形個(gè)數(shù)159（2）在第“個(gè)圖形中有個(gè)三角形.（用含川的式子表示）【難度】1星【解析】略.【答案】(1)13,17(2)432. （09梅州市）如圖，每一幅圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)，第2幅 圖中有3個(gè)，第3幅圖中有5個(gè)，則第4幅圖中有個(gè)，第“幅圖中共有個(gè).<3>' O第i幅 第2幅 第3幅第門幅【難度】2星【解析】略【答案】7, 2,7-13. （2007湖南湘潭）為慶祝“六一”兒童節(jié)，某幼

11、兒園舉行用火柴棒擺“金魚(yú)”比賽.如圖所示： 按照上而的規(guī)律，擺”個(gè)“金魚(yú)”需用火柴棒的根數(shù)為（）A. 2 + 6/2B. 8 + 6料C. 4+4” D 8/z【難度】1星【解析】由圖知，一個(gè)金魚(yú)要8根火柴，兩個(gè)金魚(yú)要14根火柴，三條金魚(yú)要20根火柴，以此類推彼此差6所以"個(gè)金魚(yú)要2 + 6根火柴【答案】A4. （2007廣西河池非課改）填在下而三個(gè)出字格內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，C3ZJ3HZH1【難度】2星【解析】觀察法知，四方框左上角的數(shù)成1,3,5,7加-1排列,右上角的數(shù)成3,5,7,92/卄1排列，左下角的數(shù)成5,7,9加+ 2排列.那么右下角的數(shù)是四方框第一行兩個(gè)

12、數(shù)的 和與左下角數(shù)的乘積所以A = 7” = 91 = （5 + 7）x9 = 108【答案】1085. （09梧州市）圖（3）是用火柴棍擺成的邊長(zhǎng)分別是1, 2, 3根火柴棍時(shí)的正方形當(dāng)邊長(zhǎng)為根火柴棍時(shí)，設(shè)擺岀的正方形所用的火柴棍的根數(shù)為則5=（用卄的代數(shù)式表示s）【難度】2星【解析】觀察法，由圖知邊長(zhǎng)為1的正方形要火柴4根,邊長(zhǎng)為2的正方形要火柴12根，邊長(zhǎng)為3的正方形要火柴24根，以此類推答案是2舁（ + 1）【答案】2n（n + ）二、數(shù)字類【例5】按照規(guī)律填上所缺的單項(xiàng)式并回答問(wèn)題："、-2a2. 3/、-4a4, （2）試寫出第2007個(gè)和第2008個(gè)單項(xiàng)式（3）試寫岀第

13、n個(gè)單項(xiàng)式【難度】1星【解析】略【答案】（1）5/ , -6a6（2）2007（嚴(yán)"，-2OO&/008（3）（-1）心,才【例6】觀察下列順次排列的等式：1x3 = 3 = 22-1,3x5 = 15 = 42-1,5x7 = 35 = 62-1,7x9 = 63 = 82-1-.,猜 想：第n個(gè)等式（n為正整數(shù)）應(yīng)為【難度】1星【解析】觀察法解此題根據(jù)前面的式子知第一項(xiàng)與第二項(xiàng)的乘積等于他們中間項(xiàng)的平方減1 所以答案是（2-l）x（2n +1） =（2n）2 -1【答案】（2-l）x（2“ + l） =（2"）'-l【例7】第3頁(yè)寫3、4. 5,，依此規(guī)

14、則，即第“頁(yè)從"開(kāi)始，寫刃個(gè)連續(xù)正整數(shù).求他 第一次寫出數(shù)字1000是在第幾頁(yè)？（）A. 500B. 501C. 999D.1000【難度】2星【解析】第1頁(yè)1第2頁(yè)2. 3 第3頁(yè)3、4、5第 4 頁(yè) 4、5、6、7第頁(yè)' 而禪麗 '則第500頁(yè)開(kāi)始.從500寫到500+ (500-1) =999第 501 頁(yè)開(kāi)始，從 501 寫到 501+ (501-1) =1001數(shù)字1000在第501頁(yè)第一次出現(xiàn). 故選擇B.【答案】B總結(jié)：本題主要考查通過(guò)分析各頁(yè)寫的數(shù)的變化歸納總結(jié)規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于找到每一頁(yè)上所寫的數(shù)是從幾到幾變化的6. 已知-x2 = - + 2 2

15、x3 = - + 3,-x4 = - + 4若-xl0 = - + 10 （a, b都是正整112233b h數(shù)），則a+b的最小值是【難度】1星【解析】通過(guò)觀察已有的三個(gè)等式，其左邊的一個(gè)因式的分母比分子小1,另一個(gè)因式就是 第一個(gè)因式的分子；而右邊的兩個(gè)加數(shù)又分別為左邊的兩個(gè)因數(shù)。通過(guò)觀察知滿足 條件的“ =10, b = 9°所以應(yīng)填19【答案】19【變形】已知：2 + - = 22x-, 3 + - = 32x-, 4 + = 42x, 5 + = 52x, 338815152424若10 + - = 102x-符合前而式子的規(guī)律，則a+b的值為aaA. 179B. 140C

16、 109D 210【難度】2星【解析】略【答案】C7. （2007四川自貢）一個(gè)叫巴爾末的中學(xué)教師成功地從光譜數(shù)據(jù);，歲，字，學(xué)，5122132中得到巴爾末公 式，從而打開(kāi)了光譜奧秘的大門，請(qǐng)你按照這種規(guī)律，寫出第"（n>1）個(gè)數(shù)據(jù)是【難度】2星【解析】每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子之間都是成 n 且"為正整數(shù)排列，且每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母 差4,所以答案是或平）2n（n + 4） 仇 + 2）4【答案】竺空或2 +享n(n + 4)(” + 2)- -4&（09崇文）一組按規(guī)律排列的數(shù)：2, 0, 4, 0, 6, 0,，其中第7個(gè)數(shù)是第"個(gè)數(shù)是（ H為正整數(shù)）.【

17、難度】2星【解析】觀察法，數(shù)字規(guī)律按奇偶分開(kāi)，偶數(shù)位的都是0,奇數(shù)位成偶數(shù)排列，所以答案是8、2n "是奇數(shù)【答案】"是奇數(shù)3=4-15=9-47 = 16-99=25-1611 = 36-259.觀察下列等式:第一行 第二行 第三行 第四行 第五行按照上述規(guī)律，第n行的等式為【難度】1星【解析】等式左邊是成奇數(shù)排列，右邊是比這個(gè)奇數(shù)小兩位的那兩數(shù)的平方差，所以答案是2/J + 1 =（ + ）' -n2【答案】2 + 1=（舁+ 1-用10 下而是一個(gè)三角形數(shù)陣：1-一第1行23 -第 2 行456-第 3 行78910-一第4行根據(jù)該數(shù)陣的規(guī)律，第8行第2個(gè)數(shù)是

18、 【難度】2星【解析】由圖知每行的數(shù)的個(gè)數(shù)與行數(shù)是相同的，所以每行最后一個(gè)數(shù)是詢面行數(shù)數(shù)的和，到 第7行的置后一個(gè)數(shù)應(yīng)該是2&故答案是30.【答案】3011. (2007山東威海)觀察下列等式：39x41 =402-!2 , 48x52 = 50222, 56x64 = 60?-軍，65x75 = 702-52 , 83x97 = 9027?諳你把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母表示岀來(lái)：加“=【難度】2星 【解析】觀察法知，前面兩個(gè)數(shù)的乘積等于他兩數(shù)的和的平均的平方減去這兩個(gè)數(shù)差得平均2f m-ny1 2丿< 2丿的平方所以答案是(m + ny/Xm - nI 2 )< 2 )【答案】模

19、塊二新型題【例8】(2007湖北潛江)根據(jù)下列圖形的排列規(guī)律，第2008個(gè)圖形是(填序號(hào)即可).(丫：支：T :歩.)t Y T t t Y 1 t T I 歩 【難度】1星【解析】觀察法看圖知選【答案】【例9】定義一種新運(yùn)算:ah = -a-b,那么4*(-1)二2 【難度】1星【解析】根據(jù)題意可知，該運(yùn)算是“的一半與b的差【答案】312現(xiàn)泄義一種新運(yùn)算：,對(duì)于任意整數(shù)a、b,有a*b=a+b-l,求4* (6*8) (3*5)的值【難度】1星【解析】"b=a+blA4* (6*8) (3*5)=4* (6+8-1) (3+5-1)=4* (13*7)=4二(13+7-1)=421

20、9=4+19-1=22【答案】2213.用“攵”、“X”泄義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a, b,都有 a%b二a 和 aXb二b,例如3沁二3, 3天"2二2則（2010攵2009） * （2007*2008）的值是【難度】1星【解析】：（20102009）伙 （2007-2008）,=2010 沁008,=2010.故答案為2010【答案】2010課堂檢測(cè):【練習(xí)1】（2011-重慶）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一左的規(guī)律組成，其中， 第個(gè)圖形中一共有1個(gè)平行四邊形，第個(gè)圖形中一共有5個(gè)平行四邊形，第個(gè)圖形中 一共有11個(gè)平行四邊形，則第個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）用陽(yáng)陽(yáng)A.5

21、5B.42C.41D.49【難度】1星【解析】:圖平行四邊形有5個(gè)=1 + 2 + 2,圖平行四邊形有11個(gè)=1 + 2 + 3 + 2 + 3,圖平行四邊形有19個(gè)=1 + 2 + 3+4+2 + 3 + 4,圖的平行四邊形的個(gè)數(shù)為1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 41. 故選C.【答案】C【練習(xí)2】（2011日照）觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2011應(yīng)標(biāo)在（）A、第502個(gè)正方形的左下角B、第502個(gè)正方形的右下角C、第503個(gè)正方形的左上角D、第503個(gè)正方形的右下角【難度】2星【解析】通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：正方形的左下角是4

22、的倍數(shù)，左上角是4的倍數(shù)余3,右下角是4 的倍數(shù)余1,右上角是4的倍數(shù)余2V 2011*4 = 502 余 3,數(shù)2011應(yīng)標(biāo)在第503個(gè)正方形的左上角.故選C.【答案】C【練習(xí)3 (2011-濟(jì)南)觀察下列各式：(1 )1 = 12 : ( 2 )2 + 3 + 4 = 3，; ( 3 ) 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 5三:(4 )4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 7-請(qǐng)你根據(jù)觀察得到的規(guī)律判斷下列各式正確的是()A. 1005 + 1006 +1007+ 3016 = 20112B. 1005+ 1006 +1007 +3017 = 20112C. 10

23、06 +1007+ 1008 + .3016 = 20112D. 1007+ 1008 +1009 + -.3017 = 20112【難度】2星【解析】根扌松(1) 1 = 12 : ( 2 ) 2 + 3 + 4 = 3 ； ( 3 ) 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 52 ： (4)4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 7可得出：a + (a + l) + (a + 2)+(a + )= (a +一a + l),依次判斷各選項(xiàng)，只有C符合要求，故選C【答案】C課后作業(yè)1. （2010-安順）四個(gè)電子寵物排座位，一開(kāi)始，小鼠、小猴.小兔、小貓分別坐在1, 23, 4號(hào)座位上（如圖所示），以后它們不停地變換位垃，第一次上下兩排交換，第二次是在第一次換位后，再左右兩列交換位置，第三次再上下兩排交換，第四次再左右兩列交換這樣一直下去，則第2005次交換位置后，小兔所在的號(hào)位是（）12鼠34兔貓兔貓鼠猴貓兔猴鼠B.2C.3D.4【難度】1星【解析】小兔所在的號(hào)位的規(guī)律是4個(gè)一循環(huán).因?yàn)?005 -3 = 501余1,即第2005次交換位置后，小兔所在的號(hào)位應(yīng)和第一次交換后的位置相同，即圖2.故選A【答案】A2. （2007哈爾濱）柜臺(tái)上放著