第七章剛體的簡單運(yùn)動

1、第7章剛體的基本運(yùn)動運(yùn)動學(xué)的研究模型是點(diǎn)和剛體，前一章我們研究了點(diǎn)的運(yùn)動，但在許多工程實(shí)際問題中，有些運(yùn)動的物體不能抽象為點(diǎn)而需抽象為剛體。例如，體積較大的平移的吊車，旋轉(zhuǎn)的平帶輪，滾動的車輪等。這樣運(yùn)動的物體則視為剛體。本章研究剛體的兩種基本運(yùn)動平動和定軸轉(zhuǎn)動，這是研究剛體復(fù)雜運(yùn)動的基礎(chǔ)。本章首先介紹剛體平動的特點(diǎn)和剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述方法，建立剛體的轉(zhuǎn)動方程，確定表示其轉(zhuǎn)動特征的角速度和角加速度。在研究轉(zhuǎn)動剛體運(yùn)動的基礎(chǔ)上，還將研究轉(zhuǎn)動剛體上任一點(diǎn)的速度及加速度，并給出剛體上任一點(diǎn)速度及加速度與剛體轉(zhuǎn)動角速度和角加速度的關(guān)系。例1蕩木用兩條等長的鋼索平行吊起，鋼索長為l, 長度單位為m, 當(dāng)

2、蕩木擺動時，鋼索的擺動規(guī)律為, 為時間，單位為，單位為，求：t=0和t=2s時，蕩木中點(diǎn)M的速度和加速度。圖7-3解：O1A,O2B平行且相等O1A,O2B為平行四邊形AB O1O2。蕩木AB作平動。各點(diǎn)的速度和加速度相同。M點(diǎn)速度和加速度可由A計算以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立弧坐標(biāo) 例1：長方體以等角速度=7 rad/s 繞AC軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)向如圖，求B點(diǎn)的速度和加速度。圖7-14解：建立如圖所示坐標(biāo)系例2桿AB在鉛垂方向以恒速 向下運(yùn)動，并由B端的小輪帶動半徑為R的圓弧桿OC繞軸O轉(zhuǎn)動，如圖7-8所示。設(shè)運(yùn)動開始時， ，試求桿OC的轉(zhuǎn)動方程、任一瞬時的角速度以及點(diǎn)C的速度。圖7-15 解：(1)建立OC桿

3、的轉(zhuǎn)動方程。取點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，作鉛直向下的Ox軸。桿AB上點(diǎn)B的位置坐標(biāo)可表示為將上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)，并注意到桿AB作平動，有，得（1）整理后積分，有得：（2） 故桿OC的轉(zhuǎn)動方程為（3） (2)求桿OC的角速度  由式(1)得（4）  由式(2)得代入(4)式，最后得任一瞬時OC桿的角速度為(3)求點(diǎn)C的速度方向垂直于OC連線，指向右下方。例3： 半徑為R=0.5m的飛輪由靜止開始轉(zhuǎn)動，角加速度，式中b為常量。已知t=5s時，輪緣上一點(diǎn)的速度大小為v=20m/s，試求當(dāng)t=10s時，該點(diǎn)的速度、加速度的大小。解： 本題中

4、飛輪的角加速度隨時間變化，是一變量，可先通過積分運(yùn)算求出飛輪的角速度，然后再計算輪緣上一點(diǎn)的速度、加速度。由 分離變量后積分 解得 （）利用初始條件可確定常數(shù)b。當(dāng)t=5s時，輪緣上一點(diǎn)的速度m/s ，故此時飛輪的角速度為rad/s40rad/s代入式(1)，有解得因此得角速度、角加速度隨時間的變化規(guī)律分別為rad/srad/s2 當(dāng)t=10s時，輪緣上一點(diǎn)的速度、加速度的大小為 例2： 減速箱由四個齒輪構(gòu)成，如圖示。齒輪 II 和 III 安裝在同一軸上，各齒輪的齒數(shù)分別為z136，z2112，z3 32 和z4128。如主動軸I 的轉(zhuǎn)速 n11450 r/min, 試求從動輪IV

5、轉(zhuǎn)速 n4。圖7-19解： 用和分別表示各齒輪的轉(zhuǎn)速。且有應(yīng)用齒輪的傳動比公式： 將兩式相乘： 注意從動輪轉(zhuǎn)速兩次外嚙合，從動輪和主動輪的轉(zhuǎn)向相同。例3：圖示帶式輸送機(jī)。已知：主動輪I的轉(zhuǎn)速n1為1200 r/min, 齒數(shù) z1 =24；齒輪 III和IV 用鏈條傳動，齒數(shù)各為z3=15和z4=45,輪V的直徑D等于460mm。若使輸送帶的速度約為 v=2.4m/s，試求輪II齒數(shù)z2。圖7-20解：傳動關(guān)系有： 得：輸送帶的速度等于輪V輪緣上點(diǎn)的速度，而輪V的轉(zhuǎn)速等于輪IV的轉(zhuǎn)速，有齒輪齒數(shù)必須為整數(shù)，選取 z296,這時輸送帶的速度為2.41 m/s，滿足輸送帶的速度要求。例題：（一）關(guān)

6、于剛體作定軸轉(zhuǎn)動的問題例1.飛輪轉(zhuǎn)動時其角速度為180rpm，方向?yàn)轫槙r針。受到一反方向力矩作用后，其角加速度為，方向?yàn)槟鏁r針。求：（1）飛輪的角速度減為900rpm時所需的時間；（2）飛輪改變轉(zhuǎn)動方向時所需的時間（3）力矩作用后的頭14秒鐘內(nèi)，飛輪轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)（包括順時針方向及反時針方向的轉(zhuǎn)數(shù)）解：（1）已知角加速度為時間的函數(shù)，而初角速度 由可得 (a)而代入后，可得 （2）當(dāng)角速度等于零時，飛輪改變轉(zhuǎn)動方向，令(a)式中，即 （3）飛輪在14秒鐘內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)應(yīng)分兩步計算。從開始到9.71s時間間隔內(nèi)，飛輪順時針方向轉(zhuǎn)過圈。然后在剩下的時間內(nèi)反時針方向轉(zhuǎn)過。由式(a)分兩步對時間進(jìn)行積分，即

7、可求得角位移。第一步：由 （順時針向）第二步： 故14秒內(nèi)飛輪總共轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 例2.帶有水平滑槽的套筒可沿固定的鉛垂導(dǎo)軌運(yùn)動，從而帶動銷釘P沿半徑為200mm的圓弧滑槽運(yùn)動。已知套筒以等速向上運(yùn)動，求當(dāng)時，線段OP的角加速度。解：由圖可得 (a)當(dāng)時， 將式(a)對時間求一次導(dǎo)數(shù)后，可得 (b)把代入上式，即可得時的為把式(b)對時間求一次導(dǎo)數(shù)后，可得圖7-21 因套筒沿鉛垂方向作等速運(yùn)動，故，于是可得 也可用下面的方法來做。銷釘P的切線加速度，法向加速度，這兩個加速度在鉛垂軸上的投影總和為 由可得 或 （二）關(guān)于用極坐標(biāo)方法求運(yùn)動的問題例1.飛機(jī)跟蹤設(shè)備是由兩個相距為的地面站組成。它們發(fā)出

8、兩束定向波束1，2，然后把角位移，及其導(dǎo)數(shù)輸送給計算機(jī)，即可算出飛機(jī)的速度與位置。若飛機(jī)以等速飛行，且飛機(jī)與兩個地面站處于同一鉛垂平面內(nèi)。某瞬時地面站測得，波束1的轉(zhuǎn)動角速度，。求飛機(jī)的飛行速度及離地面的高度。圖7-22解：由圖可知 求：用極坐標(biāo)表示A點(diǎn)的速度。 已知橫向速度 由圖可知 但 故 再用前面得到的結(jié)果代入，即可得 例2.液壓缸的柱塞伸縮時，通過銷釘A可帶動具有滑槽的曲柄OA繞O軸轉(zhuǎn)動。已知柱塞以等速沿其軸線向上運(yùn)動，求當(dāng)時，及之值。解：這也是一個用極坐標(biāo)表示的求點(diǎn)的運(yùn)動的問題。先畫出當(dāng)時機(jī)構(gòu)的位置圖。由圖可知，分析銷釘A的徑向速度與橫向速度，于是可得 當(dāng)時， 故 圖7-23求， 當(dāng)

9、速度為常數(shù)時，所有加速度分量，均為零，由 可得 由 可得 （方向?yàn)轫槙r針）例3.圖示機(jī)構(gòu)，尺寸為，已知輪按的規(guī)律運(yùn)動，求當(dāng)時，桿上點(diǎn)的速度和加速度。圖7-24解：始終是平行四邊形，當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動時桿作平動，故在任一瞬時AB桿上M點(diǎn)的速度和加速度與AB桿上A點(diǎn)的速度和加速度完全相同。 當(dāng)時，此時AB處于的正下方。所以 方向水平向右 方向豎直向上例4.圓盤繞定軸O轉(zhuǎn)動，在某一瞬時，A點(diǎn)速度，。在同一瞬時，任一點(diǎn)B的全加速度與OB成角，試求該瞬時圓盤的角加速度。圖7-25解： 例5 設(shè)火箭在高空飛行時始終保持其軸線為水平。已知火箭的水平加速度為，該處地球引力加速度為。若該瞬時火箭質(zhì)心的速度為，其方向與水

10、平線的夾角為。求：(a)該瞬時軌跡的曲率半徑；(b)該瞬時的切線加速度，并問該瞬時火箭是作加速運(yùn)動還是減速運(yùn)動；(c)線段的角速度（為曲率中心）。(d)若該瞬時線段的角加速度，求此時火箭軌跡曲率半徑的變化率。圖7-26解：火箭共受有兩個方向的加速度，一個是地球引力加速度，另一個是火箭推進(jìn)力所引起的水平方向的加速度。求出這些加速度在切線及法線方向的投影即可得到所求的結(jié)果。 求： 求： 求： 因?yàn)榈姆较蚺c速度的方向相同，故火箭在該瞬時是作加速運(yùn)動。求：由故 例6.已知皮帶輪輪緣上點(diǎn)的速度為，與點(diǎn)在同一半徑線上的點(diǎn)速度為，、兩點(diǎn)之間的矩離為，試計算皮帶輪的直徑及角速度。圖7-27解：因、為同一輪上的

11、兩點(diǎn)，故有 可解得皮帶輪的直徑 和皮帶輪的角速度 例7.飛輪繞固定軸轉(zhuǎn)動，其輪緣上任一點(diǎn)的全加速度與半徑的夾角恒為，當(dāng)運(yùn)動開始時，轉(zhuǎn)角，角速度為，試求飛輪的轉(zhuǎn)動方程及角速度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系。圖7-28解：因?yàn)?將，代入上式分離變量并積分 得 （1）將 代入上式并積分 得飛輪的轉(zhuǎn)動方程 將上式寫成指數(shù)形式 （2）將式（2）代入式（1）得飛輪的角速度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系為 例8.平板放置在兩個半徑為的圓筒上，如圖所示，平板具有向右的勻加速度，在同一瞬時圓筒的周邊上一點(diǎn)的加速度，假設(shè)平板與圓筒之間無滑動，試求該瞬時平板的速度。圖7-29解：因平板與圓筒之間無滑動，故同一瞬時圓筒周邊上一點(diǎn)的速度就等于平板的速度，

12、而圓筒周邊上一點(diǎn)的切向加速度就等于平板的加速度，即 因此圓筒周邊上一點(diǎn)的法向加速度 因 所以該瞬時平板的速度 例9.圖為車床走刀機(jī)構(gòu)示意圖，已知齒輪的齒數(shù)分別為，主軸轉(zhuǎn)速，絲杠每轉(zhuǎn)一圈，刀架移動一個螺距，求走刀速度。圖7-30解：齒輪都作定軸轉(zhuǎn)動，如圖示。根據(jù)外嚙合傳動則有 故走刀速度為 例 10.紙盤由厚度為的紙帶卷成，繞定軸轉(zhuǎn)動，在連續(xù)印刷的過程中，紙帶以勻速水平輸送，如圖所示。試以紙盤的半徑表示紙盤的角加速度。圖7-31解：紙盤繞定軸轉(zhuǎn)動，由題意知，每當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)時，其半徑減少，而當(dāng)紙盤轉(zhuǎn)時，則其半徑減少為 設(shè)紙盤的起始半徑為，則當(dāng)紙盤轉(zhuǎn)過任意角的瞬時，紙盤的半徑可表示為 （a）將上式對時間求導(dǎo)得 （b）式中為紙盤的角速度，顯然 而紙盤的角加速度 將式（b）代入上式得 例11.收錄機(jī)主動輪軸以勻角速度轉(zhuǎn)動，在某一瞬時，主動輪軸和從動輪軸上磁帶盤的半徑分別為和，設(shè)磁帶的厚度為，求該瞬時從動輪軸的角加速度。圖7-32解：由題意知，當(dāng)主動輪軸轉(zhuǎn)一圈時，磁帶盤的半徑增加，而當(dāng)主動輪軸轉(zhuǎn)角時，磁帶盤的半徑增加 即 （a）同理，當(dāng)從動輪軸轉(zhuǎn)一圈時，磁帶的半徑減少，而當(dāng)從動輪軸轉(zhuǎn)角時，磁帶盤的半徑減少 即 （b）由于兩磁帶盤均作定軸轉(zhuǎn)動，故有 （c）兩邊對時間求導(dǎo)，并注意到常量，故有 即 將式（a）、（b）代入上式，并注意到， ，