中央財(cái)經(jīng)大學(xué)博士論文

1、4.3參數(shù)估計(jì)與推斷基于上述模型設(shè)定和識(shí)別條件選擇，可以依據(jù)極大似然原則對(duì) SVAR 模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)與推斷。在以下各小節(jié)中，我們將給出具體實(shí)施步驟。4.3.1 貝葉斯條件先驗(yàn)分布首先，需要由（4.4）至（4.6）式得到關(guān)于、的貝葉斯條件先驗(yàn)分布： （4.7）令為維矩陣，其列向量構(gòu)成的零空間（Null Space）的一組正交基，類(lèi)似地， 為維矩陣，其列向量構(gòu)成的零空間的一組正交基。則對(duì)于滿(mǎn)足約束條件（4.4）和（4.5）的、，必存在唯一的向量（維）和維），使得 （4.8） 由假設(shè)（4.6）易知， （4.9）根據(jù)（4.8）和（4.9）式，、的貝葉斯條件先驗(yàn)分布（4.7）等價(jià)于、的貝葉斯先驗(yàn)分布：

2、其中，顯然，、 的貝葉斯先驗(yàn)分布分別為 （4.10）因此，后文均基于、進(jìn)行討論。4.3.2 條件似然函數(shù)記，（4.3）可表示為多變量回歸形式（Multivariate Regression）： （4.11）其條件似然函數(shù)為 （4.12）注意到以及（4.8），記，可知關(guān)于 b 、 g 的條件似然函數(shù)正比于 （4.13）4.3.3 貝葉斯聯(lián)合后驗(yàn)分布結(jié)合（4.10）和（4.13），可以得到 b 、 g 的貝葉斯聯(lián)合后驗(yàn)分布其中，表示正態(tài)分布累計(jì)概率密度化簡(jiǎn)可得 （4.14）其中，（4.15） （4.16）其中，值得指出的是，當(dāng)、 的貝葉斯先驗(yàn)分布的方差（、中對(duì)角線(xiàn)上的元素）趨于無(wú)窮大時(shí)，（4.13

3、）同（4.15）、（4.16）完全相同， b 、 g 的貝葉斯聯(lián)合后驗(yàn)分布退化為似然函數(shù)。4.3.4 Gibbs 抽樣至此，最大化（4.14）式，能夠求得參數(shù) b 、 g （進(jìn)而、）的貝葉斯估計(jì)。進(jìn)一步地，通過(guò)模擬 b 、 g 的貝葉斯聯(lián)合后驗(yàn)分布，可以推斷 b 、 g ，以及它們的函數(shù)（例如，脈沖響應(yīng)、方差分解）的有限樣本性質(zhì)。對(duì)貝葉斯后驗(yàn)分布的模擬分為如下兩步：首先，利用邊緣后驗(yàn)分布（4.15）得到 b 的實(shí)現(xiàn)值；然后，對(duì)于給定的 b ，從條件后驗(yàn)分布（4.16）中抽取 g 的實(shí)現(xiàn)值。由于（4.16）為多元正態(tài)分布，因此，模擬的第二步相對(duì)簡(jiǎn)單。對(duì)于第一步，我們采用 Waggoner and

4、Zha（2003）提出的 Gibbs 抽樣法實(shí)現(xiàn)，這一方法適用于系數(shù)矩陣含有的約束條件個(gè)數(shù)大于時(shí)的情形。具體來(lái)說(shuō)，給定，令W為維列向量，滿(mǎn)足,由于前文我們已假設(shè)存在非奇異矩陣滿(mǎn)足約束條件（4.4），所以幾乎必然線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且 。由此，可以定義 （4.17）其中，（維）滿(mǎn)足,依次選取,使得構(gòu)成空間的一組正交基。由于，則存在滿(mǎn)足 （4.18）由此可得， （4.19）根據(jù)、的定義，可知上式中第二個(gè)等號(hào)成立。此外，因此， （4.20） 由（4.15）可知結(jié)合（4.19）和（4.20），有注意到： （4.21） （4.22）不難看出，依據(jù)條件后驗(yàn)分布對(duì)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，等價(jià)于相互獨(dú)立地從正態(tài)分布中隨機(jī)抽取，從

5、條件后驗(yàn)分布中隨機(jī)抽取 ，然后利用（4.18）得到至此，我們可以給出關(guān)于參數(shù) b 的 Gibbs 隨機(jī)抽樣算法，如下所示：Gibbs 抽樣 算法1、 給參數(shù) b 賦初始值：通常為貝葉斯點(diǎn)估計(jì)值；2、 對(duì)于s=1, ,給定對(duì)于依據(jù)獨(dú)立隨機(jī)生成依據(jù)正態(tài)分布，獨(dú)立隨機(jī)生成依據(jù)、和（4.17），構(gòu)造由（4.18），得到3、對(duì)于隨機(jī)序列只保留，的部分。為有效實(shí)現(xiàn)以上算法，我們需要注意以下兩個(gè)問(wèn)題：1、 模仿 的 條件后驗(yàn)分布從(4.21)可知，屬于如下分布函數(shù)族： （4.23）其中，為標(biāo)準(zhǔn) Gamma 分布。當(dāng) k=T時(shí)，即為 的累積概率密度。令，則，由（4.23）式知， r 的累積概率密度正比于 （4

6、.24） 對(duì)于，（4.24）式為 Wishart 分布的累積概率密度，記為。同時(shí)，r也服從參數(shù)為和的 Gamma 分布。根據(jù)以上分析，可以利用 Wishart 分布隨機(jī)生成 。具體來(lái)說(shuō)，分為以下 3 步：（1） 由正態(tài)分布生成獨(dú)立隨機(jī)變量序列（2） 記，則 r 服從（3） 利用均勻分布 Unif （0,1） ，以相同概率給賦值或2 、構(gòu)造空間的一組 正交基首先，通過(guò) LU 分解求解如下方程組求得W其次，根據(jù)（4.17），定義，記，對(duì)于構(gòu)造其中，可以驗(yàn)證，構(gòu)成空間的一組正交基。4.4 模型分析在本章的最后，我們給出關(guān)于 SVAR 模型的幾種常用的分析工具，包括脈沖響應(yīng)函數(shù) （ Impulse R

7、esponse Function ）、 預(yù) 測(cè) 誤 差 方 差 分 解 （ Forecast Error VarianceDecomposition），以及歷史分解（Historical Decomposition）。對(duì)此更為詳細(xì)的介紹，可參考 Hamilton（1994）。首先，將方程組（4.1）等價(jià)地表示為如下簡(jiǎn)約形式： （4.25）其中，利用（4.25）式進(jìn)行迭代運(yùn)算，可得 （4.26）其中，且4.4.1 脈沖響應(yīng)函數(shù)記，如果方程的解均在單位圓外，那么為協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程，從而由（4.26）式可知 （4.27）顯然，因此，矩陣的第 j 行、第 i 列的元素的含義為：其他條件不變， t 時(shí)刻第 j 個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)，增加 1 個(gè)單位，對(duì)第 i 個(gè)變量在 t+h 時(shí)刻取值的影響。給定，可表示為 h 的函數(shù)，即通常所說(shuō)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。實(shí)際運(yùn)用中，通過(guò)數(shù)值模擬得到中元素的取值，大致分為以下幾步：1、 令，2、 利用（4.25）得到，即為中第 j 行元素的值；3、 對(duì)于 ，重復(fù) 1、24.4.2 預(yù)測(cè)誤差方差分解另一方面，（4.26）式表明，基于 SVAR 模型的向前 h 步預(yù)測(cè)誤差（h - Periods AheadForecast Error）為 （4.28）因而，預(yù)測(cè)的均方誤（Mean Squ