橢圓軌道上行星運動速度和能量

1、衛(wèi)星橢圓軌道問題探析 通過對萬有引力知識的學(xué)習(xí)，我們知道，發(fā)射衛(wèi)星的最小速度是（又稱第一宇宙速度），此時衛(wèi)星以最大速度繞地球表面作圓周運動；當(dāng)發(fā)射速度達(dá)時（又稱第二宇宙速度），衛(wèi)星以地球球心為焦點作拋物線運動，當(dāng)然再也不可能返回地球，因為拋物線為非閉合曲線；當(dāng)發(fā)射速度介于和之間時，衛(wèi)星作橢圓運動，并隨發(fā)射速度的增大橢圓越扁，地球為橢圓的一個焦點，發(fā)射點為近地點；當(dāng)衛(wèi)星速度大于而小于第三宇宙速度時，它將在地球引力范圍內(nèi)作雙曲線運動，當(dāng)衛(wèi)星脫離地球引力后，將繞太陽運動成為太陽的一個行星，如果控制發(fā)射速度和軌道，它也可成為其它行星的衛(wèi)星；當(dāng)發(fā)射速度大于第三宇宙速度時，衛(wèi)星將脫離太陽系的束縛，向其他星

2、系運動。對于圓軌道，由于衛(wèi)星受到的萬有引力剛好提供衛(wèi)星運動的向心力，因此可方便地可以求解出衛(wèi)星在圓軌道上運動的速度、加速度、周期等物理量。但對于橢圓軌道，相對來說求解某些問題有一定的困難，下面就衛(wèi)星橢圓軌道的幾個問題逐一分析說明。一、橢圓上任一點的曲率半徑。根據(jù)數(shù)學(xué)知識，曲率半徑由公式給出，為了便于求導(dǎo)，借助橢圓的參數(shù)方程，（a、b分別為橢圓的半長軸、半短軸），把x、y的一、二階導(dǎo)數(shù)代入表達(dá)式，有在遠(yuǎn)地點和近地點，參數(shù)分別取0、代入，得到在橢圓上這兩個點所在處的曲率半徑相同，等于,不等于或，式中c為橢圓焦距。該知識點中的數(shù)學(xué)能力要求已超出高中要求，但是其結(jié)論有必要作適當(dāng)?shù)慕榻B。例題1：某衛(wèi)星沿

3、橢圓軌道繞地球運行，近地點離地球中心的距離是,遠(yuǎn)地點離地球中心的距離為,若衛(wèi)星在近地點的速率為,則衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點時的速率是多少？解析：做橢圓運動的衛(wèi)星在近地點和遠(yuǎn)地點的軌道曲率半徑相同，設(shè)都等于。所以，在近地點時有，在遠(yuǎn)地點時有，上述兩式相比得，故。學(xué)生易錯的解是：衛(wèi)星運行所受的萬有引力提供向心力，在近地點時，有，在遠(yuǎn)地點時有，上述兩式相比得，得，以上錯誤在于認(rèn)為做橢圓運動的衛(wèi)星，在近地點和遠(yuǎn)地點的軌道曲率半徑不同，且分別為c和d，這種錯誤在知道了橢圓曲率半徑的概念后就不會犯了。二、衛(wèi)星在橢圓軌道上運動到任何一點的加速度和向心加速度。根據(jù)牛頓第二定律，衛(wèi)星在橢圓軌道上運動到任何一點的加速度由公式

4、求解，式中R為地球球心到衛(wèi)星的距離，即橢圓的一個焦點到衛(wèi)星的距離。衛(wèi)星在圓軌道上做勻速圓周運動時，萬有引力全部用來提供向心力，這時衛(wèi)星的加速度就是向心加速度，而在橢圓軌道上運動的衛(wèi)星，萬有引力沒有全部用來提供向心力，向心加速度將不再等于衛(wèi)星在軌道上運動的加速度。衛(wèi)星在軌道上某點運動的向心力為，式中r是該點所在橢圓軌道的曲率半徑，向心加速度，在遠(yuǎn)地點，衛(wèi)星受到地球的萬有引力，式中R是衛(wèi)星和地球地心之間的距離。衛(wèi)星此時運動所需要的向心力， ，且，衛(wèi)星此時的加速度等于向心加速度，即，衛(wèi)星之后在萬有引力作用下向地球靠近做向心運動，萬有引力產(chǎn)生兩個作用效果，一方面提供沿軌道切向的切向力，對衛(wèi)星做正功，使

5、衛(wèi)星速率越來越大，另一方面提供向心力，不斷改變衛(wèi)星的運動方向，萬有引力產(chǎn)生的切向加速度和法向加速度即向心加速度之間的關(guān)系，如圖1所示。到達(dá)近地點時，衛(wèi)星之后遠(yuǎn)離地球做離心運動，萬有引力同樣產(chǎn)生兩個作用效果，一方面提供沿軌道切向的切向力，對衛(wèi)星做負(fù)功，使衛(wèi)星速率越來越小，另一方面提供向心力，不斷改變衛(wèi)星的運動方向，直到遠(yuǎn)地點，周而復(fù)始。在整個運動過程中，只有近地點和遠(yuǎn)地點兩個位置，其他位置。例題2：發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，如圖2所示。則在衛(wèi)星分別在1、2、3

6、軌道上正常運行時，以下說法正確的是：A、衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過Q點時的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過Q點時的加速度 B、衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過P點時的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過P點時的加速度 C、衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率 PQ123圖2圖1RR0AB圖3D、衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度 解析：根據(jù)牛頓第二定律可得，即衛(wèi)星的加速度a只與衛(wèi)星到地心的距離有關(guān)，所以A選項錯誤，B選項正確。因為軌道1和軌道3是圓軌道，所以，所以V=，即D選項正確，C選項錯誤。三、衛(wèi)星在橢圓軌道上運動的周期。根據(jù)開普勒第三定律，所有地球的衛(wèi)星，無論軌道是圓，還是橢圓，它們運動周期的平方和半長軸的三次

7、方之比是定值。圓形軌道的半長軸就是圓的半徑。例題3：飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T，如果飛船要返回地面，可在軌道上某一點A處將速率降低到適當(dāng)值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動，橢圓與地球表面在B點相切，地球半徑為R0,如圖3所示。求飛船由A點到B點所需的時間。解析：設(shè)飛船的橢圓軌道的半長軸為，由圖可知.設(shè)飛船沿橢圓軌道運行的周期為T，由開普勒第三定律得：.飛船從A到B的時間.由以上三式求解得四、圓規(guī)道和橢圓軌道之間的變換。根據(jù)例題2可知，在發(fā)射衛(wèi)星的過程中，受運載火箭發(fā)射能力的局限，衛(wèi)星往往不能直接由火箭送入最終運行的空間軌道，而是要在一個橢圓軌道上先行過渡。在地面跟蹤測

8、控網(wǎng)的跟蹤測控下，選擇合適時機(jī)向衛(wèi)星上的發(fā)動機(jī)發(fā)出點火指令，通過一定的推力改變衛(wèi)星的運行速度，通常要在橢圓軌道與圓軌道相切點開動發(fā)動機(jī)進(jìn)行加速來實現(xiàn)變軌，實現(xiàn)發(fā)射目標(biāo)。從圓軌道1變換到橢圓軌道2，火箭要在軌道1和軌道2的相切點附近進(jìn)行助推,讓此時衛(wèi)星受到的萬有引力不足以提供衛(wèi)星運動的向心力，衛(wèi)星開始沿橢圓軌道2做離心運動，速率越來越小，在遠(yuǎn)地點附近衛(wèi)星的速度較小，衛(wèi)星所受的萬有引力大于所需的向心力，衛(wèi)星將做向心運動，在此時對衛(wèi)星進(jìn)行加速，使萬有引力剛好提供衛(wèi)星在軌道3上做圓周運動的向心力，使衛(wèi)星從橢圓軌道2變換到圓規(guī)道3上運行。衛(wèi)星返回時，通過相反的過程回到地面。 例題4：如下圖是我國“嫦娥一

9、號”發(fā)射及繞月簡圖，設(shè)下圖中衛(wèi)星是逆時針方向運動的，閱讀如下材料回答問題：2007年10月25日17時55分，北京航天飛行控制中心對嫦娥一號衛(wèi)星實施首次變軌并獲得成功，首次變軌是在遠(yuǎn)地點發(fā)動機(jī)點火使衛(wèi)星加速的。衛(wèi)星的近地點高度由約200公里抬高到了約600公里，如圖4所示，衛(wèi)星正式進(jìn)入繞地16小時軌道。接下來衛(wèi)星在近地點處還要借助自身發(fā)動機(jī)的推動，經(jīng)過三次變軌即進(jìn)入繞地24小時軌道、繞地48小時軌道，最后進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)過漫長的運行后接近月球，在月球近月點的位置仍要借助自身的發(fā)動機(jī)的作用，使衛(wèi)星的速度發(fā)生變化，被月球引力俘獲后進(jìn)入繞月12小時軌道、繞月3.5小時軌道，最終進(jìn)入繞月127分鐘

10、的圓形軌道，進(jìn)行約一年的月球探索之旅。圖4關(guān)于衛(wèi)星在繞地由16小時軌道到48小時軌道、繞月由12小時軌道到127分鐘軌道的過程中下列說法正確的是（ ）A、衛(wèi)星繞地、繞月運行均需要向后噴氣加速，才能到相應(yīng)的軌道。B、衛(wèi)星繞地運行需要向后噴氣加速，才能到相應(yīng)的軌道。C、衛(wèi)星繞地、繞月運行均需要向前噴氣減速，才能到相應(yīng)的軌道。D、衛(wèi)星繞月運行需要向前噴氣減速，才能到相應(yīng)的軌道。解析：衛(wèi)星在繞地16小時軌道上運行時，到達(dá)近地點處，應(yīng)該是向后噴氣，據(jù)反沖現(xiàn)象得速度增大，所需要的向心力增大，而此時地球與衛(wèi)星之間的引力不變化，即向心力不足，做離心運動，“嫦娥一號”到繞地24小時的軌道上運行。同理到達(dá)預(yù)定時間

11、在近地點加速到繞地48小時軌道上運行，第四次變軌指的是最后一次在近地點加速到地月轉(zhuǎn)移軌道上，這才是真正意義上的奔月。通過分析知B正確。衛(wèi)星在繞月12小時軌道上運行時，到達(dá)近月點處，應(yīng)該是向前噴氣，據(jù)反沖現(xiàn)象使速度減小，所需要的向心力減小，而此時衛(wèi)星所受的引力不變化，即引力大于運動物體所需要的向心力，達(dá)到此條件，物體就要離開原來的軌跡向內(nèi)部做向心運動，“嫦娥一號”到繞月3.5小時的軌道上運行。同理到達(dá)預(yù)定時間在近月點減速到繞月127分鐘軌道上圓周動，通過分析知D正確。五、衛(wèi)星在橢圓軌道上運動的機(jī)械能。衛(wèi)星在軌道上運動的總機(jī)械能等于其動能和勢能之和。根據(jù)萬有引力定律，地球和衛(wèi)星之間的引力勢能為，式

12、中是地球地心和衛(wèi)星之間的距離。動能，衛(wèi)星在運動過程中，不考慮其他星體對它的作用，其機(jī)械能守恒。如圖4所示，A、B兩點為衛(wèi)星運動的近地點和遠(yuǎn)地點，、分別表示衛(wèi)星在這兩點的速度。根據(jù)例題1的結(jié)論，可得，ABbacF圖4衛(wèi)星在A、B兩點的機(jī)械能分別為：，,根據(jù)機(jī)械能守恒，,由（1）（2）（3）（4）式可解得，,把結(jié)果代入（2）和（3）式，得到衛(wèi)星運動的總機(jī)械能。從此式可看出，在以地球為焦點的若干個橢圓軌道中，橢圓的半長軸越長，衛(wèi)星的總機(jī)械能越大，發(fā)射時需要的能量就越大，因此發(fā)射高軌道衛(wèi)星難度較大。以上是針對地球和地球的衛(wèi)星展開討論的，對于太陽系或其他星系中行星橢圓軌道的一些規(guī)律和上述情況類似。衛(wèi)星在

13、橢圓軌道上的速度和能量的一個推論 PQ圖1圖1給出了一個圓軌道和一個橢圓軌道，其中圓軌道的半徑與橢圓軌道的半長軸相等。P、Q兩點為兩軌道的交點。我們要說的推論是：在橢圓軌道上的衛(wèi)星運動到P或Q時，其速率等于在圓軌道上運動的衛(wèi)星的速率。這個命題的證明是簡單的。我可以設(shè)在兩個軌道上運動的衛(wèi)星的質(zhì)量相等而不影響研究它們的速度關(guān)系。這樣一來，由于圓軌道的半徑與橢圓軌道的半長軸相等，由“橢圓軌道上的衛(wèi)星的速度和能量”一文得到的結(jié)論可知，兩物體在各自的軌道上運動過程中機(jī)械能守恒且二者的機(jī)械能相等。當(dāng)橢圓軌道上的衛(wèi)星運動到P點或Q點時，二者具有相同的重力勢能，因而具有相同的動能，從而得到具有相同的速率。 當(dāng)橢圓軌道上的衛(wèi)星運動到P或Q時，有。由上面的結(jié)果可以知道，此時，這正是半徑為a的圓軌道上的衛(wèi)星的運行速率。至此，我們證明了前面提到的推論。我們可以把結(jié)論用文字表述為（如圖1所示）<1>當(dāng)衛(wèi)星在P、Q左邊半個橢圓軌道上運動時，由于，所以有，即大于在圓軌道上運動的衛(wèi)星的速度。<2>當(dāng)衛(wèi)星經(jīng)過P、Q點時，由于有由于，所以有，即等于在圓軌道上運動的衛(wèi)星的速度。<3>當(dāng)衛(wèi)星在P、Q右邊半個橢圓軌道