二項式定理典型例題解析

1、二項式定理 概念篇【例1】求二項式（a 2b）4的展開式.分析：直接利用二項式定理展開.解：根據(jù)二項式定理得(a 2b)4=c 4 a4+C4 a3( 2b)+C 2 a2( 2b)2+C 4 a( 2b)3+C 4 (2b）4=a4 8a3b+24a2b2 32ab3+i6b4說明：運用二項式定理時要注意對號入座，本題易誤把 2b中的符號“”忽略【例2】展開（2x金）5.2x5）2+C3（2硝一分析一：直接用二項式定理展開式.解法一：(2x-2>C5(2x)5+c5(2x)4(-9)+C2(2x)3( 一C43, 一 5(2x)(-)4+C5(- 2x2=32x5- 120x2+180

2、135 405243+ 8x710 .32x分析二:解法二:對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開 _3_ 53 5_ （4x3）（ 斤）一132x10C 5 (4x3)5+C 5 (4x3)4( 3)+C 2 (4x3)3( 3)2+C 5 (4x3)2( 3)3+C 5 (4x3)( 3)4 +C5( 3)51(1024x15 3840x12+5760x94320x6+1620x3 243) 32x10=32x5- 120x2+螫 x135 405x4 + 8x724332x10 .說明：記準、記熟二項式（a+b）n的展開式是解答好與二項式定理有關問題的前提條件對較復雜的二項式，有時先化

3、簡再展開會更簡便【例3】在（x、:3）10的展開式中，x6的系數(shù)是.解法一：根據(jù)二項式定理可知x6的系數(shù)是C40.解法二：（x-8）10的展開式的通項是 Tr+1=C；0x10-r（ V3 ）r.令10-r=6,即r=4,由通項公式可知含 x6項為第5項，即T4+1=c40x6（仆）4=9C40x6.x6的系數(shù)為9c40.上面的解法一與解法二顯然不同，那么哪一個是正確的呢？問題要求的是求含 x6這一項系數(shù)，而不是求含 x6的二項式系數(shù)，所以應是解法二正確如果問題改為求含 x6的二項式系數(shù)，解法一就正確了，也即是 C40.說明：要注意區(qū)分二項式系數(shù)與指定某一項的系數(shù)的差異二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩

4、個不同的概念，前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關，與二項式無關，后者與二項式、二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關 【例4】已知二項式(3& -2)10,3x(1)求其展開式第四項的二項式系數(shù)；(2)求其展開式第四項的系數(shù)；(3)求其第四項.分析：直接用二項式定理展開式.解：(3JX Z)10 的展開式的通項是 Tr+i=C；o(3VX)10 r(-)r(r=0, 1, , 10).3x3x(1)展開式的第4項的二項式系數(shù)為 C3o=12O.2 一(2)展開式的第4項的系數(shù)為C3o37(- -)3=-77 7 60.1(3)展開式的第4項為一77760(、：x )7/，即一77760 Vx . x說明

5、：注意把(3 4 _2)10寫成3反+(_2)10,從而湊成二項式定理的形式 .3x3x【例5】求二項式(x，=)10的展開式中的常數(shù)項.2.x分析：展開式中第r+1項為C；0(x2)10 r()r,要使得它是常數(shù)項，必須使“x”的指2, x數(shù)為零，依據(jù)是x0=1, xw0.解：設第r+1項為常數(shù)項，則51 20 -r 15Tr+1=C；0(x2)10(一)二C；0x2 (-)r(r=0, 1,，10),令 20 r=0,得 r=8.2 .x22 T9=C10( 1 )8= -452256第9項為常數(shù)項，其值為色.256說明：二項式的展開式的某一項為常數(shù)項，就是這項不含“變元”，一般采用令通項

6、Tr+1中的變元的指數(shù)為零的方法求得常數(shù)項.【例6】(1)求(1+2x)7展開式中系數(shù)最大項；(2)求(1 2x)7展開式中系數(shù)最大項.列出相鄰兩項系數(shù)之間關系的不等分析：利用展開式的通項公式，可得系數(shù)的表達式,式，進而求出其最大值.解：(1)設第r+1項系數(shù)最大，則有C72c72r 7r 712127!2r即 r!(7 r)!2 r !(7 r)!7!2r 1(r 1) !(7 r 1)!7!2r 1(r 1)!(7 r 1)!化簡彳導r17r解得2.r 1163 又.0<r<7,r=5.13.3，系數(shù)最大項為T6=C 5 25x5=672x5.（2）解：展開式中共有 8項，系數(shù)

7、最大項必為正項，即在第一、三、五、得.又因（1 2x）7括號內的兩項中后兩項系數(shù)的絕對值大于前項系數(shù)的絕對值,七這四項中取故系數(shù)最大值必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項系數(shù)的大小即可44C4( 2)4c7.C6( 2)6 而>1,所以系數(shù)最大項為第五項，即 T5=560x4.說明：本例中（1）的解法是求系數(shù)最大項的一般解法，（2）的解法是通過對展開式多項分析，使解題過程得到簡化，比較簡潔.【例7】（1+2x）n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大 的項和系數(shù)最大的項.分析：根據(jù)已知條件可求出n,再根據(jù)n的奇偶性確定二項式系數(shù)最大的項.解：T6=C5(2x)5

8、, T7=C6 (2x)6,依題意有 Cn 25=C6 26,解得 n=8. (1+2 x)8 的展開式中,二項式系數(shù)最大的項為T5=C 4 （2x）4=1120x4.r «rr 1 ,r 1設第r+1項系數(shù)最大，則有77,C72r C7 12r1.5< r< 6. 1. r=5 或 r=6.二系數(shù)最大的項為T6=1792x5, T7=1792x6說明：（1）求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.（2）求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列

9、不等式，再解不等式的方法求得應用篇【例 8】若 nCN*, ( V2+1)n=72an+bn(an、bnCZ),則 bn 的值()B.一定是偶數(shù)D.與a有相同的奇偶性A.C.與bn的奇偶性相反分析一：形如二項式定理可以展開后考查解法一：由(相+1)n=V2an+bn,知 J2an + bn=(1+ J2)n =Cn+C1n +C2H2 )2+C3 ()3+ +Cn(2)n.-bn=1+C2( V2)2+C4(v'2)4+ , , bn為奇數(shù).答案：A分析二：選擇題的答案是唯一的，因此可以用特殊值法解法二：nCN*,取 n=1 時，（寸2+1）1=（ 72+1）,有 b1=1 為奇數(shù).取

10、n=2時，(夜+1)2=2血+5,有b2=5為奇數(shù).答案：A【例9】若將(x+y+z)10展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為()A.11B.33C.55D.66分析：(x+y+z)10看作二項式(x y) z10展開.解：我們把x+y+z看成(x+y)+z,按二項式將其展開，共有 11 “項”，即(x+y+z)10=10廠/ 110* / . 10一k k(x y) z =C10 (x+y) z.k 0這時，由于“和”中各項 z的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式(x+y)10-k展開，不同的乘積C：0(x+y)10-kzk(k=0, 1,，10)展開后，都不會出現(xiàn)同類項.下面，再分別考慮

11、每一個乘積Ck0(x+y)10 kzk(k=0, 1,，10).其中每一個乘積展開后的項數(shù)由(x+y)10k決定，而且各項中x和y的指數(shù)都不相同，也不會出現(xiàn)同類項.故原式展開后的總項數(shù)為11+10+9+1=66.答案：D說明：化三項式為二項式是解決三項式問題的常用方法【例10】求(I x | +一2)3展開式中的常數(shù)項.|x|分析：把原式變形為二項式定理標準形狀.解：(I x1 +52)3=(而J)6,|X|.|x|展開式的通項是Tr+1=C 6 （ V| x | ）6,（一1 |x|）=（ 1）rc6h：面）6 2r若Tr+1為常數(shù)項，則6 2r=0, r=3.展開式的第4項為常數(shù)項，即 丁

12、4= C3 = 20.說明：對某些不是二項式，但又可化為二項式的題目，可先化為二項式，再求解 【例11】求(jx 劉x)9展開式中的有理項.分析：展開式中的有理項，就是通項公式中x的指數(shù)為整數(shù)的項.1127 r解：. Tr+1=c9(x2)9 r(x3)=(1)c9xk.令 27_ e Z,即 4+3- e Z,且 r=0, 1, 2,，9.66r=3 或 r=9.當 r=3 時，27_=4, T4=(1)3C3x4= 84x4.6當 r=9 時，27=3, T10=(-1)9C9x3=-x3.，(我一VX)9的展開式中的有理項是第4項84x4,第10項一x3.說明：利用二項展開式的通項Tr+

13、1可求展開式中某些特定項.【例 12若(3x1)7=a7X7+a6X6+ +aX+a0,求(1)a + a2 +a7；(2)a1 + a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6.分析：所求結果與各項系數(shù)有關可以考慮用“特殊值”法，整體解決解：(1)令 x=0,貝U a0= 1,令 x=1 ,貝U a7+a6+ +a+a0=27=128. 0a1+a2+- - +a7=129.(2)令 x= 1,貝U a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+ao=( 4)7.由 得:a1+a3+a5+a7=- ：128-(-4)7 =8256. 22(3)由 得 ao+a2+a4+a6=1128+( 4)

14、7 =-8128.22說明：(1)本解法根據(jù)問題恒等式特點來用“特殊值”法，這是一種重要的方法，它用 于恒等式.(2) 一般地，對于多項式 g(X)=(pX+q)n=a0+a1X+a2X2+a3X3+a4X4+a5X5+a6X6+a7X7, g(X)各項的系數(shù)和為g(1), g(X)的奇數(shù)項的系數(shù)和為 1 g(1)+g(1), g(X)的偶數(shù)項的系數(shù)和為1 g(1)22g(一1)1 .+2ncn =3n；n2n ；【例13】證明下列各式(2)(Cn)2+(C；)2+ +(C n )2=C(1)1+2C；+4C：+ +2n_ 1_ 2_ 3_ n(3)C n +2C n +3C n + +nCn

15、 =n2分析：(1)(2)與二項式定理的形式有相同之處可以用二項式定理，形如數(shù)列求和，因此 可以研究它的通項尋求規(guī)律.證明：(1)在二項展開式(a+b)n=C0an+C； 令 a=1, b=2,得(1+2)n=1+2C 1n+4C2+ -1b+C： an 2b2+ +Cn1ab1+cnbn 中,+2n1cn 1+2ncn，即1+2C；+4Cn+ +2n 1cn(2)(1 + X)n(1+X)n=(1 + X)2n, 12cr. . (1+C n X+C n X+ +C n1+2nCn=3n.rn.12 2r rX + +X )(1+C n X+C n X + +C n X +X)=(1 +X)

16、2n.而C 2n是(1 + X)2n的展開式中Xn的系數(shù)，由多項式的恒等定理，得 cncn+c；cn 1+ +C；cn 1+cncn=c 2n.C：=cn m, 0Wm” /c 0、21 、2n、2 n. (C n ) +(C n ) + +(C n ) =C 2n .(3)證法一:令 S=C；+2C2+3C3+ +nCn.令 S=C；+2C】+ +(n-1)Cn 1+nCn=nCn+(n-1)Cn 1+ +2C：+C；=ncn+(n1)c；+ +2cn 2+c n 1.由 + 得 2S=nCn+nC2+nC3 + +nC，=n(C n+C：+C 2+C 3 + +C，)0123n、 小= n

17、(C n +C n +C n +C n + +C n )=n2 .S=n2n 1,即 Cn+2C2+3Cn+ +nCn=n2n l.證法二：觀察通項：kCn=kn n一一 nCn 1. k!(n k)! (k 1)!(n k)!0123n 10123.原式=nC n 1 +nC n1 + nC n1 +nC n1 + +nC n 1=n(C n1 +C n1 +C n1 +C n1 + +Cn 1)=n2n 1,即 C n +2c n +3C n + +nC n =n2n 說明：解法二中kC n =nCn 1可作為性質記住.【例14】求1.9975精確到0.001的近似值.分析：準確使用二項式

18、定理應把1.997拆成二項之和形式如 1.997=2 0.003.解：1.9975=(2 0.003)5=25 C； 240.003+C 5 230.0032 C 5220.0033+=32 0.24+0.00072 =31.761.說明：利用二項式定理進行近似計算，關鍵是確定展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度.【例15】求證：5151-1能被7整除.分析：為了在展開式中出現(xiàn)7的倍數(shù)，應把51拆成7的倍數(shù)與其他數(shù)的和(或差)的形A.證明：5151-1=(49+2) 51 - 1=C 014951+C 5149502+ +C 51 49 - 250+C 51 251-1 , 易知除C51

19、2511以外各項都能被7整除.又 251 - 1=(23)171=(7+1)17 1=C 07 717+C 17 716+C 16 7+C 17 1=7(C 07716+C17 715+C17).顯然能被7整除，所以5151-1能被7整除.說明：利用二項式定量證明有關多項式(數(shù)彳1)的整除問題，關鍵是將所給多項式通過恒等變形變?yōu)槎検叫问?，使其展開后的各項均含有除式.創(chuàng)新篇22,中間一項為 20000.求x.不難求解！【例16】已知(x1gx+1)n的展開式的最后三項系數(shù)之和為 分析：本題看似較繁，但只要按二項式定理準確表達出來,n N*, 1- n=6.x1gx=10.解：由已知 Cn+C

20、n 1+Cn 2=22,即 n2+n 42=0.又 T4 為中間一項，T4=C3 (x1gx)3=20000 ,即(x1gx)3=1000.兩邊取常用對數(shù)，有 1g2x=1 , lgx=± 1,x=10或x=-.10常利用二項式通項公說明：當題目中已知二項展開式的某些項或某幾項之間的關系時, 式，根據(jù)已知條件列出等式或不等式進行求解【例17】設f(x)=(1 + x)m+(1 + x)n(m, nCN*),若其展開式中關于 x的一次項的系數(shù)和為11,問m, n為何值時，含x2項的系數(shù)取最小值？并求這個最小值 分析：根據(jù)已知條件得到x2的系數(shù)是關于x的二次表達式，然后利用二次函數(shù)性質探

21、討最小值問題.22解：C1m+C n =n+m=11. Cmm +C 2 = - (m2-m+n2- n)=-,22. nC N*,n=6或5, m=5或6時，x2項系數(shù)最小，最小值為 25.說明：本題是一道關于二次函數(shù)與組合的綜合題【例18若（x+12尸的展開式的常數(shù)項為一 20,求n. x分析：題中xwo,當x>0時，把三項式（x+二2）n轉化為（JxJ）2n；當x<0時, x. x同理(x+12)n=(1)n( Jx 4)2n.然后寫出通項，令含x的哥指數(shù)為零，進而解出n.x一 x解：當 x>0 時，(x+1 2)n=( “僅 1)2n, x. x其通項為+1=c 2n

22、( Jx )2n r(二)=( 1)rc 2n (Ji )2n 2r.、, x令2n- 2r=0,得n=r, 展開式的常數(shù)項為（1）Cnn；當 xv0 時，(x+1 -2)n=(- 1)n( Vx x無論哪一種情況，常數(shù)項均為令（1）rC2n=20.以 n=1, 2：(T)rC17）2n.同理可得，展開式的常數(shù)項為（一1）rC 2n.n 2n .3,，逐個代入，得 n=3.說明：本題易忽略 xv 0的情況.【例19】利用二項式定理證明（2）31V.一 2一', 一一 ，一分析： 不易從二項展開式中得到,n 1可以考慮其倒數(shù)證明：欲證（2）n 1<_2_成立，只需證3 n 1(-)

23、n 1< n 22成立.而(|)n1=(1+*1=C01+C1n-+C=1 +n 1 2 Io +C n 1 ( ) + +C n221 .221(2)n11(2)2Cn1("說明：本題目的證明過程中將（3）1轉化為（1+1）廣然后利用二項式定理展開式是解22決本問題的關鍵.【例 20】求證：2W （1+1）n3（nC N*）. n分析：（1+1）n與二項式定理結構相似，用二項式定理展開后分析 n證明：當 n=1 時，(1+1 )n=2. n當 n>2 時，(1+-)n=1+cn 1+c2 nn又 Cn(n)k=n(n 1) (n k 1)1+ + n1& 1,k

24、!一 1C 1 +cn(-)n=1+1+c2-2+ nnc 1 一+")».所以(1+1 )n< 2+ 1 n 2!+ + + <2+3! n!1+(n 1) n111=2+(1-)+(-)+ - +(=3- 1 <3.n綜上有 2W(1+I)nv3. n說明：在此不等式的證明中, 知識，將不等式證明到底.利用二項式定理將二項式展開，再采用放縮法和其他有關【例21】求證：對于nC N分析：結構都是二項式的形式,(1+1)n<(1+L)n+1.n n 1因此研究二項展開式的通項是常用方法證明：(1+1)n展開式的通項nTr+1=C：1 n(n 1)(n

25、 2) (n r 1) -r!nr二 ；(1- 1)(1-弓)。-).r! n nn(1+')n+1展開式的通項 r+1=cn n 1An 11r -r(n 1)r r !(n 1)r1 n(n 1)(n 2) (n r 1)r!nr二 ；(1工)(1二)(1 r! n 1 n 1由二項式展開式的通項可明顯地看出Tr+1VT' r+1所以(1+1 )n< (1+ J )n+1 n n 1說明：本題的兩個二項式中的兩項均為正項，且有一項相同 采用比較通項大小的方法完成本題證明.證明時，根據(jù)題設特點,【例22】設a、b、c是互不相等的正數(shù)，且a、b、c成等差數(shù)列，nCN*,求

26、證：an+cna、b、c成等差數(shù)列創(chuàng)造條件使用>2bn .分析：題中雖未出現(xiàn)二項式定理的形式，但可以根據(jù)二項式定理.證明：設公差為d,則a=b d, c=b+d.an+cn-2bn=(b-d)n+(b+d)n-2bn=bn-Cnbn 1d+c2bn 2d2+ +(-1)ndn1 + bn+Cnbn 1d+c2bn 2d2+ +dn1=2(C2bn 2d2+c4bn 4d4)>0.說明：由a、b、c成等差，公差為d,可得a=b-d, c=b+d,這就給利用二項式定理證 明此問題創(chuàng)造了可能性.問題即變?yōu)?b-d)n+(b+d)n>2bn,然后用作差法改證 (b d)n+(b+d)

27、n-2bn>0.【例23】求(1+2x 3x2)6的展開式中x5項的系數(shù).分析：先將1+2x3x2分解因式，把三項式化為兩個二項式的積， 即(1+2x 3x2)6=(l+3x)6 (1-x)6.然后分別寫出兩個二項式展開式的通項，研究乘積項x5的系數(shù)，問題可得到解決.解：原式二(1+3x)6(i -x)6,其中(1+3x)6展開式之通項為 Tk+i=ck3kxk, (1 -x)6展開式之通項為 Tr+1=C6(-x)r.原式=(1+3x)6(l x)6 展開式的通項為 Ck C 6 ( 1)r3kxk+r.現(xiàn)要使 k+r=5,又. kC 0,1, 2, 3, 4, 5,6, r C 0, 1,2,3,4,5, 6,k 0 k1- k2- k 3- k 4- k5,必須 或 或 或 或 或r 5 r4 r3 r 2 r1 r0.故 x5 項系數(shù)為 C°30c6(-1)5+C631c6 (-1)4+C 6 32C 6( 1)3+C 633c 2 ( 1)4+C 6 34C6 (-1)+C 535C0(-1)0=-168.說明：根據(jù)不同的結構特征靈活運用二項式定理是本題的關