大學(xué)高等數(shù)學(xué)19常數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)及審斂法冪級數(shù)

1、無窮級數(shù) 無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)付氏級數(shù)付氏級數(shù)第十一章常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 *四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一節(jié) 第十一章 一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念 引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形, 這個和逼近于圓的面積 A .0a1a2an

2、a設(shè) a0 表示,時n即naaaaA210內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時增加的面積, 則圓內(nèi)接正邊形面積為n23機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引例引例2. 小球從 1 米高處自由落下, 每次跳起的高度減少一半, 問小球是否會在某時刻停止運動? 說明道理.由自由落體運動方程2g21ts 知g2st 則小球運動的時間為1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g12 63. 2( s )設(shè) tk 表示第 k 次小球落地的時間, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義： 給定一個數(shù)列,321nuuuu將各項依,1nnu即1nnunuuuu321稱上式為無窮級數(shù)， 其中

3、第 n 項nu叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前 n 項和nkknuS1稱為級數(shù)的部分和.nuuuu321次相加, 簡記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無窮級數(shù)并稱 S 為級數(shù)的和和, 記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1nnuS當(dāng)級數(shù)收斂時, 稱差值21nnnnuuSSr為級數(shù)的余項余項.,lim不存在若nnS則稱無窮級數(shù)發(fā)散發(fā)散 .顯然0limnnr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1時，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而

4、qannS1lim因此級數(shù)收斂 ,;1 qa,1時當(dāng)q,limnnq由于從而,limnnS則部分和因此級數(shù)發(fā)散 .其和為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2). 若,1q,1時當(dāng)qanSn因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時當(dāng)qaaaaan 1) 1(因此nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時, 等比級數(shù)收斂 ;1q時, 等比級數(shù)發(fā)散 .則,級數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 判別下列級數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1l

5、n2(ln) 1ln( n）n(所以級數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧技巧:利用 “拆項相消拆項相消” 求和23ln34lnnn1ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用 “拆項相消拆項相消” 求和機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 判別級數(shù)2211lnnn的斂散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln2

6、3ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原級數(shù)收斂 , 其和為.2ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項乘以常數(shù) c 所得級數(shù)1nnuc也收斂 ,證證: 令,1nkknuS則nkknuc1,nScnnlimSc這說明1nnuc收斂 , 其和為 c S . nnSclim說明說明: 級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù),1nnuS1nnv則級數(shù))(1nnnvu 也收斂

7、, 其和為.S證證: 令,1nkknuS,1nkknv則)(1knkknvu nnS)(nS這說明級數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .(用反證法可證)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)3. 在級數(shù)前面加上或去掉有限項有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性.證證: 將級數(shù)1nnu的前 k 項去掉,1nnku的部分

8、和為nllknu1knkSSnknS與,時由于n數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級數(shù)收斂時, 其和的關(guān)系為.kSS 類似可證前面加上有限項的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級所得新級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證證: 設(shè)收斂級數(shù),1nnuS若按某一規(guī)律加括弧,)()(54321uuuuu則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(mm為原級數(shù)部分和序列 ),2,1(nSn的一個子序列,nnmmS limlimS推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但1

9、111發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證用反證法可證例如機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.判斷級數(shù)的斂散性:141141131131121121解解: 考慮加括號后的級數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散 .nn121機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級數(shù),1nnuS則必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見: 若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332

10、211nnn其一般項為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.nun,時當(dāng)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意注意:0limnnu并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級數(shù)發(fā)散 .事實上事實上 , 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 則0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假設(shè)不真 .21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 判斷下列級數(shù)的斂散性, 若收斂求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu

11、則nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故euuunn11從而,0limnnu這說明級數(shù)(1) 發(fā)散.111)1 ()1 (nnnne11) 1(! ) 1(nnnnennnne!機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 123231)2(nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進行拆項相消進行拆項相消,41limnnS這說明原級數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn(2) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1212)3(n

12、nn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132這說明原級數(shù)收斂, 其和為 3 ., 3limnnS故(3) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的充要條件是:*四、柯西審斂原理四、柯西審斂原理 定理定理.收斂級數(shù)1nnu, 0,ZNpnnnuuu21時，當(dāng)Nn ,Zp對任意有證證: 設(shè)所給級數(shù)部分和數(shù)列為),2, 1(nSn因為npnpnnnSSuuu21所以, 利用數(shù)列 ),2, 1(nSn的柯西審斂原理(第

13、一章第六節(jié)) 即得本定理的結(jié)論 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. .112的斂散性nnpnnnuuu21解解: ,Zp對任意有利用柯西審斂原理判別級數(shù) 222)(1)2(1) 1(1pnnn)(1(1)2)(1(1) 1(1pnpnnnnn)111()2111()111(pnpnnnnnpnn11n1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 0，取1N當(dāng) nN 時,Zp對任意都有nuuupnnn121由柯西審斂原理可知, 級數(shù) .112收斂nn作業(yè)作業(yè) P192 1(1), (3) ； 2(2), (3), (4)； 3(2)； 4(1), (3), (5); *5(3), (4)

14、第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、交錯級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 第二節(jié)第二節(jié)一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一章 一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法若,0nu1nnu定理定理 1. 正項級數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”機動 目錄 上頁 下頁 返回

15、 結(jié)束 ,Zn,nnvku 都有定理定理2 (比較審斂法比較審斂法)設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對一切,Nn 有(1) 若強級數(shù)1nnv則弱級數(shù)1nnu(2) 若弱級數(shù)1nnu則強級數(shù)1nnv證證:設(shè)對一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示弱級數(shù)和強級數(shù)的部分和, 則有nnvku 是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 若強級數(shù)1nnv則有nn lim因此對一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu則有(2) 若弱級數(shù)1nnu,limnnS因此,limnn這說明強級數(shù)1nnv也發(fā)

16、散 .knSnk也收斂 .發(fā)散,收斂,弱級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 討論 p 級數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 若, 1p因為對一切,Zn而調(diào)和級數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 1p因為當(dāng)nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強級數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強級數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級數(shù)收斂 .時,1) 1(11pn11111) 1(11312121

17、1pppppnn12) 若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在,ZN對一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明級數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因為2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級數(shù)111nn21kk發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知, 所給級數(shù)發(fā)散 .例例2.2.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3. (比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 ,1收斂時且n

18、nv;1也收斂nnu(3) 當(dāng) l = ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據(jù)極限定義, 0對,ZN存在lnnvu)(l設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時,時當(dāng)Nn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知與1nnu1nnv同時收斂或同時發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當(dāng)l = 時,ZN存在,時當(dāng)Nn ,1nnvu即nnvu 由定理2可知, 若1nnv發(fā)散 , ;1也收斂則nnu(1) 當(dāng)0 l 0, 使阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng) 時, 0 xx 00nnxxM收斂,0nnnxa故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收

19、斂,反之, 若當(dāng)0 xx 時該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.假設(shè)有一點1x01xx0 x滿足不等式0 xx 所以若當(dāng)0 xx 滿足且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知, 級數(shù)在點故假設(shè)不真. 的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 . 時冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切則由前也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0證畢機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間. 用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R = 0 時, 冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;R = 時,0 R冪級數(shù)在 (R , R

20、 ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域收斂域.R 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散; 在(R , R ) 稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2. 若0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1) 若 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng),1x原級數(shù)收斂;當(dāng),1x原級數(shù)發(fā)散.x即1x時,1) 當(dāng) 0 時,2) 當(dāng) 0 時,3) 當(dāng) 時,即時,則 1x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 若, 0則根據(jù)比值審斂法

21、可知,;R絕對收斂 ,3) 若,則對除 x = 0 以外的一切 x 原級發(fā)散 ,.0R對任意 x 原級數(shù)因此因此 0nnnxa的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理1limnnnaaR因此級數(shù)的收斂半徑.1R機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對端點 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域為例例1 1.求冪級數(shù) limn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00

22、nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂域為. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.nnxnn202) !(! )2(求冪級數(shù)的收斂半徑 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當(dāng)時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21

23、R21x即142x當(dāng)21x即) 1(2nxnx2故直接由機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為,22t故原級數(shù)的收斂域為,212x即.31x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算定理定理3. 設(shè)冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21RR令nnnx

24、a0)(0為常數(shù)nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 則有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上結(jié)論可用部分和的極限證明 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多. 例如, 設(shè) nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂半徑均為,R但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是 .1R1x1nnnxb0 x11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4 若冪級數(shù)n

25、nnxa0的收斂半徑,0R)(xS數(shù)(證明見第六節(jié))nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分, 運算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 由例2可知級數(shù)的收斂半徑 R+.例例5.0!nnnx求冪級數(shù)0!)(nnnxxS)(x則11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函數(shù) .因

26、此得設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 1nnxn求冪級數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時級數(shù)發(fā),)1,1(時故當(dāng)x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求級數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時級數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收斂 , 有時則當(dāng),0 x0111nnnxxxnnxxx00d1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1 ,0()0

27、, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8.2) 1(122的和求數(shù)項級數(shù)nnn解解: 設(shè),1)(22nnnxxS則, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0( x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標準型冪級數(shù)先求收斂半徑 ,