第七章剛體的簡單運動

1、第7章剛體的基本運動運動學的研究模型是點和剛體，前一章我們研究了點的運動，但在許多工程實際問題中，有些運動的物體不能抽象為點而需抽象為剛體。例如，體積較大的平移的吊車，旋轉的平帶輪，滾動的車輪等。這樣運動的物體則視為剛體。本章研究剛體的兩種基本運動平動和定軸轉動，這是研究剛體復雜運動的基礎。本章首先介紹剛體平動的特點和剛體定軸轉動的描述方法，建立剛體的轉動方程，確定表示其轉動特征的角速度和角加速度。在研究轉動剛體運動的基礎上，還將研究轉動剛體上任一點的速度及加速度，并給出剛體上任一點速度及加速度與剛體轉動角速度和角加速度的關系。例1蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，鋼索長為l, 長度單位為m, 當

2、蕩木擺動時，鋼索的擺動規(guī)律為, 為時間，單位為，單位為，求：t=0和t=2s時，蕩木中點M的速度和加速度。圖7-3解：O1A,O2B平行且相等O1A,O2B為平行四邊形AB O1O2。蕩木AB作平動。各點的速度和加速度相同。M點速度和加速度可由A計算以O點為原點建立弧坐標 例1：長方體以等角速度=7 rad/s 繞AC軸轉動，轉向如圖，求B點的速度和加速度。圖7-14解：建立如圖所示坐標系例2桿AB在鉛垂方向以恒速 向下運動，并由B端的小輪帶動半徑為R的圓弧桿OC繞軸O轉動，如圖7-8所示。設運動開始時， ，試求桿OC的轉動方程、任一瞬時的角速度以及點C的速度。圖7-15 解：(1)建立OC桿

3、的轉動方程。取點O為坐標原點，作鉛直向下的Ox軸。桿AB上點B的位置坐標可表示為將上式對時間求一階導數(shù)，并注意到桿AB作平動，有，得（1）整理后積分，有得：（2） 故桿OC的轉動方程為（3） (2)求桿OC的角速度  由式(1)得（4）  由式(2)得代入(4)式，最后得任一瞬時OC桿的角速度為(3)求點C的速度方向垂直于OC連線，指向右下方。例3： 半徑為R=0.5m的飛輪由靜止開始轉動，角加速度，式中b為常量。已知t=5s時，輪緣上一點的速度大小為v=20m/s，試求當t=10s時，該點的速度、加速度的大小。解： 本題中

4、飛輪的角加速度隨時間變化，是一變量，可先通過積分運算求出飛輪的角速度，然后再計算輪緣上一點的速度、加速度。由 分離變量后積分 解得 （）利用初始條件可確定常數(shù)b。當t=5s時，輪緣上一點的速度m/s ，故此時飛輪的角速度為rad/s40rad/s代入式(1)，有解得因此得角速度、角加速度隨時間的變化規(guī)律分別為rad/srad/s2 當t=10s時，輪緣上一點的速度、加速度的大小為 例2： 減速箱由四個齒輪構成，如圖示。齒輪 II 和 III 安裝在同一軸上，各齒輪的齒數(shù)分別為z136，z2112，z3 32 和z4128。如主動軸I 的轉速 n11450 r/min, 試求從動輪IV

5、轉速 n4。圖7-19解： 用和分別表示各齒輪的轉速。且有應用齒輪的傳動比公式： 將兩式相乘： 注意從動輪轉速兩次外嚙合，從動輪和主動輪的轉向相同。例3：圖示帶式輸送機。已知：主動輪I的轉速n1為1200 r/min, 齒數(shù) z1 =24；齒輪 III和IV 用鏈條傳動，齒數(shù)各為z3=15和z4=45,輪V的直徑D等于460mm。若使輸送帶的速度約為 v=2.4m/s，試求輪II齒數(shù)z2。圖7-20解：傳動關系有： 得：輸送帶的速度等于輪V輪緣上點的速度，而輪V的轉速等于輪IV的轉速，有齒輪齒數(shù)必須為整數(shù)，選取 z296,這時輸送帶的速度為2.41 m/s，滿足輸送帶的速度要求。例題：（一）關

6、于剛體作定軸轉動的問題例1.飛輪轉動時其角速度為180rpm，方向為順時針。受到一反方向力矩作用后，其角加速度為，方向為逆時針。求：（1）飛輪的角速度減為900rpm時所需的時間；（2）飛輪改變轉動方向時所需的時間（3）力矩作用后的頭14秒鐘內，飛輪轉過的轉數(shù)（包括順時針方向及反時針方向的轉數(shù)）解：（1）已知角加速度為時間的函數(shù)，而初角速度 由可得 (a)而代入后，可得 （2）當角速度等于零時，飛輪改變轉動方向，令(a)式中，即 （3）飛輪在14秒鐘內轉過的轉數(shù)應分兩步計算。從開始到9.71s時間間隔內，飛輪順時針方向轉過圈。然后在剩下的時間內反時針方向轉過。由式(a)分兩步對時間進行積分，即

7、可求得角位移。第一步：由 （順時針向）第二步： 故14秒內飛輪總共轉過的圈數(shù)為 例2.帶有水平滑槽的套筒可沿固定的鉛垂導軌運動，從而帶動銷釘P沿半徑為200mm的圓弧滑槽運動。已知套筒以等速向上運動，求當時，線段OP的角加速度。解：由圖可得 (a)當時， 將式(a)對時間求一次導數(shù)后，可得 (b)把代入上式，即可得時的為把式(b)對時間求一次導數(shù)后，可得圖7-21 因套筒沿鉛垂方向作等速運動，故，于是可得 也可用下面的方法來做。銷釘P的切線加速度，法向加速度，這兩個加速度在鉛垂軸上的投影總和為 由可得 或 （二）關于用極坐標方法求運動的問題例1.飛機跟蹤設備是由兩個相距為的地面站組成。它們發(fā)出

8、兩束定向波束1，2，然后把角位移，及其導數(shù)輸送給計算機，即可算出飛機的速度與位置。若飛機以等速飛行，且飛機與兩個地面站處于同一鉛垂平面內。某瞬時地面站測得，波束1的轉動角速度，。求飛機的飛行速度及離地面的高度。圖7-22解：由圖可知 求：用極坐標表示A點的速度。 已知橫向速度 由圖可知 但 故 再用前面得到的結果代入，即可得 例2.液壓缸的柱塞伸縮時，通過銷釘A可帶動具有滑槽的曲柄OA繞O軸轉動。已知柱塞以等速沿其軸線向上運動，求當時，及之值。解：這也是一個用極坐標表示的求點的運動的問題。先畫出當時機構的位置圖。由圖可知，分析銷釘A的徑向速度與橫向速度，于是可得 當時， 故 圖7-23求， 當

9、速度為常數(shù)時，所有加速度分量，均為零，由 可得 由 可得 （方向為順時針）例3.圖示機構，尺寸為，已知輪按的規(guī)律運動，求當時，桿上點的速度和加速度。圖7-24解：始終是平行四邊形，當機構運動時桿作平動，故在任一瞬時AB桿上M點的速度和加速度與AB桿上A點的速度和加速度完全相同。 當時，此時AB處于的正下方。所以 方向水平向右 方向豎直向上例4.圓盤繞定軸O轉動，在某一瞬時，A點速度，。在同一瞬時，任一點B的全加速度與OB成角，試求該瞬時圓盤的角加速度。圖7-25解： 例5 設火箭在高空飛行時始終保持其軸線為水平。已知火箭的水平加速度為，該處地球引力加速度為。若該瞬時火箭質心的速度為，其方向與水

10、平線的夾角為。求：(a)該瞬時軌跡的曲率半徑；(b)該瞬時的切線加速度，并問該瞬時火箭是作加速運動還是減速運動；(c)線段的角速度（為曲率中心）。(d)若該瞬時線段的角加速度，求此時火箭軌跡曲率半徑的變化率。圖7-26解：火箭共受有兩個方向的加速度，一個是地球引力加速度，另一個是火箭推進力所引起的水平方向的加速度。求出這些加速度在切線及法線方向的投影即可得到所求的結果。 求： 求： 求： 因為的方向與速度的方向相同，故火箭在該瞬時是作加速運動。求：由故 例6.已知皮帶輪輪緣上點的速度為，與點在同一半徑線上的點速度為，、兩點之間的矩離為，試計算皮帶輪的直徑及角速度。圖7-27解：因、為同一輪上的

11、兩點，故有 可解得皮帶輪的直徑 和皮帶輪的角速度 例7.飛輪繞固定軸轉動，其輪緣上任一點的全加速度與半徑的夾角恒為，當運動開始時，轉角，角速度為，試求飛輪的轉動方程及角速度和轉角的關系。圖7-28解：因為 將，代入上式分離變量并積分 得 （1）將 代入上式并積分 得飛輪的轉動方程 將上式寫成指數(shù)形式 （2）將式（2）代入式（1）得飛輪的角速度和轉角的關系為 例8.平板放置在兩個半徑為的圓筒上，如圖所示，平板具有向右的勻加速度，在同一瞬時圓筒的周邊上一點的加速度，假設平板與圓筒之間無滑動，試求該瞬時平板的速度。圖7-29解：因平板與圓筒之間無滑動，故同一瞬時圓筒周邊上一點的速度就等于平板的速度，

12、而圓筒周邊上一點的切向加速度就等于平板的加速度，即 因此圓筒周邊上一點的法向加速度 因 所以該瞬時平板的速度 例9.圖為車床走刀機構示意圖，已知齒輪的齒數(shù)分別為，主軸轉速，絲杠每轉一圈，刀架移動一個螺距，求走刀速度。圖7-30解：齒輪都作定軸轉動，如圖示。根據(jù)外嚙合傳動則有 故走刀速度為 例 10.紙盤由厚度為的紙帶卷成，繞定軸轉動，在連續(xù)印刷的過程中，紙帶以勻速水平輸送，如圖所示。試以紙盤的半徑表示紙盤的角加速度。圖7-31解：紙盤繞定軸轉動，由題意知，每當圓盤轉時，其半徑減少，而當紙盤轉時，則其半徑減少為 設紙盤的起始半徑為，則當紙盤轉過任意角的瞬時，紙盤的半徑可表示為 （a）將上式對時間求導得 （b）式中為紙盤的角速度，顯然 而紙盤的角加速度 將式（b）代入上式得 例11.收錄機主動輪軸以勻角速度轉動，在某一瞬時，主動輪軸和從動輪軸上磁帶盤的半徑分別為和，設磁帶的厚度為，求該瞬時從動輪軸的角加速度。圖7-32解：由題意知，當主動輪軸轉一圈時，磁帶盤的半徑增加，而當主動輪軸轉角時，磁帶盤的半徑增加 即 （a）同理，當從動輪軸轉一圈時，磁帶的半徑減少，而當從動輪軸轉角時，磁帶盤的半徑減少 即 （b）由于兩磁帶盤均作定軸轉動，故有 （c）兩邊對時間求導，并注意到常量，故有 即 將式（a）、（b）代入上式，并注意到， ，