第1章真空中的靜電場(chǎng)總結(jié)

1、第1章 真空中的靜電場(chǎng)1.1 復(fù)習(xí)筆記§11一、 電荷與庫侖定律一1、電荷與電荷守恒定律（1）電荷的分類正電荷：是指與把絲綢摩擦過的玻璃棒上的電荷性質(zhì)相同的電荷稱為正電荷；負(fù)電荷：是指，與毛皮摩擦過的橡膠棒上的電荷性質(zhì)相同的電荷稱為負(fù)電荷電荷是帶電基本粒子的一種屬性（2）電荷的量子化概念：實(shí)驗(yàn)上又發(fā)現(xiàn)所有帶電基本粒子的電荷電量都是電子電荷電量絕對(duì)值e的正、負(fù)整數(shù)倍，而e的精確值實(shí)驗(yàn)測(cè)得為e=1.6021892（46）×10-19C所以自然界任何宏觀帶電體所帶電荷電量的最小變化量為e，即帶電體電量的改變是一份一份地增加或減小，每一份的電量值為e，這稱為電荷的量子化特征：電量e

2、對(duì)宏觀電磁測(cè)量儀器來說是太很小了，以至于e電量對(duì)宏觀測(cè)量帶來的影響無法察覺，所以在以研究宏觀電磁現(xiàn)象規(guī)律為其內(nèi)容的經(jīng)典電磁學(xué)中，一般不考慮電荷的量子化，任何宏觀帶電體的電量變化量q宏觀上仍可看做是連續(xù)變化的隨意小量（3）電荷守恒定律大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)表明：對(duì)于任何一個(gè)沒有凈電量出入其邊界面的物質(zhì)系統(tǒng)（稱為電孤立系統(tǒng)），不管系統(tǒng)內(nèi)的物質(zhì)如何運(yùn)動(dòng)或變化，系統(tǒng)內(nèi)正、負(fù)電荷電量的代數(shù)和，即系統(tǒng)的總電量將保持不變，這是一條自然界的普遍規(guī)律，稱為電荷守恒定律。對(duì)于摩擦起電來說，摩擦前的玻璃棒和絲綢可看做一個(gè)電孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的總電量為零，摩擦后，玻璃棒上帶的正電荷電量q一定等于絲綢上帶的負(fù)電荷電量-q，系統(tǒng)總的電

3、量仍等于零。如果以玻璃棒作為我們的研究系統(tǒng)，在同絲綢接觸摩擦?xí)r，這不是一個(gè)電孤立系統(tǒng)，摩擦過程中玻璃棒里的部分電子將帶著負(fù)電荷通過其表面（邊界面）跑到絲綢上，或者說通過玻璃棒的邊界面有正電荷從絲綢流到了玻璃棒上，摩擦前后玻璃棒上電量的改變量就等于摩擦過程中從玻璃棒表面流進(jìn)的正電荷電量。因此，電荷守恒定律也可以這樣另一種表敘述：一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)電荷總電量的改變量等于通過其邊界流入人的凈電荷電量電荷守恒定律的這種表述其數(shù)學(xué)表達(dá)式，我們將在第3章中給出電荷守恒定律，不管在宏觀領(lǐng)域還是在微觀領(lǐng)域都是成立的。譬如在核反應(yīng)、核衰變、核聚變乃至基本粒子的產(chǎn)生、湮沒過程中，都是成立的。下面是太陽上核聚變反應(yīng)的一種可

4、能鏈?zhǔn)椒磻?yīng)過程：其中，每一步反應(yīng)都遵守電荷守恒定律，高能光子在重核作用下產(chǎn)生正、負(fù)電子的過程也滿足電荷守恒定律。最后需指出，大量事實(shí)表明，帶電體所帶電荷的電量與帶電體的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān)，帶電體相對(duì)于不同的參考系，其運(yùn)動(dòng)速度是不同的，但其電荷電量是相同的，這與物體的質(zhì)量隨其速度變化而改變不同，稱之為即電荷的相對(duì)論不變性二、2庫侖定律（1）點(diǎn)電荷定義：點(diǎn)電荷是指任何兩個(gè)帶電體之間都有相互作用力，兩個(gè)靜止帶電體間的相互作用力，一般與兩帶電體所帶的電量、兩帶電體的形狀、大小、電荷在它們上面的分布情況以及它們之間的相對(duì)距離都有關(guān)系實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，隨著兩帶電體之間的距離增大，它們之間的作用力受它們的大小、形狀及電荷

5、分布情況的影響會(huì)減小當(dāng)兩個(gè)帶電體之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于它們本身的線度時(shí)，它們之間的相互作用力受它們的大小、形狀及電荷分布情況的影響可以忽略，在這種情況下，兩個(gè)帶電體可以簡化為兩個(gè)具有一定電荷電量的空間點(diǎn)，這種具有一定電量而且可以忽略其體積大小、形狀及其電荷分布情況對(duì)所討論問題的影響的帶電體，稱為點(diǎn)電荷特征：“點(diǎn)電荷”與力學(xué)中的“質(zhì)點(diǎn)”一樣，是抽象化了的理想模型，借助這種模型，可以把很小的帶電體所帶電量與其空間位置這兩個(gè)因素在所討論的問題中突出出來進(jìn)行研究，而把帶電體的大小、形狀及其上的電荷分布等次要因素忽略掉，從而使問題得以簡化，待主要因素對(duì)問題的影響關(guān)系搞清楚之后，再去研究那些次要因素對(duì)問題的影

6、響就方便多了這種借理想模型使問題簡化的方法，是物理學(xué)中研究問題的一種重要方法（2），也是“抓主要矛盾”這一原則的具體運(yùn)用直到18世紀(jì)中葉，人們對(duì)電磁現(xiàn)象的研究基本還處于定性的觀察摸索階段1785年，法國物理學(xué)家?guī)靵觯–ACoulomb，17361806）利用他自己設(shè)計(jì)的庫侖扭秤研究了兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的靜止帶電體之間的相互作用力，并發(fā)表了著名的庫侖定律，從此電磁學(xué)的研究才進(jìn)入了定量的實(shí)驗(yàn)研究階段庫侖定律用文字表述為概念：真空中兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的作用力與它們所帶電荷的電量乘積成正比，與它們之間的距離平方成反比作用力的方向沿它們之間的連線，同性電荷為斥力異性電荷為引力表達(dá)式a式中如果用q1、，q2

7、分別表示兩個(gè)點(diǎn)電荷的電量，r21=r21，表示從點(diǎn)電荷q1到點(diǎn)電荷q2的距離矢量（r12為q1與q2之間的距離，為從q1指向q2方向的單位矢量），表示從點(diǎn)電荷q2到點(diǎn)電荷q1的距離矢量（r21=r21，仍為q1與q2之間的距離；為從q2指向q1方向的單位矢量），則按庫侖定律，點(diǎn)電荷q1作用于點(diǎn)電荷q2的靜電力f12和點(diǎn)電荷q2作用于點(diǎn)電荷q1的作用力，f21分別為b顯然，f21=-f21，兩靜止電荷間的靜電力滿足牛頓第三定律（111）式和（111）式是庫侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它們一方面表明兩靜止點(diǎn)電荷間的靜電力（也叫庫侖力）與它們的電量q1，q2的乘積成正比，與其距離r12=r21的平方成反比，

8、作用力的方向沿其連線；另一方面也表明了兩點(diǎn)電荷所帶電荷同性（即q1，q2同為正值或同為負(fù)值）時(shí)，f12和，f21指向它們相互遠(yuǎn)離的方向，即為斥力，所帶電荷異性（即q1，q2一個(gè)取正值一個(gè)取負(fù)值）時(shí)，f12和f21指向它們相互趨近的方向，即為引力如圖11所示圖11 兩點(diǎn)電荷q1q2間的相互作用力庫侖定律數(shù)學(xué)表達(dá)式中的比例系數(shù)k的數(shù)值與單位，取決于公式中各物理量的單位選擇，而各量單位的選擇取決于所采用的單位制本書采用MKSA單位制，即國際單位制（SI）中的電磁單位部分在這種單位制中，取長度、質(zhì)量、時(shí)間和電流為基本量，其他電磁學(xué)中的物理量為導(dǎo)出量基本量的單位分別規(guī)定為米（m）、千克（kg）、秒（s）

9、和安培（A），導(dǎo)出量的單位由導(dǎo)出量與基本量之間的基本關(guān)系式導(dǎo)出來，如電量q與基本量電流I和時(shí)間t有關(guān)系q=It，在MKSA單位制中，電量q的單位就是安培·秒（A·s），并命名為庫侖（C），即1A·s=lC，由于庫侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，電量單位為庫侖（C）、距離單位為米（m）、力的單位為牛頓（N），式中所有物理量的單位均已確定，在這種情況下，公式中的比例系數(shù)k的數(shù)值和單位就不能隨便設(shè)定了，只能由實(shí)驗(yàn)來確定在MKSA單位制中，通常用另一個(gè)實(shí)驗(yàn)測(cè)定的常量0來代替k，0與k的關(guān)系是常量0稱為真空介電常量，目前實(shí)驗(yàn)上測(cè)得0的最精確值為0=8.854187818（71）

10、15;10-12C2·N-1·m-2一般計(jì)算中0取近似值0=8.85×10-12 C2·N-1·m-2，則相應(yīng)地，比例系數(shù)k的值取值得注意的是，k和0都不是一個(gè)單純的數(shù)值，它們都有單位和量綱在MKSA單位制中，一個(gè)物理量的量綱是通過它與4個(gè)基本量長度（L）、質(zhì)量（M）、時(shí)間（T）和電流（I）的基本關(guān)系式來確定的如電量q與電流、時(shí)間的基本關(guān)系式為q=It，電量q的量綱就是q=IT0的量綱由庫侖定律給出，為c用代替比例系數(shù)k后，庫侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為庫侖定律是電學(xué)中的基本定律，是整個(gè)靜電學(xué)的基礎(chǔ)正因?yàn)槿绱?，從它被發(fā)現(xiàn)至今雖已經(jīng)歷漫長的200多年時(shí)間

11、，人們對(duì)它依然十分關(guān)注關(guān)注的焦點(diǎn)是兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力與其距離平方成反比的精確程度和適用范圍早在庫侖定律發(fā)現(xiàn)之前，1773年英國物理學(xué)家卡文迪許（HCavendish）就通過實(shí)驗(yàn)研究過點(diǎn)電荷間的作用力與其距離平方成反比的關(guān)系（詳見第2章），而且根據(jù)他所使用儀器的精度，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)力，其中0.02，可惜卡文迪許的工作當(dāng)時(shí)未能發(fā)表，直到1879年才由英國著名物理學(xué)家麥克斯韋（JCMaxwell，18311879）整理公諸于世，而且麥克斯韋更精確地重復(fù)了卡文迪許的實(shí)驗(yàn)，得出5×10-51936年，普里姆頓（SJPlimpton）和洛頓（WELawton）采用靈敏靜電計(jì)重做此實(shí)驗(yàn)，得出2&#

12、215;10-91971年，威廉斯（ERWilliams）等人的實(shí)驗(yàn)證實(shí)（2.7±3.1）×10-16總之，越來越精確的實(shí)驗(yàn)證實(shí)，庫侖力的平方反比律是正確的至于庫侖力的平方反比律的適用范圍問題，也是人們所關(guān)注的課題庫侖力的平方反比律是庫侖從兩個(gè)小帶電體相距幾十厘米的距離范圍的實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出來的，如果電荷間的距離遠(yuǎn)小于幾十厘米，譬如說小至10-8cm，甚至更小，或者說距離遠(yuǎn)大于幾十厘米，譬如說幾千米，平方反比律還適用嗎？從帶e電量的質(zhì)子和帶-e電量的電子組成的氫原子發(fā)出的氫原子光譜推論看，電子、質(zhì)子相距10-8 cm的尺度，它們之間的庫侖力仍滿足平方反比律關(guān)系1911年，盧瑟福

13、（ERutherford，18711937）的粒子（帶2e電荷的氦原子核）散射實(shí)驗(yàn)證實(shí)，粒子同散射核間距離小至10-12 cm，它們之間的庫侖力仍遵守平方反比律高能電子、質(zhì)子間的散射實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在10-13CITl尺度上，庫侖力的平方反比律也基本上是正確的；小至10-14cm時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與平方反比律預(yù)測(cè)的結(jié)果已有明顯差別這種差別到底是因?yàn)樵谶@么小的距離范圍內(nèi)電子、質(zhì)子已不能視為點(diǎn)電荷了，還是庫侖力的平方反比律失效了，目前還無法下肯定結(jié)論.至于在大距離范圍內(nèi)庫侖力的平方反比律的正確性問題，目前實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證還不多但按電磁場(chǎng)的量子理論分析，如果在大距離范圍內(nèi)庫侖力的平方反比律失效，組成電磁波的光子將具有非

14、零的靜止質(zhì)量，這將導(dǎo)致光在真空中的傳播速度隨波長不同而發(fā)生變化的色散現(xiàn)象從現(xiàn)代測(cè)量真空中光速的實(shí)驗(yàn)精確度看，庫侖力的平方反比律至少在千米量級(jí)的距離范圍內(nèi)是準(zhǔn)確的總之，有充分理由相信，庫侖定律在10-13 cm至若干千米的廣闊范圍內(nèi)是準(zhǔn)確可靠的，以它為基礎(chǔ)導(dǎo)出的電磁學(xué)結(jié)論也是毋庸置疑的在講到庫侖定律時(shí)，自然地會(huì)聯(lián)想到萬有引力定律它們形式上很相似，都遵守平方反比律但這是兩類性質(zhì)不同的力，一種來源于物質(zhì)的電荷，而另一種來源于物質(zhì)的引力質(zhì)量，兩種力的強(qiáng)度也相差甚遠(yuǎn)，以氫原子的電子、質(zhì)子之間這兩種力的大小作一比較，即另外，帶電體間的靜電力可以是引力也可以是斥力，而物體間的萬有引力只存在引力，帶電體間的靜

15、電力是可以屏蔽的，而物體間的萬有引力是無法屏蔽的3三、兩任意帶電體間的靜電力（1）點(diǎn)電荷組：大量實(shí)驗(yàn)表明：兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷間的靜電力不因其他電荷的存在而改變因此，是指如果由分布在r1，r2，ri，rN處的所帶電荷量為有q1，q2，qi，qN的N個(gè)點(diǎn)電荷組成的一個(gè)帶電系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱為點(diǎn)電荷組（2）靜電力的疊加原理概念：點(diǎn)電荷組中的第i個(gè)點(diǎn)電荷qi到位于r0的q點(diǎn)電荷的距離矢量為ri0=r0ri，則由庫侖定律可以得出，點(diǎn)電荷組中N個(gè)點(diǎn)電荷對(duì)q0點(diǎn)電荷的靜電力為此式表明：N個(gè)點(diǎn)電荷對(duì)另一q0點(diǎn)電荷的靜電力，等于N個(gè)點(diǎn)電荷中每個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)對(duì)點(diǎn)電荷q0的靜電力的矢量和，這稱為靜電力的疊加原理表達(dá)式

16、（3）點(diǎn)電荷只是一種理想模型，實(shí)際的帶電體都有一定的大小、形狀和電荷在帶電體上的具體分布情況分類體電荷分布帶電體：是指有的帶電體的電荷連續(xù)地分布于帶電體體積內(nèi)的各個(gè)地方，這稱為體電荷分布的帶電體；面電荷分布帶電體：是指帶電體有的電荷連續(xù)分布于厚度極薄的一層面上，稱為面電荷分布的帶電體；線電荷分布帶電體：是指帶電體有的電荷連續(xù)分布于橫截面極小的一條線上，稱為線電荷分布帶電體（4）體電荷密度V和q分別為為了描述體電荷帶電體上的電荷（簡稱體電荷）在帶電體內(nèi)分布的情況，可以設(shè)想將帶電體分割成許許多多體積非常小的小帶電體，每個(gè)小帶電體的體積設(shè)想分割得足夠小，以至于其內(nèi)的電荷分布可視為是均勻分布，這樣的小

17、帶電體稱為體電荷帶電體的體電荷元設(shè)帶電體內(nèi)r處的體電荷元的體積為V，所帶的電荷和電量為q，則定義為體電荷分布帶電體的體電荷密度，它表示帶電體內(nèi)r處單位體積的電量，通過體電荷密度函數(shù)（r）可以能定量地描述體電荷在帶電體內(nèi)各處的分布情況對(duì)于帶電體內(nèi)電荷均勻分布的情況時(shí)，（r）在帶電體內(nèi)處處相等，并且，其中q、，V分別為帶電體的電荷電量和帶電體的體積（5）面電荷密度S和q分別為類似地分析，為了描述面電荷分布帶電體上的電荷（簡稱面電荷）在帶電面上的分布情況，可設(shè)想將帶電面分割成許多面積很小、其中電荷可視為均勻分布的面電荷元，帶電面上r處面電荷元的面積和電量若為S和q，則稱為面電荷密度，它表示帶電面上r

18、處單位面積上的電荷電量通過面電荷密度函數(shù)（r）可以能描述面電荷在帶電面上各處分布的情況帶電面的對(duì)于電荷均勻分布的帶電面時(shí)，其中qg、，S分別為帶電面上的電荷電量和帶電面面積（6）線電荷密度對(duì)于線電荷分布的帶電體，可設(shè)想將其分割成許多長度很短、其上電荷可視為均勻分布的線電荷元，若l和q為帶電線上r處線電荷元的長度和所帶電量，則稱為線電荷密度，它表示帶電線上，r處單位長度上分布的電量通過（r）可以定量描述帶電線上各處電荷分布的情況帶點(diǎn)線的對(duì)于電荷均勻分布的帶電線時(shí)，其線電荷密度其中q，l分別為帶電線的電荷電量和帶電線的長度（7）兩任意帶電體間的靜電力設(shè)一個(gè)帶電體的位置為r，另一帶電體（包含點(diǎn)電荷）

19、的位置為r0，則體、面、線電荷分布帶電體對(duì)任一點(diǎn)電荷q0作用力aa按照任何宏觀物體都可以進(jìn)行宏觀上的無限分割的設(shè)想，一個(gè)體積為V、帶電量為q的體電荷分布帶電體，總可以被看成是由許多體積為宏觀上無限?。╠V）、且可被視為點(diǎn)電荷的體電荷元組成的若帶電體的體電荷密度為（r），則這種可視為點(diǎn)電荷的體電荷元的電量為（r）dV因此，這個(gè)連續(xù)體電荷分布帶電體對(duì)位于r0處的點(diǎn)電荷q0的靜電作用力，按（113）式應(yīng)為b同樣，一個(gè)帶電面面積為S、面電荷密度為（r）的面電荷對(duì)位于r0處點(diǎn)電荷q0的靜電作用力為帶電面c一個(gè)長為l、線電荷密度為（r）的帶電線對(duì)位于r0處點(diǎn)電荷q0的靜電作用力為兩個(gè)帶電體、帶電面、帶點(diǎn)線

20、之間的靜電作用力a帶電體b同樣，帶電面c帶電線4總之，通過（1110）式、（1111）式和（1112）式，原則上對(duì)兩個(gè)已知電荷分布情況的任意體電荷、面電荷和線電荷間的靜電作用力都可以求得本書采用MKSA單位制（1）基本量：，即國際單位制（SI）中的電磁單位部分。在這種單位制中，取長度、質(zhì)量、時(shí)間和電流（2）為基本量，其他電磁學(xué)中的物理量為導(dǎo)出量?；玖康膯挝唬悍謩e規(guī)定為米（m）、千克（kg）、秒（s）和安培（A）（3），導(dǎo)出量的單位：一般由導(dǎo)出量與基本量之間的基本關(guān)系式導(dǎo)出來，如電量q與基本量電流I和時(shí)間t有關(guān)系q=It，在MKSA單位制中，電量q的單位就是安培·秒（A·s

21、），并命名為庫侖（C），即1A·s=lC，由于庫侖定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，電量單位為庫侖（C）、距離單位為米（m）、力的單位為牛頓（N），式中所有物理量的單位均已確定，在這種情況下，公式中的比例系數(shù)k的數(shù)值和單位就不能隨便設(shè)定了，只能由實(shí)驗(yàn)來確定。（4）在MKSA單位制中，一個(gè)物理量的量綱基本量的量綱：是通過它與4個(gè)基本量長度（L）、質(zhì)量（M）、時(shí)間（T）和電流（I）（5）的基本關(guān)系式來確定的。如電量q與電流、時(shí)間的基本關(guān)系式為q=It，電量q的量綱就是q=IT。0的量綱由庫侖定律給出，為§12 二、電場(chǎng)與電場(chǎng)強(qiáng)度 一、1電場(chǎng)由上述討論可以知道，兩個(gè)相距一段距離的帶電體之間存在

22、著相互作用的電力，在第4章中還會(huì)看到兩個(gè)相距一段距離的電流之間存在著相互作用的磁力，兩個(gè)相距一段距離的物體之間存在著萬有引力兩個(gè)不相接觸的物體間怎么會(huì)發(fā)生相互作用呢？或者說，兩個(gè)彼此相隔一定空間距離的物體之間的相互作用是怎樣傳遞的呢？關(guān)于這個(gè)問題，在物理學(xué)的發(fā)展歷史中曾有過兩種不同觀點(diǎn)的長期爭(zhēng)論一種觀點(diǎn)認(rèn)為：相隔一定距離的兩個(gè)物體間的相互作用可以直接地、勿需中間媒介地發(fā)生，這種作用的傳遞速度無限大，因此，這種作用無需傳遞時(shí)間和傳遞過程，稱之為超距作用按此觀點(diǎn)，兩帶電體間的電相互作用模式為另一種觀點(diǎn)認(rèn)為：不存在超距作用，相隔一定距離的兩帶電體（或載流體）之間之所以會(huì)發(fā)生電（或磁）相互作用，是由于

23、宇宙空間存在著能傳遞電（磁）相互作用的“以太”，通過這種看不見、摸不著的“以太”介質(zhì)同帶電體（或載流體）的近距接觸，來傳遞電荷（或電流）間電（或磁）的相互作用隨著對(duì)電磁現(xiàn)象認(rèn)識(shí)的深入，人們發(fā)現(xiàn)電和磁之間是相互聯(lián)系的當(dāng)帶電系統(tǒng)的電荷分布隨時(shí)間作周期性變化時(shí)，將會(huì)有電磁擾動(dòng)以橫波的方式在空間傳播，這種波稱為電磁波并且發(fā)現(xiàn)電磁波的傳播速度與光速相同，在真空中的速度為f3×108 m·S-1這種發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致人們相信光和電磁波是一種東西如果把電磁波或者說光波看成是“以太”介質(zhì)振動(dòng)的傳播波，就像聲波是空氣的振動(dòng)傳播的縱波那樣，由于電磁波（光波）是速度很快的橫波，則“以太”應(yīng)是透明、感覺不到

24、其存在的固體，其剛性模量遠(yuǎn)比鋼鐵還要硬，這實(shí)在是無法想象的東西1887年，邁克耳孫和莫雷測(cè)量“以太風(fēng)”的實(shí)驗(yàn)，完全否定了這種“以太”的存在“以太”的被否定和電磁波（光波）在真空中以有限速度C的傳播，使人們終于認(rèn)識(shí)到，任何帶電體的周圍空間中都存在著由電荷激發(fā)產(chǎn)生的電場(chǎng)，而任何載流體的周圍空間中都存著由電流激發(fā)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，電磁波正是這種電、磁場(chǎng)隨時(shí)間振動(dòng)變化的傳播，而相隔一定距離的兩帶電體間的電相互作用，實(shí)際上是兩帶電體彼此都在對(duì)方電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)里而受到的電場(chǎng)作用自然界并不存在超距作用，從近代物理學(xué)的觀點(diǎn)看，自然界物質(zhì)間的4種相互作用，即引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強(qiáng)相互作用，都是通過

25、物體周圍空間中存在的場(chǎng)對(duì)對(duì)方作用的任何帶電體電荷周圍都存在著電場(chǎng)，進(jìn)入這個(gè)電場(chǎng)的帶電體電荷都受到這個(gè)電場(chǎng)的作用，這就是帶電體間電相互作用的圖像（1）這種帶電體電荷間的電相互作用模式可表示為（2）靜電場(chǎng)需要指出的是，在電荷周圍空間引出電場(chǎng)和在電流周圍空間引出磁場(chǎng)，并不是為了便于理解電相互作用和磁相互作用，也不是一種處理問題的方法，而是因?yàn)殡妶?chǎng)和磁場(chǎng)都是切切實(shí)實(shí)的客觀存在隨時(shí)間振動(dòng)變化的電磁場(chǎng)（電磁波）甚至?xí)撾x產(chǎn)生它的源（振動(dòng)變化的電荷系統(tǒng)）而獨(dú)立存在所以電場(chǎng)、磁場(chǎng)或電磁波本身就是一種客觀存在的物質(zhì)，是與實(shí)體物質(zhì)不同的一種物質(zhì)存在形態(tài)：是指帶電體上的電荷分由攜帶布如果是不隨時(shí)間變化的靜止電荷的帶

26、電體，其周圍空間中的電場(chǎng)分布也產(chǎn)生的是不隨時(shí)間變化的電場(chǎng)，這種電場(chǎng)稱為靜電場(chǎng)本章和下一章就先來討論這種靜電場(chǎng)二、2電場(chǎng)強(qiáng)度（場(chǎng)強(qiáng)）（1）定義任何帶電體上的電荷都會(huì)在其周圍空間產(chǎn)生電場(chǎng)電場(chǎng)的最基本特征是對(duì)進(jìn)入其存在空間的其他電荷產(chǎn)生電作用力為定量地研究電場(chǎng)，我們引入一個(gè)這樣的電荷：其電量q很小，以便它引入電場(chǎng)后不會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生電場(chǎng)的電荷分布發(fā)生變化；同時(shí)，這個(gè)電荷的幾何線度很小，以至于可將其視為點(diǎn)電荷，從而通過它能研究電場(chǎng)空間各點(diǎn)的電場(chǎng)性質(zhì)這種電荷稱為試探點(diǎn)電荷將試探點(diǎn)電荷置于所研究的電場(chǎng)，設(shè)試探點(diǎn)電荷在電場(chǎng)r處受的電場(chǎng)力為F0，則F0應(yīng)與q0和反映r處電場(chǎng)性質(zhì)的一個(gè)矢量E（r）有關(guān)，設(shè)F0=q0E

27、（r），則特點(diǎn)：場(chǎng)強(qiáng)是一個(gè)與試探點(diǎn)電荷q0無關(guān)、完全反映r處電場(chǎng)本身性質(zhì)的物理量（2）大?。悍从畴妶?chǎng)本身性質(zhì)的物理量E稱為電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度，簡稱場(chǎng)強(qiáng)定量描述電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E是一個(gè)矢量電場(chǎng)空間的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于一個(gè)矢量E，用來描述該點(diǎn)的電場(chǎng)情況，因此電場(chǎng)是一個(gè)矢量場(chǎng)電場(chǎng)中r處的電場(chǎng)強(qiáng)度E（r）的大小等于單位正電荷在該處所受電場(chǎng)力的大?。?）方向：，E（r）的方向與正電荷在該處所受電場(chǎng)力的方向相同，（4）單位：牛頓·庫侖-1，符號(hào)為N·C-1或伏特·米-1，符號(hào)為V·m-1（5）勻強(qiáng)電場(chǎng)：是指對(duì)于電荷分布不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)來說，其電場(chǎng)強(qiáng)度E只是空間位

28、置r的函數(shù)，不同位置r處的E，其大小、方向一般都不相同若電場(chǎng)空間各點(diǎn)處E的大小、方向都相同，則這種的電場(chǎng)稱為均勻電場(chǎng)均勻電場(chǎng)只是一種特殊的電場(chǎng)（6）在MKSA單位制中，電場(chǎng)強(qiáng)度E的量綱E和單位，從（121）式可以看出為E=MLT-3I-1，單位為牛頓·庫侖-1，簡寫為N·C-1以后會(huì)看到，N·C-1不是電場(chǎng)強(qiáng)度E的常用單位，在MKSA單位制中，E的常用單位是伏特·米-1，簡寫為V·m-1下面我們來討論具體電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度首先來討論點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度若有一電量為q的點(diǎn)電荷，取其所在位置為坐標(biāo)系原點(diǎn)O將一試探點(diǎn)電荷q0放置在電場(chǎng)中的位置r處，由庫侖

29、定律知道，q0所受靜電力為其中，r為試探點(diǎn)電荷q0到點(diǎn)電荷q的距離為點(diǎn)電荷指向試探點(diǎn)電荷方向的單位矢量由電場(chǎng)強(qiáng)度的定義（121）式，得到點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為此式為點(diǎn)電荷電場(chǎng)在空間的場(chǎng)強(qiáng)分布公式，式中q是點(diǎn)電荷的電量若點(diǎn)電荷帶的圖12點(diǎn)電荷電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)分布是正電荷，即q>0，則E（r）的方向?yàn)橐詑為原點(diǎn)的位矢方向如圖12（a）所示；若點(diǎn)電荷帶負(fù)電荷，即q<0，則E（r）的方向?yàn)橐詑為原點(diǎn)的位矢反方向如圖12（b）所示，E（r）的大小與點(diǎn)電荷的電量q成正比，與到點(diǎn)電荷q的距離r的平方成反比，電場(chǎng)呈球?qū)ΨQ分布三、3場(chǎng)強(qiáng)疊加原理與任意帶電體電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度（1）場(chǎng)強(qiáng)疊加原理由前面11

30、節(jié)中關(guān)于靜電力的疊加原理的討論可知，N個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2，qN組成的點(diǎn)電荷組對(duì)位于r處的一個(gè)試探電荷q0的靜電力為其中，fi，0為點(diǎn)電荷組中第i個(gè)點(diǎn)電荷qi對(duì)試探電荷q0的作用力根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的定義，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電場(chǎng)在空間r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為這里，為點(diǎn)電荷組中第i個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)在r處的電場(chǎng)強(qiáng)度（123）式表明：若干點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和，這稱為電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)疊加原理（2）任意帶電體電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度由于任何帶電系統(tǒng)都可以分割成許多可視為點(diǎn)電荷的電荷元的集合，根據(jù)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度公式（122）式和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理（123）式，原則上我們可

31、以求出任何帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度下面我們分幾種情況，討論不同帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)強(qiáng)度圖13 電偶極子的電場(chǎng)1點(diǎn)電荷組的電場(chǎng)強(qiáng)度假設(shè)有N個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2，qi，qN組成一點(diǎn)電荷組，點(diǎn)電荷組中N個(gè)點(diǎn)電荷的空間位置分別為r1，r2，ri，rN.，第i個(gè)點(diǎn)電荷qi產(chǎn)生的電場(chǎng)在r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為則根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，點(diǎn)電荷組產(chǎn)生的電場(chǎng)在r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為例121兩個(gè)等量異性的點(diǎn)電荷，其電量分別為+q和-q，彼此相隔一小距離l，這樣的帶電系統(tǒng)稱為電偶極子求電偶極子中垂面上任意一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度如圖13所示解取電偶極子中點(diǎn)O為原點(diǎn)，由原點(diǎn)O向P點(diǎn)的方向取作直角坐標(biāo)系的y軸，由-q點(diǎn)電荷向+q點(diǎn)電荷的方向取作x軸，P點(diǎn)

32、到原點(diǎn)O的距離為r，P點(diǎn)到-q的距離為r-p，P點(diǎn)到+q的距離為r+P（見圖13）設(shè)x軸和y軸的單位矢量分別i和j，由圖13可以看出，點(diǎn)P，-q和+q的位置矢量分別為r=rj；和，從（124）式得P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為這里利用了關(guān)系設(shè)l=li為電偶極子從-q到+q的距離矢量，且把代人上述結(jié)果，則得出P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為當(dāng)r1時(shí)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為這里，p=ql是描述電偶極子本身特性的物理量，叫做電偶極子的電偶極矩圖14 線電荷的電場(chǎng)2線電荷帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度如果我們研究的帶電體是橫截面極小的線電荷，可以將其視為是由許多可看成為點(diǎn)電荷的線電荷元所組成的如果設(shè)設(shè)線電荷帶電體的線電荷密度為，帶電線的長度為l，則線

33、電荷元的電量為dlr處的線電荷元（r）dl在r處產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)dE如圖14所示為根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，整個(gè)線電荷在r處產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E為各線電荷元在r處產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的矢量和，即圖15 直線段中垂面上的電場(chǎng)例122求均勻帶電細(xì)棒中垂面上任一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)棒長為2l，帶電總量為q解帶電細(xì)棒上的線電荷密度為采用直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)O取在細(xì)棒與中垂面的交點(diǎn)上，O點(diǎn)指向中垂面上P點(diǎn)的方向取為x軸正方向，原點(diǎn)O沿細(xì)棒向上的方向取為y軸正方向設(shè)P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為r，P點(diǎn)的位置矢徑為r=ri如圖15所示在細(xì)棒上y處取線段元dy，其線電荷元的電量為dy，則線電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為于是帶電細(xì)棒在中垂面上P點(diǎn)產(chǎn)生

34、的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為這里，i，j分別為x軸和y軸的單位矢量當(dāng)均勻帶電長直細(xì)棒為無限長時(shí)，即l時(shí)，任何垂直于它的平面均可視為中垂面，這樣無限長均勻帶電細(xì)棒產(chǎn)生的電場(chǎng)中，距離細(xì)棒為r的點(diǎn)P處的場(chǎng)強(qiáng)，可由上式考慮lr條件而得到，為其中，為無限長帶電細(xì)棒的線電荷密度，r為由棒到場(chǎng)點(diǎn)P的矢徑的單位矢量無限長均勻帶電細(xì)棒的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小，與其線電荷密度成正比，與場(chǎng)點(diǎn)到棒的距離r成反比，E的方向沿場(chǎng)點(diǎn)與細(xì)棒的垂線，當(dāng)>0時(shí)，沿垂線向外；當(dāng)<0時(shí)，沿垂線指向細(xì)棒此例題中，細(xì)棒相對(duì)其中垂面具有對(duì)稱性，利用系統(tǒng)中的對(duì)稱性處理靜電場(chǎng)問題，往往可以省去復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，為此再舉一例圖16 均勻帶電圓環(huán)的電場(chǎng)例12

35、3一半徑為R、無限細(xì)且均勻帶電的圓環(huán)，環(huán)上線電荷密度為求過環(huán)心而垂直于環(huán)面的中軸線上一點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)如圖16所示解取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)在圓環(huán)中心O處，垂直環(huán)面的中軸線取做z軸，而圓環(huán)所在平面作為xy坐標(biāo)平面P點(diǎn)在z軸上的坐標(biāo)設(shè)為z，則P點(diǎn)的位矢r=zk，其中k是z軸的單位矢量線電荷元dl在xy平面上，其位矢r與k垂直由于圓環(huán)對(duì)于中軸線（即z軸）具有對(duì)稱性，所以圓環(huán)上每取一線電荷元dl，必有一對(duì)應(yīng)線電荷元dl如圖16所示，這一對(duì)對(duì)應(yīng)線電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE和dE在xOy平面上的分量互相抵消故各線電荷元對(duì)P點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)貢獻(xiàn)，只有其在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE的z分量由此分析，可得圓環(huán)均勻線電荷在中軸線上P點(diǎn)的

36、場(chǎng)強(qiáng)為由于，故有3面電荷帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)如果帶電體上的電荷只分布在表面附近極薄的一層表面層內(nèi)，極薄的表面層厚度對(duì)所討論問題的影響可以忽略，則帶電體可視為面電荷帶電體面電荷帶電體的電荷分布情況由面電荷密度，帶電面的面積為S，描述求一個(gè)帶電面上的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，我們?cè)O(shè)想把帶電面分割成許多宏觀上無限小的小面元dS，這種帶電的小面元叫面電荷元，面電荷元的電量為dS，而且可以把它視為點(diǎn)電荷帶電面上r處的面電荷元在r處產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，整個(gè)帶電面上的電荷在r處產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)，應(yīng)為各個(gè)面電荷元在r處產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的矢量和，即4體電荷帶電體的電場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)帶電體的體電荷密度（r），V為帶電

37、體體積為V，來具體描述電荷在其體內(nèi)的分布討論這種帶電體電荷在空間中產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)，是設(shè)想把帶電體分割為許多體積在宏觀上可視為無限小的體電荷元，這些體電荷元都被近似當(dāng)作點(diǎn)電荷帶電體內(nèi)r處的體電荷元所帶電量為（r）dV，它在空間r處產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為這里，dV為r處體電荷元的體積根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，這種體電荷分布的帶電體電荷在r處產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為，等于它分割成的各個(gè)體電荷元在r處產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的矢量和，即§13 三、靜電場(chǎng)的高斯定理及其應(yīng)用一、1電場(chǎng)線與電通量（1）在流體力學(xué)的流速場(chǎng)討論中，為直觀地了解流體內(nèi)各處流速分布的情況，采用幾何描述方法引入了流線、流管等概念；為反映流速場(chǎng)的性質(zhì)和規(guī)律

38、，還引入了反映矢量場(chǎng)性質(zhì)的一個(gè)重要物理量通量（在流速場(chǎng)中叫流量）的概念在不可壓縮流體的流速場(chǎng)中，單位時(shí)間從截面AS很細(xì)的流管流出的流體體積=v·S=vScosa（見圖19）這里，S=ASh稱為截面面元矢量，S為面元面積Sn為面元法線方向的單位矢量稱為通過細(xì)流管的流量，也可稱為場(chǎng)矢量v通過面元S的通量通過有限大小截面的通量，以上描述流速場(chǎng)的幾何描述方法同樣適用于電場(chǎng)的描述圖19 流管的流量為直觀、形象地了解電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布情況，仿照流速場(chǎng)的流線，我們?cè)陔妶?chǎng)中引入電場(chǎng)線的概念在電場(chǎng)中可以畫出一系列曲線，使這些曲線上每一點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向一致， 這些曲線稱為電場(chǎng)的電場(chǎng)

39、線（2）如圖110所示是幾種帶電系統(tǒng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線圖為使電場(chǎng)的電場(chǎng)線不僅能反映出電場(chǎng)強(qiáng)度方向的分布情況，而且也能反映出電場(chǎng)強(qiáng)度大小的分布情況，有必要引入電場(chǎng)線密度定義：的概念在電場(chǎng)中的任一點(diǎn)處，取一與該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向相垂直的小面元S上，穿過此面元的電場(chǎng)線數(shù)設(shè)為N，則比值稱為該點(diǎn)的電場(chǎng)線密度大?。涸诋嬰妶?chǎng)線圖時(shí)，使電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電場(chǎng)線密度等于該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度值即（3）這樣畫得的電場(chǎng)線圖既能反映電場(chǎng)強(qiáng)度方向的分布情況，又能根據(jù)電場(chǎng)線密度的大小反映出電場(chǎng)強(qiáng)度在各處的強(qiáng)弱情況從圖110的各電場(chǎng)線圖中可以看出，靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線具有以下的性質(zhì)：（1）靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷；或從無窮遠(yuǎn)來，或到無

40、窮遠(yuǎn)去電場(chǎng)線不會(huì)在沒有電荷的地方中斷（2）任何兩條電場(chǎng)線不會(huì)在沒有電荷的地方相交，因此由電場(chǎng)線組成管壁的電場(chǎng)線管內(nèi)的電場(chǎng)線不會(huì)穿出，管外的電場(chǎng)線也不會(huì)穿入（3）靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線不會(huì)形成閉合曲線電場(chǎng)線越密的地方，場(chǎng)強(qiáng)越大；越稀疏的地方，場(chǎng)強(qiáng)越小（4）性質(zhì)（1）和（3）是靜電場(chǎng)兩條基本性質(zhì)的反映性質(zhì)（2）是電場(chǎng)各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)只有一個(gè)方向的要求通過電場(chǎng)的電場(chǎng)線圖，不僅可以直觀、形象地了解整個(gè)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的總體分布情況，而且也容易看出和理解靜電場(chǎng)所具有的最基本性質(zhì)事實(shí)上，一般帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的數(shù)學(xué)解析表達(dá)式是無法給出的，人們可以通過模擬實(shí)驗(yàn)給出其電場(chǎng)線分布，從而得以了解電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況圖111 面元的電

41、通量受流速場(chǎng)中引入流量的啟迪，研究矢量場(chǎng)的性質(zhì)需要引入一個(gè)通量物理量對(duì)于電場(chǎng)來說，電場(chǎng)強(qiáng)度E通過小面元S的電通量定義為：面元S處的電場(chǎng)強(qiáng)度E與該面元矢量S=SN的標(biāo)積即這里，S為面元面積，n為面元法線方向的單位矢量如圖111所示即e=E·S（132）對(duì)于電場(chǎng)中有限大小的曲面S的電通量e，定義為曲面S上的每個(gè)無限小面元dS的電通量de=E·dS之和，即這里需要對(duì)面元矢量dS的方向作一約定說明，面元矢量dS的方向約定為面元dS的法線指向曲面凸側(cè)一方的方向，即所謂外法線方向?qū)τ陔妶?chǎng)中一個(gè)閉合曲面S的電通量，為閉合曲面S上每個(gè)無限小面元dS的電通量之和，即積分號(hào)中的“”符號(hào)表示是對(duì)

42、閉合曲面積分，積分中的面元矢量dS的方向取外法線方向電通量是一個(gè)標(biāo)量根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理容易證明，電通量也滿足疊加原理設(shè)電場(chǎng)由N個(gè)帶電系統(tǒng)的電荷所產(chǎn)生，各個(gè)帶電系統(tǒng)電荷的電場(chǎng)分別為E1，E2，EN，由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，總電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)，在電場(chǎng)E中通過任意曲面S的電通量為其中，為第i個(gè)帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)通過曲面S的電通量（134）式表明，電通量滿足疊加原理電場(chǎng)中的電通量概念同流速場(chǎng)中的流量相比是比較抽象的，不容易說出通過小面元S的電通量e=E·S到底代表什么物理意義，引入電場(chǎng)線后，e的物理意義就比較形象具體了根據(jù)（131）式，我們規(guī)定了電場(chǎng)的電場(chǎng)線密度等于電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E，從圖111可以看出，通過面元S

43、的電場(chǎng)線數(shù)目N為N=E·AS=E·S·cos=E·S-e這里，S為面元S在垂直于E的平面上的投影面元，為面元矢量S和場(chǎng)強(qiáng)E之間的夾角此式表明，通過面元S的電通量可以理解為通過面元S的電場(chǎng)線數(shù)目，只要選取小平面面元S法線與E的夾角的法線方向作為面元矢量S的方向即可對(duì)于通過有限大小曲面S的電通量，同樣可以理解為通過曲面S的電場(chǎng)線數(shù)目不過，由于我們約定了彎曲曲面S上的面元矢量S的方向取指向曲面凸側(cè)一方的法線方向，所以這個(gè)通過曲面S的電場(chǎng)線數(shù)目可能是正值，也可能是負(fù)值，正值表示電場(chǎng)線是從曲面凹側(cè)，穿過曲面S到凸側(cè)，負(fù)值表示是從凸側(cè)穿過曲面S到凹側(cè)對(duì)于電場(chǎng)中一個(gè)閉

44、合曲面的電通量，可以理解為是凈通過該閉合曲面的電場(chǎng)線數(shù)目，即積分中，E與dS的夾角時(shí)，E·dS>0，表示電場(chǎng)線從該面元dS穿出閉合曲面S；E與dS的夾角時(shí)，E·dS<0，表示電場(chǎng)線，通過該面元dS進(jìn)入閉合曲面S是通過閉合曲面穿出的電場(chǎng)線數(shù)目（取正值）和進(jìn)入的電場(chǎng)線數(shù)目（取負(fù)值）的代數(shù)和，即凈通過閉合曲面S的電場(chǎng)線數(shù)目若閉合曲面S的電通量e>0，表示從閉合曲面凈穿出（或發(fā)出）了電場(chǎng)線；若e<0，則是從閉合曲面凈進(jìn)入（或吸收）了電場(chǎng)線最后需要指出，電場(chǎng)中并不存在一條條分立的電場(chǎng)線，引入電場(chǎng)線只是對(duì)電場(chǎng)的一種幾何描述方法電場(chǎng)實(shí)際上是反映電場(chǎng)特性的電場(chǎng)強(qiáng)度在

45、場(chǎng)空間連續(xù)分布的概念，而且電通量是為了反映電場(chǎng)性質(zhì)而引入的重要物理量，它不是僅為說明通過一個(gè)面積的電場(chǎng)線數(shù)目而引入的二、2電場(chǎng)的高斯定理（1）概念：任何帶電系統(tǒng)通過分割方法，最后總能將其分割成許多宏觀上體積極小的點(diǎn)電荷也就是說，任何帶電系統(tǒng)都可以看成是由許多點(diǎn)電荷組成的因而由場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可推想而知，任何帶電系統(tǒng)的電場(chǎng)都可以看成是許多點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加按照這樣的分析，對(duì)電場(chǎng)基本性質(zhì)的研究，應(yīng)從點(diǎn)電荷的電場(chǎng)人手我們首先來研究點(diǎn)電荷電場(chǎng)中一個(gè)閉合曲面的電通量問題設(shè)一電量為q的點(diǎn)電荷位于原點(diǎn)O在g周圍的電場(chǎng)空間里做兩個(gè)閉合曲面S1和S2，其中S1為包圍點(diǎn)電荷q的任意閉合曲面，S2為不包圍點(diǎn)電荷q的任意閉

46、合曲面如圖112所示先計(jì)算包圍點(diǎn)電荷q的閉合曲面S1的電通量點(diǎn)電荷q在S1面上dS1面元處的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為，這里是面元dS1的位置矢量，r1的單位矢量由（133）式得閉合曲面S1的電通量cl為這里，dS1為面元dS1在的垂直面上的投影，為dS1面元相對(duì)于點(diǎn)電荷q的立體角對(duì)于不包圍點(diǎn)電荷q的閉合曲面S2，其電通量為圖112 點(diǎn)電荷電場(chǎng)中閉合曲面的電通量從圖112中可以看出，閉合曲面S2上的每個(gè)面元dS2對(duì)應(yīng)一個(gè)面元dS2，它們相對(duì)于點(diǎn)電荷q有相同的立體角，不過dS2的位矢的單位矢量與其外法線方向n2的夾角小于而dS2的位矢的單位矢量與其外法線方向的夾角大于，故有關(guān)系即所以這就是說，不包圍點(diǎn)電荷q的任

47、意閉合曲面S2，可以按照?qǐng)D112中從點(diǎn)電荷引出的小立體角在S2面上分割出dS2和dS2一對(duì)小面元那樣，把S2分割成很多成對(duì)的小面元對(duì)，而每對(duì)面元的電通量之和都等于零，因此，S2被分割成的這些面元對(duì)的電通量之和，即S2閉合曲面的電通量e2自然也等于零所以不包圍點(diǎn)電荷口的任何閉合曲面S2的電通量為綜合（135）式和（136）式，我們得出結(jié)論：在一個(gè)靜止點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，任何一個(gè)包圍該點(diǎn)電荷的閉合曲面，不管其形狀、大小如何，其電通量都等于所包圍點(diǎn)電荷電量q的倍任何一個(gè)不包圍該點(diǎn)電荷的閉合曲面，不管其形狀、大小如何，其電通量均等于零對(duì)于由N個(gè)點(diǎn)電荷q1，q2，q3，qN組成的點(diǎn)電荷組的電場(chǎng)來說，如果我們

48、在電場(chǎng)中取任意一個(gè)閉合曲面（稱為高斯面）S，若S包圍了N個(gè)點(diǎn)電荷中的q1，q2，qN這n個(gè)點(diǎn)電荷，根據(jù)電通量的疊加原理以及前面所得出的點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的電通量公式（135）式和（136）式，通過這閉合曲面的電通量e應(yīng)為其中，為S曲面包圍的第i個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)通過S閉合曲面的電通量，為S曲面包圍的點(diǎn)電荷電量的代數(shù)和由于任何電荷連續(xù)分布的帶電體，通過分割均可看成是由許多點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷組，所以上式對(duì)于電荷連續(xù)分布的帶電體的電場(chǎng)也成立總之，對(duì)于真空中的任何靜電場(chǎng)，都具有如下規(guī)律：通過電場(chǎng)中任何閉合曲面S的電通量e，等于該曲面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和的倍，與閉合曲面外的電荷無關(guān)（2）此規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式

49、為電場(chǎng)的這個(gè)規(guī)律稱為電場(chǎng)的高斯定理對(duì)于高斯定理，有必要作如下幾點(diǎn)討論和說明：（1）高斯面所包圍的電荷電量的代數(shù)和問題對(duì)于電量為q的點(diǎn)電荷電場(chǎng)，若點(diǎn)電荷q在高斯面S內(nèi)，；若q在高斯面外，不存在點(diǎn)電荷q正好在S面上的情形，因?yàn)橹挥挟?dāng)q與高斯面的距離遠(yuǎn)大于q本身的線度時(shí)，電荷q才能被視為點(diǎn)電荷，對(duì)于點(diǎn)電荷組的電場(chǎng)，是高斯面S所包圍的那些點(diǎn)電荷的電量，qi可能是正電荷也可能是負(fù)電荷，是那些正、負(fù)電荷電量的代數(shù)和對(duì)于電荷連續(xù)分布的帶電體的電場(chǎng)，是高斯面S內(nèi)的總電荷電量，若S面包圍的空間體積為V，V內(nèi)的體電荷密度為，則這時(shí)高斯定理也可表示為這是相當(dāng)普遍情況的高斯定理表示式，因?yàn)榧词故屈c(diǎn)電荷或點(diǎn)電荷組為電場(chǎng)

50、的場(chǎng)源，也可以通過特殊的數(shù)學(xué)函數(shù)方法把它作為電荷連續(xù)分布的場(chǎng)源來處理（2）高斯面電通量計(jì)算中的場(chǎng)強(qiáng)問題在應(yīng)用高斯定理（137）式時(shí)應(yīng)特別注意，公式右邊計(jì)算的電量是高斯面內(nèi)的電荷電量，而公式左邊計(jì)算高斯面的電通量時(shí)，所用的場(chǎng)強(qiáng)E不僅僅是高斯面內(nèi)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)，而是高斯面內(nèi)外所有電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)（3）高斯定理反映出靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)問題從電場(chǎng)電場(chǎng)線的角度來討論高斯定理時(shí)，我們把通過一個(gè)閉合曲面的電通量看作為通過此閉合曲面的電場(chǎng)線數(shù)目按照高斯定理，一個(gè)閉合曲面內(nèi)如果沒有電荷或者凈電荷（即正、負(fù)電荷的代數(shù)和）為零，則通過此閉合曲面的電通量或者說電場(chǎng)線數(shù)目就等于零，也就是通過此閉合曲面進(jìn)來的電場(chǎng)線數(shù)等

51、于通過此閉合曲面出去的電場(chǎng)線數(shù)閉合曲面所包圍的空間既沒有產(chǎn)生出一些電場(chǎng)線，使出去的電場(chǎng)線數(shù)大于進(jìn)來的電場(chǎng)線數(shù)，也沒有消滅掉一些電場(chǎng)線，使進(jìn)來的電場(chǎng)線數(shù)大于出去的電場(chǎng)線數(shù)，電場(chǎng)線只是連續(xù)地通過了此空間電場(chǎng)線不會(huì)在沒有電荷的空間終止或產(chǎn)生如果閉合曲面內(nèi)有正電荷q，由高斯定理可知，一定會(huì)通過閉合曲面多向外發(fā)出根電場(chǎng)線；反之，若閉合曲面內(nèi)有負(fù)電荷q，則一定會(huì)終止掉恨從閉合曲面外進(jìn)來的電場(chǎng)線總之，有正電荷的地方會(huì)發(fā)出電場(chǎng)線，有負(fù)電荷地方會(huì)終止電場(chǎng)線；反之，發(fā)出電場(chǎng)線的地方一定有正電荷，終止電場(chǎng)線的地方一定有負(fù)電荷上式這表明靜電場(chǎng)是一個(gè)有源場(chǎng)，電荷是靜電場(chǎng)的源（4）高斯定理與庫侖定律的關(guān)系問題靜電場(chǎng)所以存

52、在高斯定理，其根源在于庫侖定律的平方反比律如果庫侖定律取形式其中是一任意小量，則點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小E應(yīng)有在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)里，若以q為球心、r為半徑的球面S作為高斯面，其電通量應(yīng)為電通量是隨r變化的，若>0，當(dāng)r時(shí)，e（）0，高斯定理就不能成立了正是由于高斯定理與庫侖定律密切相關(guān)，人們才能夠通過檢驗(yàn)高斯定理的正確性來判定庫侖定律的平方反比律的精確度高斯定理雖來自于庫侖定律，對(duì)于靜電場(chǎng)成立，但在討論隨時(shí)問變化的電場(chǎng)時(shí)發(fā)現(xiàn)它也是正確的從這個(gè)意義上講，高斯定理比庫侖定律適用范圍更廣，也更基本，它雖寓于靜電場(chǎng)這一特殊情況之中，卻反映出一般電場(chǎng)的普遍規(guī)律性三、3高斯定理應(yīng)用舉例高斯定理是靜電場(chǎng)的

53、一個(gè)基本性質(zhì)，或者說是靜電場(chǎng)應(yīng)遵守的基本規(guī)律當(dāng)然，對(duì)于一般的靜電場(chǎng)，單憑這個(gè)性質(zhì)還不能完全把一個(gè)靜電場(chǎng)確定下來，因?yàn)殪o電場(chǎng)還具有后面13節(jié)將要討論的另一個(gè)重要性質(zhì)但是，對(duì)于靜電場(chǎng)來說，高斯定理這個(gè)性質(zhì)是如此重要，以至于在一定條件下，僅靠這一性質(zhì)就能完全確定某些電場(chǎng)下面我們通過幾個(gè)具體例子，看一看如何利用高斯定理來確定具有一定對(duì)稱性的一維（只與一個(gè)空間坐標(biāo)有關(guān)）靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)問題例131求線電荷密度為的無限長直線帶電線的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)圖113 無限長帶電直線的電場(chǎng)解無限長均勻帶電直線的空間電場(chǎng)，顯然具有軸向?qū)ΨQ性，帶電直線即為其對(duì)稱軸這種對(duì)稱性表現(xiàn)為：任何垂直于長直帶電線的平面內(nèi)的同心圓周上場(chǎng)強(qiáng)的大小都

54、相等；而且這圓周上場(chǎng)強(qiáng)的方向不能向上、向下、向前或向后傾斜，只能是向外（>0）或向內(nèi)（<0）的輻射線或會(huì)聚線方向根據(jù)以上對(duì)電場(chǎng)對(duì)稱性的分析，以長直帶電線為中心軸的圓筒面上，各點(diǎn)的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小相等，方向垂直于圓筒面，而圓筒上、下底面上的場(chǎng)強(qiáng)均平行于其底面欲求與長直帶電線相距為r的P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，可作一以r為半徑、長為l的這種圓筒面為高斯面如圖113所示利用高斯定理得故P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為考慮到P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)E的方向與圓筒面相垂直，所以有這與本章12節(jié)中例122所得結(jié)果相同，但利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)卻方便、簡捷得多例132求無限大均勻帶平面的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)，設(shè)其面電荷密度為解無限大均勻帶電平面對(duì)左、右兩

55、半空間的影響是相同的因此，電場(chǎng)應(yīng)具有平面左、右對(duì)稱性，即距平面等距離的左、右兩對(duì)稱點(diǎn)P和P應(yīng)具有大小相等的場(chǎng)強(qiáng)由于帶電平面無限大，因此平面對(duì)任一點(diǎn)P向上、向下、向前和向后的影響是相同的，這樣，P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向只可能是垂直于平面而背離平面方向（0時(shí)）或指向平面（0時(shí)）方向，而且P點(diǎn)平行于平面作上下或前后有限距離移動(dòng)后，場(chǎng)強(qiáng)的大小、方向不會(huì)改變根據(jù)對(duì)電場(chǎng)對(duì)稱性的這些分析，欲求距平面為r的 P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，可過P點(diǎn)及其對(duì)稱點(diǎn)P點(diǎn)作兩個(gè)面積均為S的對(duì)稱小圓面，并以它們?yōu)榈鬃饕粓A筒狀閉合曲面S如圖114所示，以此閉合曲面作為高斯面利用故得P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為圖114 無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的方向?yàn)榇怪庇跓o限大帶電

56、平面而背離平面方向（>0時(shí)）或指向平面方向（<0時(shí)）（139）式的結(jié)果表明，無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)與場(chǎng)點(diǎn)到平面的距離無關(guān)這一結(jié)論的出現(xiàn)是由于所討論的場(chǎng)點(diǎn)到帶電平面的距離都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于帶電平面的線度所致實(shí)際上，無限大帶電平面是不存在的，只要均勻帶電平面的線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于所討論場(chǎng)點(diǎn)到帶電平面的距離，（139）式的場(chǎng)強(qiáng)公式即可適用利用無限大均勻帶電平面的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)公式（139）式和場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，容易證明：帶等量異號(hào)電荷的一對(duì)無限大平行平面之間的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為外部場(chǎng)強(qiáng)為0例133求均勻帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)分布設(shè)球體帶電總量為q，半徑為R解由于帶電體的電荷分布具有球?qū)ΨQ性，故其電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ性即以帶電球球心為中心的任一球面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小都相等，場(chǎng)強(qiáng)方向垂直球面向外（q>0）或向內(nèi)（q