常微分方程21變量分離方程與變量變換

1、第二章 一階微分方程的初等解法 2.1 變量分離方程與變量變換變量分離方程與變量變換yxyedxdy122yxdxdy先看例子：xyeye2021-11-11常微分方程定義1形如) 1 . 2()()(yxfdxdy方程,稱為變量分離方程.,)(),(的連續(xù)函數(shù)分別是這里yxyxf),(yxFdxdy2021-11-11常微分方程一、變量分離方程的求解一、變量分離方程的求解,10分離變量,)()(dxxfydy這樣變量就“分離”開了.)2 . 2()()(cdxxfydy的某一原函數(shù))(1y的某一原函數(shù))(xf.) 1 . 2(),()2 . 2(的解就為所確定的函數(shù)由cxy) 1 . 2()

2、()(yxfdxdy兩邊積分得02寫成將時當) 1 . 2(,0)(y2021-11-11常微分方程例：122yxdxdydxxydy221Cdxxydy221Cxy331arctan分離變量:兩邊積分:2021-11-11常微分方程.,)2 . 2(,) 1 . 2(, 0)(,000必須予以補上的通解中它不包含在方程可能的解也是則使若存在yyyy注:例1求微分方程)101 (yydxdy的所有解.解:再積分方程兩邊同除以),101 (yy1)101 (cdxyydy積分得:110lncxyy2021-11-11常微分方程得再將常數(shù)記為從上式中解出,cy,110 xcey. 0c,100,

3、0)101 (yyyy和求出方程的所有解為由故方程的所有解為:,110為任常數(shù)cceyx. 0y和110lncxyy2021-11-11常微分方程解:分離變量后得dxxdyy123兩邊積分得:121ln2cxy整理后得通解為:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231無意義在由于函數(shù)其中xxyecc.00之一中有意義或故此解只在xx., 0應(yīng)補上這個解未包含在通解中此外還有解 y例223ydxdyx求微分方程的通解.2021-11-11常微分方程例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的連續(xù)函數(shù)是其中的通解xxp解:將變量分離后得dxxpydy)(兩邊積分得:1)(lncdxxpy由

4、對數(shù)的定義有1)(cdxxpey2021-11-11常微分方程即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充許也是方程的解此外ycy.,)(為任常數(shù)cceydxxp故方程的通解為1)(cdxxpey2021-11-11常微分方程例4.1)0(cos2的特解求初值問題yxydxdy解:，xydxdy的通解先求方程cos2得將變量分離時當,0yxdxydycos2兩邊積分得:,sin1cxy因而通解為:,sin1cxy.為任意常數(shù)其中c.,0得到的且不能在通解中取適當也是方程的解此外cy 再求初值問題的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解為:.s

5、in111sin1xxy2021-11-11常微分方程2021-11-11常微分方程二、可化為變量分離方程類型二、可化為變量分離方程類型（I）齊次方程）齊次方程 .,)(222111222111為任意常數(shù)其中的方程形如cbacbacybxacybxafdxdyII2021-11-11常微分方程(I) 形如)5 . 2()(xygdxdy.)(的連續(xù)函數(shù)是這里uug方程稱為齊次方程,求解方法:方程化為引入新變量作變量代換,)(10 xyu ,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy這里由于解以上的變量分離方程02.30變量還原2021-11-11常微分方程例4求解方程)0(2xyxydxdy

6、x解:方程變形為)0(2xxyxydxdy這是齊次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2將變量分離后得xdxudu2udxdux2021-11-11常微分方程兩邊積分得:cxu)ln(即為任意常數(shù)ccxcxu, 0)ln(,)(ln(2代入原來變量,得原方程的通解為,0)ln(, 00)ln(,)ln(2cxcxcxxyxdxudu22021-11-11常微分方程例6求下面初值問題的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy解:方程變形為2)(1xyxydxdy這是齊次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux將變量分離后得xdxudu212021-11-11常微分方程兩邊積分得:c

7、xuulnln1ln2整理后得cxuu21變量還原得cxxyxy2)(1. 1, 0) 1 (cy可定出最后由初始條件故初值問題的解為) 1(212xyxdxudu212021-11-11常微分方程(II) 形如,222111cybxacybxadxdy.,222111為常數(shù)這里cbacba的方程可經(jīng)過變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.2021-11-11常微分方程的情形022121bbaa則方程可改寫成設(shè),2121kbbaa222111cybxacybxadxd

8、y則方程化為令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22這就是變量分離方程2021-11-11常微分方程不同時為零的情形與且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa則).0 , 0(),(,解以上方程組得交點平面兩條相交的直線代表xy作變量代換(坐標變換),yYxX則方程化為YbXaYbXadXdY2211為 (1)的情形,可化為變量分離方程求解.2021-11-11常微分方程解的步驟:,0012221110cybxacybxa解方程組,yx得解方程化為作變換,20yYxXYbXaYbXadXdY

9、2211)(XYg離方程將以上方程化為變量分再經(jīng)變換,30XYu 求解04變量還原052021-11-11常微分方程例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程組0301yxyx, 2, 1yx得代入方程得令2, 1yYxXYXYXdXdY得令,XYu uudXduX112XYXY112021-11-11常微分方程將變量分離后得XdXuduu21)1 (兩邊積分得:cXuuln)1ln(21arctan2變量還原并整理后得原方程的通解為.)2() 1(ln12arctan22cyxxy2021-11-11常微分方程注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.)()(221122211

10、1XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,諸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 2021-11-11常微分方程以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(變量分離方程均可適當變量變換化為些類型的方程等一次數(shù)可以不相同的齊次函數(shù)為其中yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.2021-11-11常微分方程解:,xyu 令ydxxdydu則代入方程并整理得0)(1 ()1 (udxxduudxuu即0)1 (22duuxdxu分離變量后得xdxduuu212兩邊積分得cxuu2lnln1變量還原得通解為.ln1cyxxy2021-11-11常微分方程三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例8、雪球的融化 設(shè)雪球在融化時體積的變化率與表面積成比例，且在融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時的半徑為6cm，經(jīng)過2小時后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時間變化的關(guān)系。解:則表面積為雪球的體積為設(shè)在時刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)系得)(3)4()(323231tvts2021-11-11常微分方程再利用題中條件得引入新常數(shù),3)4(