概率統(tǒng)計(jì)電子教案(6)

1、2.4 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布 如果每個(gè)樣本點(diǎn)與一對有序?qū)崝?shù)之間有某種如果每個(gè)樣本點(diǎn)與一對有序?qū)崝?shù)之間有某種一一對應(yīng)關(guān)系，那么就是二維隨機(jī)向量。如果每一一對應(yīng)關(guān)系，那么就是二維隨機(jī)向量。如果每個(gè)樣本點(diǎn)與一組個(gè)樣本點(diǎn)與一組(含含n個(gè)個(gè))有序?qū)崝?shù)之間有某種對應(yīng)有序?qū)崝?shù)之間有某種對應(yīng)關(guān)系，那么就是關(guān)系，那么就是n維隨機(jī)向量。維隨機(jī)向量。 本節(jié)主要討論二維隨機(jī)向量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律本節(jié)主要討論二維隨機(jī)向量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性性(即分布即分布)。對于。對于n維隨機(jī)向量，這些內(nèi)容同樣適維隨機(jī)向量，這些內(nèi)容同樣適用。用。 一、聯(lián)合概率函數(shù)一、聯(lián)合概率函數(shù) 定義定義2.2 給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，給定一個(gè)

2、隨機(jī)試驗(yàn)， 是它的樣本是它的樣本空間，如果對空間，如果對 中的每一個(gè)樣本點(diǎn)中的每一個(gè)樣本點(diǎn) ，有一對有，有一對有序?qū)崝?shù)序?qū)崝?shù) 與它對應(yīng)，那么就把這樣一個(gè)與它對應(yīng)，那么就把這樣一個(gè)定義域?yàn)槎x域?yàn)?，取值為有序?qū)崝?shù)，取值為有序?qū)崝?shù) 的變量稱為二維隨機(jī)變的變量稱為二維隨機(jī)變(向向)量。量。 如果一個(gè)二維隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或可列無限個(gè)向如果一個(gè)二維隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或可列無限個(gè)向量值量值(即它的值域是一個(gè)二維有限集或可列無限集即它的值域是一個(gè)二維有限集或可列無限集)，那么我，那么我們便稱這個(gè)隨機(jī)變量為們便稱這個(gè)隨機(jī)變量為(二維二維)離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量。)(),(YX)(),(),

3、(YXYX 定義定義2.3 假定假定 的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?我們稱我們稱 為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量 的概率函數(shù)的概率函數(shù)(或分布律，或概或分布律，或概率分布率分布)，或者稱它為隨機(jī)變量，或者稱它為隨機(jī)變量X與與Y的聯(lián)合概率函數(shù)的聯(lián)合概率函數(shù)(或聯(lián)合分布律，或聯(lián)合概率分布或聯(lián)合分布律，或聯(lián)合概率分布)。, 2 , 1, 2 , 1: ),(),(jibajiYX, 2 , 1,)(),(jipbYaXPbYaXPijjiji),(YX),(YX易見，易見， 應(yīng)該滿足下列兩個(gè)條件：應(yīng)該滿足下列兩個(gè)條件： (i) ； (ii) 的聯(lián)合概率函數(shù)常用下列表格來表示：的聯(lián)合概率函數(shù)常用下列表格來表示：XY

4、21bb2221212111ppappa),(YX, 2 , 1, 0jipij1ijijpijp 例例1 一個(gè)口袋中裝有一個(gè)口袋中裝有5只球，其中只球，其中4只是紅球，只是紅球，1只是白球。采用無放回抽樣，接連摸兩次。設(shè)只是白球。采用無放回抽樣，接連摸兩次。設(shè) ，第一次摸到紅球，第一次摸到紅球， ，第一次摸到白球，第一次摸到白球， ，第二次摸到紅球，第二次摸到紅球， ，第二次摸到白球。，第二次摸到白球。 試求：（試求：（1）X與與Y的聯(lián)合概率函數(shù)；的聯(lián)合概率函數(shù)； （2） 。 01X01Y)(YXP 解解 （1）由概率的乘法公式：）由概率的乘法公式：因此，因此，X與與Y的聯(lián)合概率函數(shù)見下表的

5、聯(lián)合概率函數(shù)見下表 1(0,1)5P XY3(1,1)5P XY1(1,0)5P XYXY53511510010(0,0)0P XY0101 (2)由于事件由于事件 因此因此 如果采用有放回抽樣，那么如果采用有放回抽樣，那么X與與Y的聯(lián)合概率的聯(lián)合概率函數(shù)見下表：函數(shù)見下表：)1 , 1 (),0 , 1 (),0 , 0( | ),(YXYX4()5P XY2516254254251XY 例例2 一個(gè)口袋中裝有一個(gè)口袋中裝有4只球，它們依次標(biāo)有數(shù)字只球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1，1，2，3。采用無放回抽樣，接連摸兩次。設(shè)。采用無放回抽樣，接連摸兩次。設(shè)X、Y表示第一次、第二次摸到的球上標(biāo)有的數(shù)字，

6、表示第一次、第二次摸到的球上標(biāo)有的數(shù)字， 試試求：求：（1）X與與Y的聯(lián)合概率函數(shù)；的聯(lián)合概率函數(shù)； （2） 。 解由題意可知，解由題意可知，X、Y的可能取值都為的可能取值都為1，2，3；且有；且有)2(22YXP同理可得(1,1)(1) (1|1)211436P XYP XP YX11(1,2)(1,3)661(2,1)(2,2)0611(2,3)(3,1)1261(3,2)(3,3)012P XYP XYP XYP XYP XYP XYP XYP XY所以，所以，X與與Y的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為（2）思考題：如果采用有放回的抽樣，答案如何？思考題：如果采用有放回的抽樣，答案如何？1

7、23111166611206121130612XY61)2(22YXP 例例2 一個(gè)口袋中裝有一個(gè)口袋中裝有6只球，其中紅球只球，其中紅球1個(gè)，白個(gè)，白球球2個(gè)，黑球個(gè)，黑球3個(gè)?，F(xiàn)采用無放回抽樣，接連摸兩次。個(gè)?，F(xiàn)采用無放回抽樣，接連摸兩次。設(shè)設(shè)X、Y分別表示取出的紅球和白球個(gè)數(shù)，分別表示取出的紅球和白球個(gè)數(shù)， 試求：試求：（1）X與與Y的聯(lián)合概率函數(shù)；的聯(lián)合概率函數(shù)； （2） 。 解由題意可知，解由題意可知，X的可能取值為的可能取值為0，1； Y的的可能取值為可能取值為0，1，2；且有；且有X與與Y的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為)2(22YXP（2）思考題：如果采用有放回的抽樣，答案如何

8、？思考題：如果采用有放回的抽樣，答案如何？012121055151210515XY1514)2(22YXP二、邊緣概率函數(shù)二、邊緣概率函數(shù) 設(shè)設(shè) 的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為 X的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?。按概率的可加性：。按概率的可加性：因此，因此，X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為 , 2 , 1,),(jipbYaXPijji,21aaX, 2 , 1,),(),()(ippbYaXPbYaXPaXPijijjjijiji),(YX稱這個(gè)概率函數(shù)為稱這個(gè)概率函數(shù)為X的邊緣概率函數(shù)的邊緣概率函數(shù)(或邊緣分布律，或邊緣分布律，或邊緣概率分布或邊緣概率分布)。 類似地，類似地，Y的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?。按概率的。按概

9、率的可加性可加性 2121ppPaaXr,21bbY, 2 , 1,),(),()(jppbYaXPbYaXPbYPjiijijijiij因此，因此，Y的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為 稱這個(gè)概率函數(shù)為稱這個(gè)概率函數(shù)為Y的邊緣概率函數(shù)的邊緣概率函數(shù)(或邊緣分布律，或邊緣分布律，或邊緣概率分布或邊緣概率分布)。 例例1續(xù)續(xù) 前面我們有前面我們有X與與Y的聯(lián)合概率函數(shù)。于的聯(lián)合概率函數(shù)。于是可得是可得X與與Y的邊緣概率函數(shù)分別是的邊緣概率函數(shù)分別是 2121ppPbbYr8 . 02 . 010rPY8 . 02 . 010rPX 順便指出順便指出X與與Y雖然概率函數(shù)相同雖然概率函數(shù)相同(稱為稱為X與與Y

10、同同分布分布)，但它們是意義不同的隨機(jī)變量，不能由此，但它們是意義不同的隨機(jī)變量，不能由此誤認(rèn)為誤認(rèn)為“X=Y”，隨機(jī)事件，隨機(jī)事件 的概率為的概率為 如果采用有放回抽樣，類似地可以得到如果采用有放回抽樣，類似地可以得到X與與Y同分布，它們的邊緣概率函數(shù)與無放回抽樣情形下同分布，它們的邊緣概率函數(shù)與無放回抽樣情形下的邊緣概率函數(shù)是一樣的。這表明邊緣概率函數(shù)不的邊緣概率函數(shù)是一樣的。這表明邊緣概率函數(shù)不能唯一確定聯(lián)合概率函數(shù)。但聯(lián)合概率函數(shù)卻唯一能唯一確定聯(lián)合概率函數(shù)。但聯(lián)合概率函數(shù)卻唯一確定了邊緣概率函數(shù)。確定了邊緣概率函數(shù)。 YX 6 . 0) 1, 1()0, 0()(YXPYXPYXP

11、例例2 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 的概率函數(shù)如下表，的概率函數(shù)如下表，已知已知 。試求常數(shù)。試求常數(shù) 的值。的值。 解解 由由 及及求得求得 。4 . 01 . 02121yaxabbXY14 . 01 . 0yx324 . 04 . 0)(),()|(22222xbYPbYaXPbYaXP3 . 0, 2 . 0yx),(YX222(|)3P XaYbyx, 例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為且滿足且滿足 ，試求，試求 （1） 聯(lián)合概率函數(shù)聯(lián)合概率函數(shù) （2）概率）概率(1,2)iX i 12(0)1P X X 12(,)XX12()P XX101111424irXP

12、 解 （1）由已知條件可得 （2）概率 12XX101110041100441100412()0P XX2.5 隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性與條件分布 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y) 不是兩個(gè)隨機(jī)變量不是兩個(gè)隨機(jī)變量X與與Y的簡單組合，而應(yīng)把它們看作一個(gè)整體，它們與同的簡單組合，而應(yīng)把它們看作一個(gè)整體，它們與同一個(gè)樣本點(diǎn)一個(gè)樣本點(diǎn) 對應(yīng)。二維隨機(jī)變量的概率函數(shù)不對應(yīng)。二維隨機(jī)變量的概率函數(shù)不僅說明了作為一維隨機(jī)變量僅說明了作為一維隨機(jī)變量X、Y取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性性(邊緣分布邊緣分布)，而且還蘊(yùn)含著，而且還蘊(yùn)含著X與與Y之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。這方面的內(nèi)容便

13、是本節(jié)討論的主題。這方面的內(nèi)容便是本節(jié)討論的主題。一、隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、隨機(jī)變量的獨(dú)立性 定義定義2.3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為 如果聯(lián)合概率函數(shù)恰為兩個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積，如果聯(lián)合概率函數(shù)恰為兩個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積，即即 對一切對一切 那么就稱隨機(jī)變量那么就稱隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 , 2 , 1,),(jipbYaXPijji, 2 , 1,jipppjiij 定理定理2.2 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立的充分必要相互獨(dú)立的充分必要條件是，對實(shí)數(shù)軸上任意兩個(gè)集合條件是，對實(shí)數(shù)軸上任意兩個(gè)集合 ，總有，總有 定義定義2.4 如果隨機(jī)變量

14、如果隨機(jī)變量 的聯(lián)合概的聯(lián)合概率函數(shù)恰為率函數(shù)恰為n個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積，即對個(gè)邊緣概率函數(shù)的乘積，即對 的值的值域中任意一個(gè)值域中任意一個(gè)值 ，總有，總有 那么就稱這那么就稱這n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 )()(),(2121SYPSXPSYSXP21,SSnXXX,21iXnixi, 2 , 1,niiinnxXPxXxXP111)(),(nXXX,21 從直觀上不難看出，當(dāng)從直觀上不難看出，當(dāng) 相互獨(dú)立時(shí)，相互獨(dú)立時(shí)，這這n個(gè)隨機(jī)變量中的任意個(gè)隨機(jī)變量中的任意 個(gè)也是相互個(gè)也是相互獨(dú)立的獨(dú)立的 。特別地，。特別地， n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立保證它們個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立保證它們

15、兩兩獨(dú)立。兩兩獨(dú)立。nXXX,21) 12(nkk二、條件概率函數(shù)二、條件概率函數(shù) 定義定義2.5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為 對任意一個(gè)固定的對任意一個(gè)固定的 稱稱 為已知為已知 發(fā)生條件下發(fā)生條件下X（記作（記作“ ”）的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù)(或條件分布律，或條件概率分布或條件分布律，或條件概率分布)。 ),(YX., 2 , 1,),(jipbYaXPijji), 2 , 1(jj, 2 , 1,)(),()|(ippbYPbYaXPbYaXPjijjjijijbY jbYX| 類似地，對任意一個(gè)固定的類似地，對任意一個(gè)固定的 ，稱，稱 為已知為已知 發(fā)生條件下

16、發(fā)生條件下X(記作記作“ ”)的的條件概率函數(shù)條件概率函數(shù)(或條件分布律，或條件概率分布或條件分布律，或條件概率分布)。這里要注意的是當(dāng)這里要注意的是當(dāng)X與與Y相互獨(dú)立時(shí)，立刻可相互獨(dú)立時(shí)，立刻可推得：推得：對一切的對一切的 都成立，此時(shí)，任一條件概率都成立，此時(shí)，任一條件概率函數(shù)都與其邊緣概率函數(shù)相同。函數(shù)都與其邊緣概率函數(shù)相同。), 2 , 1(ii, 2 , 1,)(),()|(jppaXPbYaXPaXbYPiijijiijiaX iaXY|)()|(ijiaXPbYaXP, 2 , 1,ji 例例3 設(shè)隨機(jī)向量設(shè)隨機(jī)向量 的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為 試求：試求：(1) 已知事件

17、已知事件Y=1發(fā)生時(shí)發(fā)生時(shí)X的條件概率函數(shù)；的條件概率函數(shù)； (2) 已知事件已知事件X=2發(fā)生時(shí)發(fā)生時(shí)Y的條件概率函數(shù)。的條件概率函數(shù)。01261416128161810XY),(YX 解：解： 按條件概率函數(shù)的定義，得到按條件概率函數(shù)的定義，得到 （1）所求的）所求的X的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù)(其中其中)為為 （2）所求的）所求的Y的條件概率函數(shù)的條件概率函數(shù)(其中其中 )為為 020121|YX2|XY5352rP727372rP 例例5 已知運(yùn)載火箭在飛行中，進(jìn)入它的儀器已知運(yùn)載火箭在飛行中，進(jìn)入它的儀器艙的宇宙粒子數(shù)艙的宇宙粒子數(shù) 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，而的泊松分布，而進(jìn)入儀器艙的每個(gè)粒子落到儀器重要部位的概率進(jìn)入儀器艙的每個(gè)粒子落到儀器重要部位的概率為為 ，求恰有，求恰有 個(gè)粒子落到儀器重要部位的概率。個(gè)粒子落到儀器重要部位的概率。Xpm 解解 設(shè)設(shè) 表示表示“落到儀器重要部位的粒子數(shù)落到儀器重要部位的粒子數(shù)”，由已知由已知 ，且，且所以，所以，Y)(PXmnmmnppCnXmYP)1 (