計算方法常微分方程求解課件

1、 常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解 考慮考慮一階一階常微分方程的常微分方程的初值問題初值問題 : 0)(,),(yaybaxyxfdxdy只要只要 f (x, y) 在在a, b R1 上連續(xù)，且關于上連續(xù)，且關于 yLipschitz 條件條件，即，即存在與存在與 x, y 無關的常數(shù)無關的常數(shù) L 使使對任意定義在對任意定義在 a, b 上的上的 y1(x) 和和 y2(x) 都成立，則上述問題都成立，則上述問題存存在唯一解在唯一解。| ),(),(|2121yyLyxfyxf 要計算出解函數(shù)要計算出解函數(shù) y(x) 在一系列節(jié)點在一系列節(jié)點 a = x0 x1 xn= b 處的近似值處的

2、近似值),., 1()(nixyyii 節(jié)點間距節(jié)點間距 為步長，通常采用為步長，通常采用等距節(jié)點等距節(jié)點，即取即取 hi = h (常數(shù)常數(shù))。) 1,., 0(1 nixxhiii1 歐拉方法歐拉方法 歐拉公式：歐拉公式：),()()()()()(000000110yxfhyxyhxydxxyxyxyxx1y記為記為)1,., 0(),(1 niyxfhyyiiii定義定義在假設在假設 yi = y(xi)，即第，即第 i 步計算是精確的前提下，考步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差慮的截斷誤差 Ri = y(xi+1) yi+1 稱為稱為局部截斷誤差局部截斷誤差定義定義若某算法的局部截斷

3、誤差為若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有，則稱該算法有p 階精度。階精度。 歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法的局部截斷誤差：),()()()()()(32112iiiihiiiiiyxhfyhOxyxyhxyyxyR )()(322hOxyih 歐拉法具有歐拉法具有 1 階精度。階精度。 隱式歐拉法隱式歐拉法)(,()(1101xyxfhyxy )1,., 0(),(111 niyxfhyyiiii由于未知數(shù)由于未知數(shù) yi+1 同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故同時出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為稱為隱式隱式 歐拉公式，而前者稱為歐拉公式，而前者稱為顯式顯式 歐拉公式

4、。歐拉公式。一般先用顯式計算一個初值，再一般先用顯式計算一個初值，再迭代迭代求解。求解。 隱式隱式歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法的局部截斷誤差：11)(iiiyxyR)()(322hOxyih 即隱式歐拉公式具有即隱式歐拉公式具有 1 階精度。階精度。),()()()()()(110100110yxfhyxyhxydxxyxyxyxx 梯形公式梯形公式 顯、隱式兩種算法的顯、隱式兩種算法的平均平均)1,., 0(),(),(2111 niyxfyxfhyyiiiiii 局部截斷誤差局部截斷誤差 ， 即梯形公式具有即梯形公式具有2 階精度，比歐拉方法有了進步。階精度，比歐拉方法有了進步。但注意到該

5、公式是但注意到該公式是隱式隱式公式，計算時不得不用到公式，計算時不得不用到迭代法，計算量大。迭代法，計算量大。)()(311hOyxyRiii 改進歐拉法改進歐拉法Step 1: 先用先用顯式顯式歐拉公式作歐拉公式作預測預測，算出，算出),(1iiiiyxfhyy Step 2: 再將再將 代入代入隱式隱式梯形公式的右邊作梯形公式的右邊作校正校正，得到，得到1 iy),(),(2111 iiiiiiyxfyxfhyy注：注：此法亦稱為此法亦稱為預測預測-校正法校正法 ?？梢宰C明該算法具有?？梢宰C明該算法具有 2 階精階精度，同時可以看到它是個度，同時可以看到它是個單步單步遞推格式，比隱式公式的

6、遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程迭代求解過程簡單簡單。另外，它的。另外，它的穩(wěn)定性高穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。于顯式歐拉法。 )1,., 0(),(,),(211 niyxfhyxfyxfhyyiiiiiiii 龍格龍格 - 庫塔法庫塔法建立高精度的單步遞推格式。建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的單步遞推法的基本思想基本思想是從是從 ( xi , yi ) 點出發(fā)，以點出發(fā)，以某一斜某一斜率率沿直線達到沿直線達到 ( xi+1 , yi+1 ) 點。歐拉法及其各種變形所點。歐拉法及其各種變形所能達到的最高精度為能達到的最高精度為2階階。考察改進的歐拉法，可以將其改寫為：考察改進的歐拉法，可以

7、將其改寫為：),(),(2121121211hKyhxfKyxfKKKhyyiiiiii 首先希望能確定系數(shù)首先希望能確定系數(shù) 1、 2、p，使得到的算法格式有，使得到的算法格式有2階階精度，即在精度，即在 的前提假設下，使得的前提假設下，使得 )(iixyy )()(311hOyxyRiii Step 1: 將將 K2 在在 ( xi , yi ) 點作點作 Taylor 展開展開)(),(),(),(),(2112hOyxfphKyxphfyxfphKyphxfKiiyiixiiii )()()(2hOxyphxyii 將改進歐拉法推廣為：將改進歐拉法推廣為：),(),(12122111p

8、hKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii Step 2: 將將 K2 代入第代入第1式，得到式，得到 )()()()()()()()(322212211hOxyphxyhyhOxyphxyxyhyyiiiiiiii Step 3: 將將 yi+1 與與 y( xi+1 ) 在在 xi 點的點的泰勒泰勒展開作比較展開作比較)()()()(322211hOxyphxyhyyiiii )()(2)()()(321hOxyhxyhxyxyiiii 要求要求 ，則必須有：，則必須有：)()(311hOyxyRiii21,1221 p 存在存在無窮多個解無窮多個解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為。所有滿足

9、上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格階龍格 - 庫庫塔格式塔格式。21, 121 p注意到，注意到， 就是改進的歐拉法。就是改進的歐拉法。 為獲得更高的精度，進一步推廣為獲得更高的精度，進一步推廣其中其中 i ( i = 1, , m )， i ( i = 2, , m ) 和和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i 1 ) 均為待定均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。步驟與前面相似。 ).,(.),(),(),(.1122112321313312122122111 mm mmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKy

10、xfKKKKhyy 最常用為四級最常用為四級4階階經典龍格經典龍格-庫塔法庫塔法 ：),(),(),(),()22(63422231222143211hKyhxfKKyxfKKyxfKyxfKKKKKhyyiihihihihiiiii 收斂性與穩(wěn)定性收斂性與穩(wěn)定性 收斂性收斂性定義定義 若某算法對于任意固定的若某算法對于任意固定的 x = xn = x0 + n h，當，當 h0 ( 同時同時n ) 時有時有 yn y( xn)，則稱該算法是，則稱該算法是收斂收斂的。的。 例：例：就初值問題就初值問題 考察歐拉顯式格式的收斂性。考察歐拉顯式格式的收斂性。 0)0(yyyy 解：解：該問題的精確解為該問題的精確解為 xeyxy 0)( 歐拉公式為歐拉公式為iiiiyhyhyy)1 (1 0)1 (yhyii 對任意固定的對任意固定的 x = xi = i h ，有，有iixhhxihyhyy