第六章灰色系統(tǒng)模型

1、 第六章灰色系統(tǒng)模型6.引言（五步建模思想）研究一個(gè)系統(tǒng)，一般應(yīng)首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)的整體功能、協(xié)調(diào)功能以及系統(tǒng)各因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系、因果關(guān)系、動(dòng)態(tài)關(guān)系進(jìn)行具體的量化研究。這種研究必須以定性分析為先導(dǎo)，定量與定性緊密結(jié)合。系統(tǒng)模型的建立，一般要經(jīng)歷思想開發(fā)、因素分析、量化、動(dòng)態(tài)化、優(yōu)化五個(gè)步驟，故稱為五步建模。第一步：開發(fā)思想，形成概念，通過定性分析、研究，明確研究的方向、目標(biāo)、途徑、措施，并將結(jié)果用準(zhǔn)確簡(jiǎn)練的語言加以表達(dá)，這便是語言模型。第二步：對(duì)語言模型中的因素及各因素之間的關(guān)系進(jìn)行剖析，找出影響事物發(fā)展的前因、后果，并將這種因果關(guān)系用框圖表示出來（見圖6.）。環(huán)節(jié)后果Y前因

2、X1X2X3環(huán)節(jié)后果前因YX(a) (b)  圖6.一對(duì)前因后果（或一組前因與一個(gè)后果）構(gòu)成一個(gè)環(huán)節(jié)。一個(gè)系統(tǒng)包含許多這樣的環(huán)節(jié)。有時(shí)，同一個(gè)量既是一個(gè)環(huán)節(jié)的前因，又是另一個(gè)環(huán)節(jié)的后果，將所有這些關(guān)系連接起來，便得到一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的、由多個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成的框圖（如圖6.所示），即為網(wǎng)絡(luò)模型。環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)圖6.第三步：對(duì)各環(huán)節(jié)的因果關(guān)系進(jìn)行量化研究，初步得出低層次的概略量化關(guān)系，即為量化模型。第四步：進(jìn)一步收集各環(huán)節(jié)輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)，利用所得數(shù)據(jù)序列，建立動(dòng)態(tài)GM模型，即動(dòng)態(tài)模型。動(dòng)態(tài)模型是高層次的量化模型，它更為深刻地揭示出輸入與輸出之間的數(shù)量關(guān)系或轉(zhuǎn)換規(guī)律，是系統(tǒng)分析、優(yōu)化的基礎(chǔ)

3、。第五步：對(duì)動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行系統(tǒng)研究和分析，通過結(jié)構(gòu)、機(jī)理、參數(shù)的調(diào)整，進(jìn)行系統(tǒng)重組，達(dá)到優(yōu)化配置、改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)的目的。這樣得到的模型，稱之為優(yōu)化模型。五步建模的全過程，是在五個(gè)不同階段建立五種模型的過程：語言模型網(wǎng)絡(luò)模型量化模型動(dòng)態(tài)模型 優(yōu)化模型在建模過程中，要不斷地將下一階段中所得的結(jié)果回饋，經(jīng)過多次循環(huán)往復(fù)，使整個(gè)模型逐步趨于完善。 6.2 GM(1,1)模型 定義6.2.1 設(shè) ， 稱 （6.2.1）為GM(1,1)模型的原始形式。符號(hào)GM(1,1)的含義如下：GM(1,1)Grey(灰色)Model(模型)1階方程個(gè)變量定義6.2.2 設(shè)如定義6.2.1所示,其中稱（6.2.2）為G

4、M(1,1)模型的基本形式。定理6.2.1設(shè)為非負(fù)序列：其中；為的1AGO序列：其中，；為的緊鄰均值生成序列：其中，。若為參數(shù)列，且，（6.2.3）則GM(1,1)模型的最小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足證明將數(shù)據(jù)代入GM(1,1)模型，得 此即對(duì)于a,b的一對(duì)估計(jì)值，以代替，可得誤差序列設(shè)=使s最小的a,b 應(yīng)滿足從而解得：由得，但=所以定義6.2.3設(shè)為非負(fù)序列，為的1AGO序列，為的緊鄰均值生成序列，則稱： 為GM(1,1)模型的白化方程，也叫影子方程。定理6.2.2 設(shè)如定理6.2.1所述，則白化方程的解也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為 （6.2.6）GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列為； （6.2.7）還原值

5、=； （6.2.8）定義6.2.4 稱GM(1,1)模型中的參數(shù)為發(fā)展系數(shù)，b為灰色作用量。反映了及的發(fā)展態(tài)勢(shì)。一般情況下，系統(tǒng)作用量應(yīng)是外生的或者前定的，而GM(1,1)是單序列建模，只用到系統(tǒng)的行為序列（或稱輸出序列、背景值），而無外作用序列（或稱輸入序列、驅(qū)動(dòng)量）。GM(1,1)模型中的灰色作用量是從背景值挖掘出來的數(shù)據(jù)，它反映數(shù)據(jù)變化的關(guān)系，其確切內(nèi)涵是灰的?；疑饔昧渴莾?nèi)涵外延化的具體體現(xiàn)，它的存在，是區(qū)別灰色建模與一般輸入輸出建模（黑箱建模）的分水嶺，也是區(qū)別灰色系統(tǒng)觀點(diǎn)與灰箱觀點(diǎn)的重要標(biāo)志。定理6.2.3 GM(1,1)模型 可以轉(zhuǎn)化為 （6.2.9）其中，證明 將代入，得 =

6、=所以定理6.2.4 設(shè)，且為GM(1,1)模型時(shí)間響應(yīng)序列，其中 ； 則 （6.2.10）證明 由定理6.2.3代入的響應(yīng)值，有=但所以 例6.2.1 設(shè)原始序列 =試用下列三種GM(1,1)模型對(duì)進(jìn)行模擬，并比較其模擬精度：解 第一步：對(duì)作1AGO，得 =第二步：對(duì)作準(zhǔn)光滑性檢驗(yàn)。由 得<0.5，<0.5。當(dāng)k>3時(shí)準(zhǔn)光滑條件滿足。第三步：檢驗(yàn)是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。由 得當(dāng)k>3時(shí)，準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足，故可對(duì)建立GM(1,1)模型。第四步：對(duì)作緊鄰均值生成。令 得 =于是 ，第五步：對(duì)參數(shù)列進(jìn)行最小二乘估計(jì)。得第六步：確定模型 及時(shí)間響應(yīng)式=第七步：求的模擬值 =第八步：

7、還原求出的模擬值。由得 =第九步：檢驗(yàn)誤差。由表6.2.1可算出殘差平方和 =,=0.01511平均相對(duì)誤差 表6.2.1 誤差檢驗(yàn)表序 號(hào) 實(shí)際數(shù)據(jù) 模擬數(shù)據(jù) 殘 差相對(duì)誤差2 3.278 3.230 0.04601.40% 3 3.337 3.3545 0.01750.52% 4 3.390 3.4817 0.09172.71% 5 3.679 3.6136 0.06541.78%由知，所以于是得。所以作誤差檢驗(yàn)：由表6.2.2可得殘差平方和 =0.0156 表6.2.2 誤差檢驗(yàn)表序 號(hào) 實(shí)際數(shù)據(jù) 模擬數(shù)據(jù) 殘 差相對(duì)誤差2 3.278 3.2324 0.04561.39% 3 3.33

8、7 3.3567 0.01970.59% 4 3.390 3.4820 0.0922.71% 5 3.679 3.6105 0.06851.86%平均相對(duì)誤差由，知，所以= 故 表6.2.3 誤差檢驗(yàn)表序 號(hào) 實(shí)際數(shù)據(jù) 模擬數(shù)據(jù) 殘 差相對(duì)誤差2 3.278 3.2324 0.04561.39% 3 3.337 3.3549 0.01790.54% 4 3.390 3.4821 0.09212.72% 5 3.679 3.6141 0.06491.76% 由表6.2.3可算出殘差平方和 =0.01509由三種模型的殘差平方和與平均相對(duì)誤差可以看出:指數(shù)模型和 精度較高,差分模型精度稍低一些。定

9、理6.2.5 若為準(zhǔn)光滑序列，則其GM(1,1)發(fā)展系數(shù)可表示為 （6.2.11）其中 證明 由，得 所以=由定理6.2.5可知，當(dāng)b有限，足夠大時(shí)，GM(1,1)發(fā)展系數(shù)主要取決于光滑比 6.3殘差GM(1,1)模型當(dāng)GM(1,1)模型的精度不符合要求時(shí)，可用殘差序列建立GM(1,1)模型，對(duì)原來的模型進(jìn)行修正，以提高精度。定義6.3.1 設(shè)為原始序列，為的1AGO序列，GM(1,1) 模型的時(shí)間響應(yīng)式 則稱 （6.3.1）為導(dǎo)數(shù)還原值。命題6.3.1 設(shè)為導(dǎo)數(shù)還原值。 為累減還原值。則 證明： =因?yàn)?所以 故 由命題6.3.1可以看出，GM(1,1) 模型既不是微分方程，也不是差分方程。

10、但當(dāng) 充分小時(shí)，有。這說明微分與差分的結(jié)果十分接近。因此GM(1,1) 模型既可以看成微分方程，又可以看成差分方程。鑒于導(dǎo)數(shù)還原值與累減還原值不一致，為減少往復(fù)運(yùn)算造成的誤差，往往用的殘差修正的模擬值。定義6.3.2 設(shè) 其中為的殘差序列。若存在滿足，的符號(hào)一致；，則稱 為可建模殘差尾段，仍記為命題6.3.2 設(shè) 為可建模殘差尾段，其1AGO序列 的GM(1,1)的時(shí)間響應(yīng)式為 ，則殘差尾段的模擬序列 其中 ， 定義6.3.3 若用修正我們稱修正后的時(shí)間響應(yīng)式： （6.3.3） 為殘差修正GM(1,1)模型，簡(jiǎn)稱殘差GM(1,1)。其中殘差修正值的符號(hào)應(yīng)與殘差尾段的符號(hào)保持一致。若用與的殘差尾

11、段 建模修正的模擬值，則根據(jù)由的到的不同還原方式，可得到不同的殘差修正時(shí)間響應(yīng)式。定義6.3.4 若 =則相應(yīng)的殘差修正時(shí)間響應(yīng)式 （6.3.4）稱為累減還原式的殘差修正模型。定義6.3.5 若，則相應(yīng)的殘差修正時(shí)間響應(yīng)式 （6.3.5）稱為導(dǎo)數(shù)還原式的殘差修正模型。上述各種殘差GM(1,1)中的殘差模擬項(xiàng)都是取的導(dǎo)數(shù)還原式，當(dāng)然也可以取為累減還原式，即取 ，只要充分小，取不同的殘差還原式對(duì)修正值的影響不大。例6.3.1 湖北省云夢(mèng)縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)為 =建立GM(1,1)模型，得時(shí)間響應(yīng)式為：作累減還原，得 檢驗(yàn)其精度：列出誤差檢驗(yàn)表（見表6.3.1）由表6.3.1可以看出，模擬誤差較大，進(jìn)一

12、步計(jì)算殘差平方和平均相對(duì)誤差 表6.3.1 誤差檢驗(yàn)表序 號(hào) 實(shí)際數(shù)據(jù) 模擬數(shù)據(jù) 殘 差相對(duì)誤差2 20 35.6704 15.670478.3540% 3 40 33.4303 6.569716.4242% 4 25 31.3308 6.330825.3232%5 678910111213 40 45 35 21 14 18 15.5 17 15 29.3682 27.5192 25.7901 24.1719 22.653421.2307 19.8974 18.6478 17.476810.631817.48089.20993.17198.65343.23074.39741.64782.47

13、6826.5795% 38.8642% 26.3140% 15.1043% 61.8100% 17.9483% 28.3703% 9.6926% 16.5120% 殘差平方和很大，相對(duì)精度不到70%，需采用殘差模型進(jìn)行修正。取，得殘差尾段 =此為可建模殘差尾段，取絕對(duì)值，得建立GM(1,1)模型，得的1AGO序列的時(shí)間響應(yīng)式: 其導(dǎo)數(shù)還原值為 由 =可得累減還原式的殘差修正模型為其中的符號(hào)與原始?xì)埐钚蛄械姆?hào)一致。按此模型，可對(duì)四個(gè)模擬值進(jìn)行修正，修正后的精度如表6.3.2所示。 表6.3.2 殘差GM(1,1)模擬誤差序 號(hào) 實(shí)際數(shù)據(jù) 模擬數(shù)據(jù) 殘 差相對(duì)誤差10 18 17.1858 0.

14、81424.52% 11 15.5 16.4799 0.97996.32% 12 17 15.7604 1.23967.29% 13 15 15.0372 0.03720.25% 由表6.3.2可以算出殘差平方和 平均相對(duì)誤差 殘差修正GM(1,1)的模擬精度的得到了明顯提高。因此時(shí)殘差序列已不滿足建模要求，若對(duì)修正精度仍不滿意，就只有考慮采用其他模型或?qū)υ紨?shù)據(jù)序列進(jìn)行適當(dāng)取舍。6.4 GM(1,1)模型群在實(shí)際建模中，原始數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)不一定全部用來建模。我們?cè)谠紨?shù)據(jù)序列中取出一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可以建立一個(gè)模型。一般說來，取不同的數(shù)據(jù)，建立的模型也不一樣，即使都建立同類的GM(1,1)模型，

15、選擇不同的數(shù)據(jù)，參數(shù)的值也不一樣。這種變化，正是不同情況、不同條件對(duì)系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。例如我國(guó)的糧食產(chǎn)量，若采用建國(guó)以來的數(shù)據(jù)建立GM(1,1)模型，發(fā)展系數(shù)偏??；而舍去1978年以前的數(shù)據(jù)，用剩余的數(shù)據(jù)建模，發(fā)展系數(shù)明顯增大。定義6.4.1 設(shè)序列 將取為時(shí)間軸的原點(diǎn)，則稱t <n為過去，t=n為現(xiàn)在，t>n為未來。定義6.4.2 設(shè)序列， = 為其GM(1,1)時(shí)間響應(yīng)式的累減還原值，則當(dāng)時(shí)，稱為模型模擬值；當(dāng)t>n時(shí)，稱為模型預(yù)測(cè)值。建模的主要目的是預(yù)測(cè)，為提高預(yù)測(cè)精度，首先要保證有充分高的模擬精度，尤其是t=n 時(shí)的模擬精度。因此建模數(shù)據(jù)一般應(yīng)取

16、為包括在內(nèi)的一個(gè)等時(shí)距序列。定義6.4.3 設(shè)原始數(shù)據(jù)數(shù)列 用建立的GM(1,1)模型稱為全數(shù)據(jù)GM(1,1)； 用建立的GM(1,1)模型稱為部分?jǐn)?shù)據(jù)GM(1,1)；設(shè)為最新信息，將置入，稱用建立的模型為新信息GM(1,1)；置入最新信息，去掉最老信息，稱用建立的模型為新陳代謝GM(1,1)。例6.4.1取例6.3.1的原始序列的最后4個(gè)數(shù)據(jù)建模：=其1AGO序列的緊鄰均值生成序列，所以的GM(1,1)時(shí)間響應(yīng)式為模擬序列令，得的模擬序列模擬精度比例6.3.1中建立的全數(shù)據(jù)GM(1,1)有明顯的提高，尤其是模擬值的相對(duì)誤差，全數(shù)據(jù)GM(1,1)是部分?jǐn)?shù)據(jù)GM(1,1)的4倍多，說明適當(dāng)選取建

17、模數(shù)據(jù)可使模擬精度大大提高。例6.4.2 對(duì)于例6.2.1中的原始數(shù)據(jù)序列 補(bǔ)充新信息。試建立新信息模型和新陳代謝模型，并進(jìn)行比較。解 新信息模型。新信息序列為 ，=于是得GM(1,1)的時(shí)間響應(yīng)式模擬值：殘差：相對(duì)誤差： 新陳代謝模型。去掉一個(gè)最老的信息，置入一個(gè)最新信息，得建模序列 此時(shí) ，GM(1,1)時(shí)間響應(yīng)式為模擬值：殘差：相對(duì)誤差：精度比較。見表6.4.1。 表6.4.1 三種模型精度比較模型類別參 數(shù) 模擬值殘 差相對(duì)誤差老信息模型0.03723.06533.61360.06541.78%新信息模型0.04293.023.6533.81260.0260.03740.71%0.97

18、%新陳代謝模型0.05233.03923.65953.8560.01950.0060.53%0.16%由表6.4.1可見，對(duì)的模擬精度，新信息模型和新陳代謝模型都比老信息模型高。這表明新信息GM(1,1) 模型和新陳代謝GM(1,1) 模型預(yù)測(cè)效果會(huì)比老信息模型的預(yù)測(cè)效果好。事實(shí)上，在任何一個(gè)灰色系統(tǒng)的發(fā)展過程中，隨著時(shí)間的推移，將會(huì)不斷的有一些隨機(jī)擾動(dòng)或驅(qū)動(dòng)因素進(jìn)入系統(tǒng)，使系統(tǒng)的發(fā)展相繼地受其影響。因此，用GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，精度較高的僅僅是原點(diǎn)數(shù)據(jù)以后的1到2個(gè)數(shù)據(jù)。一般說來，越往未來發(fā)展，越是遠(yuǎn)離時(shí)間原點(diǎn)，GM(1,1)的預(yù)測(cè)意義就越弱。在實(shí)際應(yīng)用中，必須不斷地考慮那些隨著時(shí)間推

19、移相繼進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)或驅(qū)動(dòng)因素，隨時(shí)將每一個(gè)新得到的數(shù)據(jù)置入中，建立新信息模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。從對(duì)的模擬精度看，新陳代謝模型高于新信息模型。從預(yù)測(cè)角度看，新陳代謝模型是最理想的模型。隨著系統(tǒng)的發(fā)展，老數(shù)據(jù)的信息意義將逐步降低，在不斷補(bǔ)充新信息的同時(shí)，及時(shí)地去掉老信息，建模序列更能反映系統(tǒng)在目前的特征。尤其是系統(tǒng)隨著量變的積累，發(fā)生質(zhì)的飛躍或突變時(shí)，與過去的系統(tǒng)相比，已是面目全非。去掉已根本不可能反映系統(tǒng)目前特征的老數(shù)據(jù)，顯然是合理的。此外，不斷地進(jìn)行新陳代謝，還可以避免隨著信息的增加，計(jì)算機(jī)內(nèi)存不斷擴(kuò)大，建模運(yùn)算量不斷增大的困難。6.5 GM(1,1)模型的適用范圍鄧聚龍教授對(duì)GM(1,1)模型

20、作了十分深入的研究，得到了GM(1,1)模型的多種不同形式。主要有：（1）（2）（3）（4）（5），；（6）（7）（8）（9）（10），k>3（11）（12）（13）命題6.5.1 當(dāng)時(shí)，GM(1,1)模型無意義。證明 采用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，有 當(dāng)時(shí)，無法確定模型參數(shù)，故此GM(1,1)模型無意義。命題6.5.2 當(dāng)GM(1,1)發(fā)展系數(shù)時(shí)，GM(1,1)模型無意義。證明 由GM(1,1)表達(dá)式 可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)|>2時(shí)，為常數(shù)，而隨著k的奇偶性不同而改變符號(hào)，因此隨著k的奇偶性不同而變號(hào)。由以上討論可知是GM(1,1)發(fā)展系數(shù)的禁區(qū)。當(dāng)時(shí)，GM(1,1)模型失去意義

21、。一般地，當(dāng)|<2時(shí)，GM(1,1)模型有意義。但隨著的不同取值，預(yù)測(cè)效果也不同。對(duì)于2<<0，即發(fā)展系數(shù)<<的情形，我們分別取=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.5,1.8等進(jìn)行模擬分析。取k=0,1,2,3,4,5,由可得如下數(shù)列：=0.1,=(1,1.1051,1.2214,1.3499,1.4918,1.6487) =0.2，=(1,1.2214,1.4918,1.8221,2.2255,2.7183) =0.3, =(1,1.3499,1.8221,2.4596,3.3201,4.4817) =0.4, =(1,1.4918,2

22、.225,3.3201,4.9530,7.3890) =0.5, =(1,1.6487,2.7183,4.4817,7.3890,12.1825) =0.6, =(1,1.8821,3.3201,6.0496,11.0232,20.0855) =0.8, =(1,2.2255,4.9530,11.0232,24.5325,54.5982) =1, =(1,2.7183,7.3890,20.0855,54.5982,148.4132) =1.5, =(1,4.4817,20.0855,90.0171,403.4288,1808.0424) =1.8, =(1,6.0496,36.5982,221

23、.4064,1339.4308,8103.0839)分別以，為原始序列建立GM(1,1)模型得到如下的時(shí)間響應(yīng)式：由，得，由于GM(1,1)模型中為均值生成，對(duì)于增長(zhǎng)序列，具有弱化其增長(zhǎng)趨勢(shì)的作用。指數(shù)序列建立GM(1,1)發(fā)展系數(shù)減小。比較原始序列與模擬序列的誤差（見表6.5.1）。表6.5.1模擬誤差發(fā)展系數(shù)平均相對(duì)誤差 0.1 0.004 0.104% 0.2 0.010 0.499% 0.3 0.038 1.300% 0.4 0.116 2.613% 0.5 0.307 4.520% 0.6 0.741 7.074% 0.8 3.603 14.156% 1 14.807 23.544%

24、 1.5 317.867 51.033% 1.8 1632.240 65.454%可以看出，隨著發(fā)展系數(shù)的增大，模擬誤差迅速增加。當(dāng)發(fā)展系數(shù)小于或等于0.3時(shí)，模擬精度可以達(dá)到98%以上，發(fā)展系數(shù)小于或等于0.5時(shí)，模擬精度可以達(dá)到95%以上，發(fā)展系數(shù)大于1，模擬精度低于70%，發(fā)展系數(shù)大于1.5，模擬精度低于50%。 進(jìn)一步考察1步，2步，5步，10步預(yù)測(cè)誤差（見表6.5.2） 表6.5.2預(yù)測(cè)誤差0.10.20.30.40.50.60.811.51.81步誤差0.129%0.701%1.998%4.317%7.988%13.405%31.595%65.117%2步誤差0.137%0.768

25、%2.226%4.865%9.091%15.392%36.979%78.113%5步誤差0.160%0.967%2.912%6.529%12.468%21.566%54.491%10步誤差0.855%1.301%4.067%9.362%18.330%32.599%88.790% 可以看出，當(dāng)發(fā)展系數(shù)小于0.3時(shí)，1步預(yù)測(cè)精度在98%以上，2步和5步預(yù)測(cè)精度都在97%以上；當(dāng)0.3<0.5時(shí)，1步和2步預(yù)測(cè)精度皆在90%以上，10步預(yù)測(cè)精度亦高于80%；當(dāng)發(fā)展系數(shù)大于0.8時(shí)，1步預(yù)測(cè)精度已低于70%。表7.5.2中的橫線表示誤差已大于100%。通過以上分析，可得下述結(jié)論：（1）當(dāng)0.3時(shí)

26、，GM(1,1)可用于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)；（2）當(dāng)0.3<0.5時(shí)，GM(1,1)可用于短期預(yù)測(cè)，中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)慎用；（3）當(dāng)0.5<0.8時(shí)，用GM(1,1)作短期預(yù)測(cè)應(yīng)十分謹(jǐn)慎；（4）當(dāng)0.8<1時(shí)，應(yīng)采用殘差修正GM(1,1)模型；（5）當(dāng)>1時(shí)，不宜采用GM(1,1)模型。6.6 GM(1, N)和GM(0, N)模型一、GM(1,N)模型定義6.6.1 設(shè)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，而 為相關(guān)因素序列，為的1AGO序列（），為的緊鄰均值生成序列，則稱 （6.6.1）為GM(1,N)模型。 定義6.6.2 在GM(1,N)模型中，稱為系統(tǒng)發(fā)展系數(shù)，稱為驅(qū)動(dòng)項(xiàng)，稱為驅(qū)動(dòng)系數(shù)，稱為參數(shù)

27、列。定理6.6.1 設(shè)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，（）為相關(guān)因素?cái)?shù)據(jù)序列，為諸的1AGO序列，為的緊鄰均值生成序列，則參數(shù)列的最小二乘估計(jì)滿足 定義6.6.3 設(shè)，則稱 （6.6.2）為GM(1,N)模型 的白化方程，也稱影子方程。定理6.6.2 設(shè)，（），B，Y如定理6.6.1所述， 則 白化方程的解為： = （6.6.3）當(dāng)（）變化幅度很小時(shí)，可視為灰常量,則GM(1,N)模型 的近似時(shí)間響應(yīng)式為： （6.6.4）其中取為。 累減還原式為GM(1,N)差分模擬式為： 二、GM(0,N)模型定義6.6.4 設(shè)為系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列，（）為相關(guān)因素序列，為諸（）的1AGO序列，則稱 （6.6.5）為GM(

28、0,N)模型。 GM(0,N)模型不含導(dǎo)數(shù)，因此為靜態(tài)模型。它形如多元線性回歸模型但與一般的多元線性回歸模型有著本質(zhì)的區(qū)別。一般的多元線性回歸建模以原始數(shù)據(jù)序列為基礎(chǔ)，GM(0,N)的建?；A(chǔ)則是原始數(shù)據(jù)的1AGO序列。定理6.6.3 設(shè)，如定義6.6.4所述， ，則參數(shù)列的最小二乘估計(jì)為 例6.6.1 設(shè)系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列為相關(guān)因素?cái)?shù)據(jù)序列為試分別建立GM(1,2)和GM(0,2)模型。解 設(shè)GM(1,2)白化方程為 對(duì)和作1AGO，得=（2.874，6.152，9.459，12.849，16.528）=（7.04，14.685，22.76，31.29，40.064）的緊鄰均值生成序列=（4.

29、513，7.8055，11.154，14.6885）于是有=所以 得估計(jì)模型 近似時(shí)間響應(yīng)式 =由此可得 ，作IAGO還原 =（2.874，2.770，3.548，3.535，3.582） 表6.6.1 誤差檢驗(yàn)表序 號(hào) 實(shí)際數(shù)據(jù) 模擬數(shù)據(jù) 殘 差相對(duì)誤差2 3.278 2.770 0.50815.5% 3 3.307 3.548 0.2417.3% 4 3.390 3.535 0.1454.3% 5 3.679 3.582 0.0972.6% 設(shè)GM(0,2)模型為，由 =，可得的最小二乘估計(jì)故由GM(0,2)估計(jì)式。 由此可得 ，作IAGO還原 =（2.421，3.153，3.331，3.

30、518，3.619） 表6.6.2 誤差檢驗(yàn)表序 號(hào) 實(shí)際數(shù)據(jù) 模擬數(shù)據(jù) 殘 差相對(duì)誤差2 3.278 3.153 0.1253.8% 3 3.307 3.331 0.0240.7% 4 3.390 3.518 0.1283.8% 5 3.679 3.619 0.061.6% 6.7 GM(2,1)和Verhulst模型GM(1,1) 模型適用于具有較強(qiáng)指數(shù)規(guī)律的序列，只能描述單調(diào)的變化過程，對(duì)于非單調(diào)的擺動(dòng)發(fā)展序列或有飽和的S形序列，可以考慮建立GM(2,1)，DGM和Verhulst模型。一、GM(2,1)模型定義6.7.1設(shè)原始序列其1AGO序列和1IAGO序列分別為：和其中；的緊鄰均值

31、生成序列為 則稱 （6.7.1）為GM(2,1)模型。 定義6.7.2 稱 （6.7.2）為GM(2,1)模型的白化方程。 定理6.7.1 設(shè)，如定義6.7.1所述，且，=則GM(2,1)參數(shù)列的最小二乘估計(jì)為 定理6.7.2 關(guān)于GM(2,1)白化方程的解有以下結(jié)論：若是 的特解，是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，則+是GM(2,1)白化方程的通解。 齊次方程的通解有以下三種情況：當(dāng)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)， （6.7.3）當(dāng)特征方程有重根r 時(shí)， （6.7.4）當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根，時(shí)， （6.7.5）白化方程的特解有以下三種情況：當(dāng)零不是特征方程的根時(shí)，=；當(dāng)零是特征方程的單根時(shí)，；當(dāng)零是特

32、征方程的重根時(shí)，。 例6.7.1 設(shè)原始序列為 =（2.874，3.278，3.337，3.39，3.679）試建立GM(2,1)模型。解 的1AGO序列和1IAGO序列分別為 的緊鄰均值生成序列= =故得GM(2,1)白化方程特征方程為，有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以白化方程的齊次式的通解為零不是特征方程的根，易得GM(2,1)白化方程的一個(gè)特解于是有設(shè)，則將 代入 可得 由此可解出，所以 于是GM(2,1)時(shí)間響應(yīng)式 所以做IAGO還原表6.7.1 誤差檢驗(yàn)表序 號(hào) 實(shí)際數(shù)據(jù) 模擬數(shù)據(jù) 殘 差相對(duì)誤差2 3.278 3.1021 0.17595.4% 3 3.307 3.3059 0.03110

33、.09% 4 3.390 3.4206 0.03060.09% 5 3.679 3.5392 0.13993.8%二、DGM模型 定義6.7.3 設(shè)原始序列其1AGO序列為：1IAGO序列為則 （6.7.6）為DGM(2,1)模型。 定義6.7.4 稱 （6.7.7）為DGM(2,1)模型的白化方程。 定理6.7.3 若為參數(shù)列，而， 如定義6.7.3所述， ，=則DGM(2,1)模型 的最小二乘估計(jì)滿足 定理6.7.4 設(shè)為非負(fù)序列，為的1AGO序列，如定理6.7.3所述，則白化方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為 （6.7.8）DGM(2,1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列為 （6.7.9）還原值為證明 的通解為下面

34、來確定任意常數(shù)。由于，即，所以 （6.7.10）又因?yàn)?，所以，而，?（6.7.11）由式（6.7.10）和（6.7.11）得，故白化方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為 由的證明結(jié)果，令，則，故可得DGM(2,1)模型的時(shí)間響應(yīng)序列顯然成立。例6.7.2 試對(duì)序列 建立DGM(2,1)模型。 解 因?yàn)榈肈GM模型的時(shí)間響應(yīng)序列為所以作IAGO還原得 表6.7.2誤差檢驗(yàn)表序 號(hào) 原始數(shù)據(jù) 模擬數(shù)據(jù) 殘 差相對(duì)誤差2 3.278 3.0872 0.19085.8% 3 3.39 3.4120 0.0220.65% 4 3.679 3.6250 0.0541.5% 56 3.77 3.8 3.7634 3.85

35、400.0070.0540.16%1.4%三、Verhulst模型定義6.7.5 設(shè)為原始數(shù)據(jù)序列，為為的1AGO序列，為的緊鄰均值生成序列，則稱 （6.7.12）為GM(1,1)冪模型。 定義6.7.6 稱 （6.7.13）為GM(1,1)冪模型的白化方程。 定理6.7.5 GM(1,1)冪模型之白化方程的解為 （6.7.14） 定理6.7.6 設(shè)，如定義6.7.5所述，則GM(1,1)冪模型參數(shù)列的最小二乘估計(jì)為 定義6.7.7 當(dāng)時(shí)，稱 （6.7.15）為灰色Verhulst模型。 定義6.7.8 稱 （6.7.16）為灰色Verhulst模型的白化方程。定理6.7.7 Verhulst

36、白化方程的解為 = （6.7.17）灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)式 （6.7.18）Verhulst模型主要用來描述具有飽和狀態(tài)的過程，常用于人口預(yù)測(cè)、生物生長(zhǎng)、繁殖預(yù)測(cè)和產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)壽命預(yù)測(cè)等。由Verhulst方程的解可以看出，當(dāng)時(shí)，若>0，則；若<0，則，即有充分大的t，對(duì)任意k>t，與充分接近，此時(shí)，系統(tǒng)趨于死亡。在實(shí)際問題中，常遇到原始數(shù)據(jù)本身呈S的過程。這時(shí)，我們可以取原始數(shù)據(jù)為，其1IAGO為，建立Verhulst模型直接對(duì)進(jìn)行模擬。例6.7.3 河南省農(nóng)用大中型拖拉機(jī)擁有量數(shù)據(jù)如表6.7.3所示。表6.7.3 河南省農(nóng)用大中型拖拉機(jī)擁有量 單位：萬臺(tái)年份 1

37、978 1979 1980 1981 1982 數(shù)據(jù) 4.1299 5.2382 5.9666 6.4590 6.3160 圖6.7.1由圖6.7.1可以看出，原始數(shù)據(jù)曲線近似S形，取=（4.1299，5.2382，5.9666，6.4590，6.3160）則的1IAGO序列緊鄰均值生成序列分別為=（4.1299，1.1083，0.7284，0.4924，0.143）=（4.68405，5.6024，6.2128，6.3875），取，可得Verhulst時(shí)間響應(yīng)式由此可對(duì)河南省大中型拖拉機(jī)擁有量進(jìn)行模擬、預(yù)測(cè)。 ， ， ，其中為1983年河南省大中型拖拉機(jī)擁有量的預(yù)測(cè)值，而1983年的實(shí)際數(shù)據(jù)

38、=6.4389，殘差，相對(duì)誤差 預(yù)測(cè)精度達(dá)99.8%。模擬殘差序列 =（0.0215，0.0422，0.2106，0.0758）模擬效果較好。6.8 GM模型參數(shù)優(yōu)化一、GM（1，1）模型參數(shù)優(yōu)化定理6.8.1 設(shè)B,Y,為定理6.2.1所述，則 （1）白化方程 的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為： （6.8.1）上式中： 其中 （2） GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為： n （6.8.2） (3) 還原值 n證明 （1） 因?yàn)?的通解為 c為常數(shù) 應(yīng)用下列方法確定常數(shù)c: 首先構(gòu)建一個(gè)以x(1)與其模擬值差的平方和最小為目標(biāo)的函數(shù)Z(c) 令 求得: （6.8.3）即：(2) 由（1）的證明結(jié)果，令t=k得： (3) 由累減還原顯然可得。二、DGM模型參數(shù)優(yōu)化DGM(2,1)模型及其白化方程的定義見定義6.7.3 。定理6.8.2 設(shè)X(0)，X(1), a(1) X(0)為定義6.8.3所述，若為參數(shù)，則，DGM模型的最小二乘估計(jì)參數(shù)序