導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)歸納和練習(xí)

1、學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)一、相關(guān)概念1. 導(dǎo)數(shù)的概念：f （ x 0 ） = limy = limf (x0x) f ( x0 ) 。x 0xx 0x注意：（ 1）函數(shù) f （ x）在點(diǎn) x 0 處可導(dǎo)，是指x0時(shí)，y 有極限。如果y 不存在極限，xx就說函數(shù)在點(diǎn)x 0 處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。（ 2） x 是自變量x 在 x 0 處的改變量，x0時(shí)，而y 是函數(shù)值的改變量，可以是零。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y=f （ x）在點(diǎn) x 0 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f （ x）在點(diǎn) p（x 0 ， f （ x 0 ）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f （ x）在點(diǎn) p（ x 0 ， f （ x 0 ）

2、處的切線的斜率是f （ x 0 ）。相應(yīng)地，切線方程為y y 0 =f / （ x 0 ）（ x x 0 ）。3. 導(dǎo)數(shù)的物理意義若物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是s=s （ t ），那么該物體在時(shí)刻t 的瞬間速度v= s （ t ）。若物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化的規(guī)律是v=v （ t ），則該物體在時(shí)刻t 的加速度a=v（ t ）。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: C0;（C為常數(shù)） xn (sin x) (cos x) (ex ) (a x ) ln xnxn 1;cosx ;sin x ;ex;ax ln a ;1 ;x l oga x1 log a e.x2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則法則 1：兩個(gè)函數(shù)的和 (

3、 或差 ) 的導(dǎo)數(shù) , 等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差 )，即： ( u v) 'u'v' .法則 2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù), 等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù), 加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(uv) 'u' v uv ' .法則3 ：兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：3. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)uu' v uv'（ v0）。vv 2形如 y=f(x )的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解 >求導(dǎo) >回代。法則： y | X = y |

4、 U·u | X 或者 f (x)f ()*(x) .三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)函數(shù) yf (x)在某個(gè)區(qū)間（ a， b）可導(dǎo)， 如果 f ' (x)0 ，則 f (x) 在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果f ' ( x)0 ，則 f ( x) 在此區(qū)間上為減函數(shù)。（2）如果在某區(qū)間內(nèi) 恒有 f ' ( x) 0 ，則 f ( x) 為常數(shù) 。2極點(diǎn)與極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為 0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3最值：在區(qū)間 a ，b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x)

5、在 a ， b 上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間（a， b）內(nèi)連續(xù)函數(shù) f （ x）不一定有最大值，例如f ( x) x3, x ( 1,1) 。（ 1）函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性的概念，最大值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（ 2）函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個(gè)，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值。四、定積分1.概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間

6、 a ，b 上連續(xù)，用分點(diǎn)a x0<x1< <xi 1<xi< xn b 把區(qū)間 a ， b等分成 n 個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi 1， xi 上取任一點(diǎn) i （ i 1， 2， n）作和式 Innf i1( i) x（其中 x 為小區(qū)間長度） ，把 n即 x0 時(shí)，和式 In 的極限叫做函n數(shù) f(x)在區(qū)間 a ， b 上的定積分，記作：baf ( x) dx，即blimff (x)dxni 1 ( i) x。a這里， a 與 b 分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a ， b 叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x) 叫做被學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)積函數(shù)， x 叫做積分變量， f(

7、x)dx叫做被積式。0dx C；m1x m 11基本的積分公式：xdx m 1 C（ m Q， m 1）；x dx ln xa x C；exdx ex C； ax dx ln a C；cos xdx sinx C；sin xdx cosx C（表中 C 均為常數(shù)）。2. 定積分的性質(zhì)bbkf ( x) dxkaaf ( x) dx（ k 為常數(shù)）；bbbg( x)dxf (x) g( x)dxf (x)dxaaa；bf (x)dxcf ( x)dxbf ( x)dx （其中 a cb ) 。aac3. 定積分求曲邊梯形面積由三條直線 x a， x b（a<b）， x 軸及一條曲線y f

8、（x） (f(x) 0) 圍成的曲邊梯的面積bSf ( x)dx。a如果圖形由曲線y1 f1(x)， y2 f2(x) （不妨設(shè)f1(x) f2(x)0），及直線 x a，x b（ a<b ） 圍 成 ， 那 么 所 求 圖 形 的 面 積S S 曲 邊 梯 形AMNB S 曲 邊 梯 形DMNCbb( x)dxf1 (x)dxf 2aa。4. 牛頓布萊尼茨公式如果 f(x) 是區(qū)間 a,b上的連續(xù)函數(shù),并且 F (x)=f(x),則bf ( x )dxF ( b )F ( a )a【練習(xí)題】題型 1：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)【例 1】 （ 1）求 yx(x 2113 ) 的導(dǎo)數(shù)

9、；xx（2）求 y(x1)( 11) 的導(dǎo)數(shù)；x（3）求 yxsin x cos x 的導(dǎo)數(shù)；22（4）求 y=x2的導(dǎo)數(shù)；sin x（5）求 y 3x 2xx5x9 的導(dǎo)數(shù)。x解析：（ 1） yx311,y'3x22x2x3 .111（2）先化簡 , yxxx 2xx1x13111.y '1 x 21 x 2222xx（3）先使用三角公式進(jìn)行化簡.12yxsin x cos xx1 sin x2221'11y'xsin xx'(sin x)'1cos x.222（4） y= ( x2 )' sin xx2 *(sin x)' =

10、2 x sin xx2 cos x ；sin 2 xsin 2x31（5）y 3x 2 x9x23113y * （ x2 ） x ( x 2 ） *3 x 2 * （1 ） x 2 229x (11)1。2x2題型 2：導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例 2】 已經(jīng)曲線 C： y=x 3 x+2 和點(diǎn)A(1,2) 。（1）求在點(diǎn) A 處的切線方程？（2）求過點(diǎn)A 的切線方程？（3）若曲線上一點(diǎn)Q 處的切線恰好平行于直線 y=11x 1，則 Q點(diǎn)坐標(biāo)為_,切線方程為 _學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)思考：導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，切線方程為什么？【例3】 （06安徽卷）若曲線y x4 的一條切線 l與直線 x4 y80 垂直，則 l

11、的方程為（）A 4x y 3 0 B x 4 y 5 0 C 4 x y 3 0 D x 4 y 3 0【例 4】 （06全國 II ）過點(diǎn)（1， 0）作拋物線 yx2x1 的切線，則其中一條切線為（）（A ） 2x y2 0 （ B） 3xy 3 0 （C） xy 1 0 （D ） x y 1 0解析：（1）與直線 x 4 y 80垂直的直線 l 為4xym0 ，即 yx4 在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 4，而 y4x3 ，所以 yx4 在 (1 ，1) 處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為4xy30 ，故選 A；（ 2） y2x1，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為( x0 , y0 ) ，則切線的斜率為2x0 1 ，且 y0x02x

12、0 1 ，于是切線方程為y x02x01(2 x01)( x x0 ) ，因?yàn)辄c(diǎn)（1， 0）在切線上，可解得x0 0 或 4，代入可驗(yàn)正D 正確，選 D。題型 3：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值【例 5】 （06江西卷）對于R 上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（ x），若滿足（ x 1） f （x） 0，則必有（）A f （ 0） f（ 2） 2f（ 1）B. f （0） f（ 2） 2f（ 1）C f （ 0） f（ 2） 2f （1）D. f （ 0） f（ 2） 2f（ 1）【例 6】 （06天津卷）函數(shù)f (x) 的定義域?yàn)殚_區(qū)間( a, b) ，導(dǎo)函數(shù)f( x) 在 ( a, b) 內(nèi)的圖象如圖所

13、示，則函數(shù)f ( x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A1個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D 4個(gè)【例7】 （06全國卷 I ）已知函數(shù) fx1x e ax 。（）設(shè) a0，討論 yf x 的1x單調(diào)性；（）若對任意x0,1 恒有 fx1，求 a 的取值范圍。解析：（ 1）依題意，當(dāng) x 1 時(shí)， f （ x） 0，函數(shù) f （ x）在（ 1， ）上是增函數(shù)；當(dāng) x 1 時(shí)， f （ x） 0， f（x）在（ ，1）上是減函數(shù)，故 f （ x）當(dāng) x 1 時(shí)取得最小值，即學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)有 f （0） f（ 1）， f （ 2） f （1），故選 C；（ 2）函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)殚_區(qū)間

14、( a, b) ，導(dǎo)函數(shù) f ( x) 在 (a,b) 內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù) f (x) 在開區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)有極小值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到正的點(diǎn)，只有 1 個(gè)，選 A 。ax2+2 a ax（ 3）： ( )f(x) 的定義域?yàn)?( ,1) (1,+ ).對 f(x) 求導(dǎo)數(shù)得 f '(x)= x)2e 。(122x 2x( )當(dāng) a=2 時(shí),f '(x)=(1 x)2 e, f '(x) 在 ( ,0),(0,1)和 (1,+ )均大于 0,所以 f(x) 在( ,1), (1,+ ).為增函數(shù)；( )當(dāng) 0<a<2

15、時(shí) , f '(x)>0, f(x)在 ( ,1), (1,+ )為增函數(shù) .；a 2a 2a 2( )當(dāng) a>2 時(shí) , 0< a<1, 令 f '(x)=0 , 解得 x1= a , x2=a；當(dāng) x 變化時(shí) , f '(x) 和 f(x) 的變化情況如下表 :xa 2a 2a 2a2(1,+ )(,a )(a ,a ) (a,1)f '(x)f(x)a 2a2a2a 2f(x) 在 ( , a ), (a ,1),(1,+ )為增函數(shù) ,f(x) 在 ( a ,a )為減函數(shù)。( )( )當(dāng) 0<a 2 時(shí) , 由 ( )知

16、: 對任意 x(0,1) 恒有 f(x)>f(0)=1 ；( )當(dāng) a>2 時(shí) , 取 x0=1a 22 (0,1),則由 ( )知 f(x 0)<f(0)=1 ；a1+x ax 1，( )當(dāng) a 0 時(shí) , 對任意 x (0,1),恒有1 x>1 且 e得： f(x)= 1+x ax 1+x綜上當(dāng)且僅當(dāng)a ( ,2時(shí) ,對任意 x (0,1)恒有 f(x)>1 。1 xe1 x >1.【例 8】 （ 06 浙江卷）f ( x)x33x22 在區(qū)間1,1 上的最大值是（ ）學(xué)習(xí)必備精品知識點(diǎn)(A)2(B)0(C)2(D)4【例 9】 （06山東卷） 設(shè)函數(shù) f(x)= 2x33(a 1)x21,其中 a1. （）求 f(x) 的單調(diào)區(qū)間；（）討論 f(x) 的極值。解析：（ 1） f ( x) 3x26x3x(x2)，令 f ( x)0 可得 x0 或 2（2舍去），當(dāng)1x 0 時(shí)， f ( x)0，當(dāng) 0x1 時(shí)， f (x)0，所以當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x）取得最大值為2。選 C；（ 2）由已知得 f ' ( x) 6xx(a1)，令 f ' ( x)0 ，解得x10, x2 a1。（）當(dāng) a 1