汽車行駛的路程.

1、利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運 動動路程與時間的關(guān)系，求物體運動速度”路程與時間的關(guān)系，求物體運動速度” 的的問題問題 引引 入入 反之，如果已知物體的速度與時間的反之，如果已知物體的速度與時間的關(guān)系，如何求其在一定時間內(nèi)經(jīng)過的路程關(guān)系，如何求其在一定時間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？呢？1.5.2 1.5.2 汽車行駛的路程汽車行駛的路程分析：分析：與求曲邊梯形面積類似，采取與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代“以不變代變”變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題把區(qū)間為勻速直線運動的路程問題把區(qū)間0,1

2、分成分成n個小個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于( )v t的變化很小，可以的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得S（單位：（單位：kmkm）的近似值，最后讓）的近似值，最后讓n趨緊于無窮大就得到趨緊于無窮大就得到S（單（單位：位：kmkm）的精確值）的精確值 （思想：思想：用化歸為各個小區(qū)間上用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程） 速直線運動的

3、路程） 1SD2SD2( )2v ttO Ov t t12ggggg3SDjSD1nS-D1n2n3njn 上圖中上圖中: :所有小矩形的面積之和所有小矩形的面積之和, ,其極其極限就是由直線限就是由直線x=0,x=1x=0,x=1和曲線和曲線v(t)=-tv(t)=-t2 2+2+2所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積. .即路程即路程S.S.解：解：1 1分割分割 在時間區(qū)間在時間區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入1n個點，個點，將區(qū)間將區(qū)間0,1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間： 10,n，1 2,n n，1,1nn 記第記第i個區(qū)間為個區(qū)間為1,(1,2, )iiinnn，

4、其長度為，其長度為11iitnnn 把汽車在時間段把汽車在時間段10,n，1 2,n n，1,1nn上行上行駛的路程駛的路程分別記作：分別記作：1S，2S，nS 顯然，顯然，1niiSS （2 2）近似代替）近似代替 當當n很大，即很大，即t很小時，在區(qū)間很小時，在區(qū)間1,iinn上，可以認為函數(shù)上，可以認為函數(shù) 22v tt 的值變化很的值變化很小， 近似的等于一個常數(shù)， 不妨認為它近似的等于左端小， 近似的等于一個常數(shù)， 不妨認為它近似的等于左端點點1in處的函數(shù)值處的函數(shù)值2112iivnn ，從從物理意義物理意義上看，上看，即使汽車在時間段即使汽車在時間段1,iinn(1,2, )in

5、上的上的速度變化很小， 不妨認為它近似地以時刻速度變化很小， 不妨認為它近似地以時刻1in處的速度處的速度2112iivnn 作勻速直線運動作勻速直線運動 即使汽車在時間段即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變即使汽車在時間段即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速” ，于是的用小矩形的面積速” ，于是的用小矩形的面積iS近似的代替近似的代替iS，則有則有 21112iiiiSSvtnnn 2112(1,2, )iinnnn （3 3）求和）求和 由由得，得， 21111112nnnniiiiiiSSvtnnnn = =221111102nnnnnn = =222311212nn = = 3121126nnnn=

6、 =11111232nn 從而得到從而得到S的近似值的近似值 11111232nSSnn （4 4）取極限）取極限 當當n趨向于無窮大時，即趨向于無窮大時，即t趨向于趨向于 0 0 時，時，11111232nSnn 趨向于趨向于S， 從而有從而有111limlimnnnniiSSvnn 1115lim112323nnn 思考：思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程為汽車行駛的路程S 與與由直線由直線0,1,0ttv和曲線和曲線22vt 所圍成的曲邊梯形的面積有什所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？么關(guān)系？ 結(jié)合上述求解過程可知結(jié)合上述求解過程可知，汽車

7、行駛的路程，汽車行駛的路程limnnSS在數(shù)據(jù)上等于在數(shù)據(jù)上等于由直線由直線0,1,0ttv和曲線和曲線22vt 所圍成的曲邊梯形的面積所圍成的曲邊梯形的面積 思考思考一般地，如果物體做變速直線運動，速度函一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為數(shù)為 vv t， 那么我們也可以采用分割、 近似代， 那么我們也可以采用分割、 近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在的方法及無限逼近的思想，求出它在a atb b內(nèi)內(nèi)所作的位移所作的位移S 結(jié)論結(jié)論練習(xí)：練習(xí)：彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量彈簧在拉伸的過程中，力與伸

8、長量成正比， 即力成正比， 即力 F xkx（k為常數(shù)，為常數(shù)，x是伸長量） ，是伸長量） ，求彈簧從平衡位置拉長求彈簧從平衡位置拉長b所作的功所作的功 練習(xí)練習(xí) 練習(xí)練習(xí)所以得到彈簧從平衡位置拉長所以得到彈簧從平衡位置拉長b所作的功為：所作的功為：22kb 2lim2nnkbWW111222221 11 ()(1)1 (1)(1)22nniinniiniWWWibibFbkbnnnnkbkbnnkbinnn解解：解： 將物體用常力將物體用常力F沿力的方向移動距離沿力的方向移動距離x，則所，則所作的功為作的功為WF x （1 1） 分割 分割 在區(qū)間在區(qū)間0,b上等間隔地插入上等間隔地插入1n個點，個點，將區(qū)間將區(qū)間0,1等分成等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間： 0,bn，2,bbnn，1,nbbn 記第記第i個區(qū)間為個區(qū)間為1,(1,2, )ib i binnn， 其長度為其長度為1ibi bbxnnn 把在分段把在分段0,bn， （2 2）近似代替）近似代替 有條件知：有條件知：11iibib bWFxknnn (1,2, )in 2,bbnn，1,nbbn上所作的功上所作的功分別記作：分別記作：1W，2W，nW （3 3）求和）求和 111nnniiiib bWWknn = =220 121kbnn 2221112