一階電路的階躍和沖激狀態(tài)方程

1、9.5 9.5 一階電路的階躍響應(yīng)一階電路的階躍響應(yīng)1. 1. 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)l 定義定義 )0(1)0(0)(t t tt (t)01l 單位階躍函數(shù)的延遲單位階躍函數(shù)的延遲 )(1)(0)(000tt tt ttt (t-t0)t001下 頁(yè)上 頁(yè)返 回t = 0 合閘合閘 i(t) = Is)(t在電路中模擬開關(guān)的動(dòng)作在電路中模擬開關(guān)的動(dòng)作t = 0 合閘合閘 u(t) = E)(tl 單位階躍函數(shù)的作用單位階躍函數(shù)的作用下 頁(yè)上 頁(yè)SUSu(t)(StUu(t)返 回Is)(tik)(tISu(t)起始一個(gè)函數(shù)起始一個(gè)函數(shù)tf (t)0)()sin(00tttt t0延遲一個(gè)

2、函數(shù)延遲一個(gè)函數(shù)下 頁(yè)上 頁(yè)tf(t)0t0)()sin(tt)()sin(0ttt 返 回l 用單位階躍函數(shù)表示復(fù)雜的信號(hào)用單位階躍函數(shù)表示復(fù)雜的信號(hào)例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0) 4() 3() 1(2)( ttttf例例 21t1 f(t)0243下 頁(yè)上 頁(yè)返 回) 1()1()()( tttttf例例 41t1 f(t)0) 1() 1()( tttt) 1() 1( tt)(tt)4() 3() 1()()( tt tttf例例 31t1 f(t)0243下 頁(yè)上 頁(yè)返 回)()() 1 (tt u 例例 5t1 02已

3、知電壓已知電壓u(t)的波形如圖，的波形如圖，試畫出下列電壓的波形。試畫出下列電壓的波形。)1()2()4( tt u ) 1() 1()3( tt u )() 1()2(tt u t1 u(t)022t1 011t 1 01 t1021下 頁(yè)上 頁(yè)返 回)( )1 ()( tetuRCtC)( 1)( teRtiRCt)( teiRCt和和0 teiRCt的區(qū)別的區(qū)別2. 2. 一階電路的階躍響應(yīng)一階電路的階躍響應(yīng)激勵(lì)為單位階躍函數(shù)時(shí)，電路激勵(lì)為單位階躍函數(shù)時(shí)，電路中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)下 頁(yè)上 頁(yè)iC +uCRuC (0)=0)( t注意返 回)( tei

4、RCt0 teiRCtt01it01i下 頁(yè)上 頁(yè)tuC10返 回tiC0激勵(lì)在激勵(lì)在 t = t0 時(shí)加入，時(shí)加入，則響應(yīng)從則響應(yīng)從t =t0開始。開始。t- t0RCCeRi 1( t - t0 )(10 tteRRC- t不要寫為：不要寫為：下 頁(yè)上 頁(yè)iC (t -t0)C +uCRR1t0注意返 回)5 . 0(10)(10ttuS求圖示電路中電流求圖示電路中電流 iC(t）例例下 頁(yè)上 頁(yè)10k10kus+-ic100FuC(0)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0)=0等效等效返 回)5 . 0(10)(10ttuS應(yīng)用疊加定理應(yīng)用疊加定理下

5、頁(yè)上 頁(yè))(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F)(t5k+-ic100Fs5 . 01051010036RCmA )( 51dd2CtetuCitC)( )1 ()(2t tetuC階躍響應(yīng)為：階躍響應(yīng)為：返 回由齊次性和疊加性得實(shí)際響應(yīng)為：由齊次性和疊加性得實(shí)際響應(yīng)為：)5 . 0(51)(51 5)5 . 0(22teteittCmA)5 . 0()()5 . 0(22tetett下 頁(yè)上 頁(yè))(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F返 回)5 . 0()()5 . 0(22teteittC0)5 . 0( 1)( 5 . 00tttte

6、i2C)5 .0(21)5 .0(2)5 .0(22C632.0 )1(tttteeeeei下 頁(yè)上 頁(yè)1)5 . 0( 1)( 0.5sttt分段表示為：分段表示為：返 回分段表示為：分段表示為：s)0.5(mA 0.632-s)5 . 0(0 mA )(5)0.-2(-2C tetetittt(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.368下 頁(yè)上 頁(yè))5 .0(632.0 )5 .0()()5 .0(22tetteittC返 回9.79.7* * 一階電路的沖激響應(yīng)一階電路的沖激響應(yīng)1. 1. 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)l 定義定義)0( 0)(tt1d)(ttt(t)10單位脈

7、沖函單位脈沖函數(shù)的極限數(shù)的極限 / 21/ tp(t)- / 21 0)()(lim0ttp)2()2(1)(tttp下 頁(yè)上 頁(yè)返 回l 單位沖激函數(shù)的延遲單位沖激函數(shù)的延遲1d)()( 0)(000tttttttt (t-t0)t00（1）l 單位沖激函數(shù)的性質(zhì)單位沖激函數(shù)的性質(zhì)沖激函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分等于階躍函數(shù)沖激函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分等于階躍函數(shù))( 0 10 0d)(tttttt)(d)( d ttt下 頁(yè)上 頁(yè)返 回沖激函數(shù)的沖激函數(shù)的篩分篩分性性 )0(d )( )0(d)()(fttftttf)(d)()(00tfttttf同理同理 d)6()(sin tttt02. 162166si

8、n 例例t(t)10f(t)f(0) f(t)在在 t0 處連續(xù)處連續(xù)f(0)(t)注意下 頁(yè)上 頁(yè)返 回)(ddtRutuCccuc不是沖激函數(shù)不是沖激函數(shù) , , 否則否則KCL不成立不成立分二個(gè)時(shí)間段考慮沖激響應(yīng)分二個(gè)時(shí)間段考慮沖激響應(yīng)電容充電，方程為電容充電，方程為(1) t 在在 0 0+間間例例12. 2. 一階電路的沖激響應(yīng)一階電路的沖激響應(yīng)激勵(lì)為單位沖激函數(shù)時(shí)，電路中激勵(lì)為單位沖激函數(shù)時(shí)，電路中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)求單位沖激電流激勵(lì)下的求單位沖激電流激勵(lì)下的RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。電路的零狀態(tài)響應(yīng)。解解注意下 頁(yè)上 頁(yè)返 回uC(0)=0iCR(t

9、)C+-uC)0(1)0(CCuCu電容中的沖激電流使電容電壓發(fā)生躍變。電容中的沖激電流使電容電壓發(fā)生躍變。1d)(dddd0000C00CtttRuttuC01)0()0(CCuuC結(jié)論(2) t 0+ 為零輸入響應(yīng)（為零輸入響應(yīng)（RC放電）放電）iCRC+uCCu1)0(C01 CteCuRCt01 CCteRCRuiRCt下 頁(yè)上 頁(yè)返 回uCt0C1)(1)()(1 C CteRCtiteCuRCtRCtiCt1RC10下 頁(yè)上 頁(yè)返 回)(ddttiLRiLL例例2求單位沖激電壓激勵(lì)下的求單位沖激電壓激勵(lì)下的RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)。電路的零狀態(tài)響應(yīng)。分二個(gè)時(shí)間段考慮沖激響應(yīng)分二個(gè)時(shí)間段

10、考慮沖激響應(yīng)解解L+-iLR)(t+-uL0)0(LiiL不是沖激函數(shù)不是沖激函數(shù) , , 否則否則KVL不成立。不成立。注意1d)(dd000000tttdtdiLtRiLL0(0 )-(0 ) =1-+LLL ii)0(1)0(LLiLi下 頁(yè)上 頁(yè)返 回(1) t 在在 0 0+間間方程為方程為電感上的沖激電壓使電感電流發(fā)生躍變。電感上的沖激電壓使電感電流發(fā)生躍變。)0(1)0(LLiLi結(jié)論(2) t 0+ RL放電放電LiLR+-uLRLLiL1)0(01 teLitL0 teLRRiutLL下 頁(yè)上 頁(yè)返 回)(1 teLitL)()( teLRtutLiLt0L1uLt1RL0下

11、 頁(yè)上 頁(yè)返 回零狀態(tài)零狀態(tài)R(t)(te3. 3. 單位階躍響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)關(guān)系單位階躍響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)關(guān)系單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h(t)s(t)單位沖激單位沖激 (t)單位階躍單位階躍 (t)tttd)(d)()(dd)(tstth激勵(lì)激勵(lì)響應(yīng)響應(yīng)下 頁(yè)上 頁(yè)返 回)()(ttiS先求單位階躍響應(yīng)：先求單位階躍響應(yīng)：求求: :is (t)為單位沖激時(shí)電路響應(yīng)為單位沖激時(shí)電路響應(yīng)uC(t)和和iC (t).例例解解)()1 ()(teRtuRCtCuC(0+)=0 uC()=R = RC iC(0+)=1 iC()=0 )( CteiRCt再求單位沖激響應(yīng)再求單

12、位沖激響應(yīng), ,令：令：)()(Stti下 頁(yè)上 頁(yè)返 回令令uC(0)=0iCRiS(t)C+-uC)()1 (dd teRtuRCtC)()1 (teRRCt)(1teCRCt)(1teCRCt)()0()()(tfttf0)(dd CtetiRCt)(1)( teRCteRCtRCt)(1)( teRCtRCt下 頁(yè)上 頁(yè)返 回uCRt0iC1t0uCt0C1沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)iCt1RC10下 頁(yè)上 頁(yè)返 回1.1.網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)與狀態(tài)變量網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)與狀態(tài)變量l 網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài) 指能和激勵(lì)一道唯一確定網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)時(shí)和未來行指能和激勵(lì)一道唯一確定網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)時(shí)和未來行為的最少量的一組信息

13、。為的最少量的一組信息。l 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 電路的一組獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量電路的一組獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量X， X=x1, x2 xnT ，它們?cè)谌魏螘r(shí)刻的值組成了該時(shí)刻的狀態(tài)，如獨(dú)立它們?cè)谌魏螘r(shí)刻的值組成了該時(shí)刻的狀態(tài)，如獨(dú)立的電容電壓（或電荷），電感電流（或磁通鏈）就的電容電壓（或電荷），電感電流（或磁通鏈）就是電路的狀態(tài)變量。是電路的狀態(tài)變量。下 頁(yè)上 頁(yè)7.107.10* * 狀態(tài)方程狀態(tài)方程返 回l 狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法下 頁(yè)上 頁(yè) 借助于借助于狀態(tài)變量，建立一組聯(lián)系狀態(tài)變量和狀態(tài)變量，建立一組聯(lián)系狀態(tài)變量和激勵(lì)函數(shù)的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。激勵(lì)函數(shù)的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。只只要知

14、道狀態(tài)變量在某一時(shí)刻值要知道狀態(tài)變量在某一時(shí)刻值X(t0),再知道輸入激再知道輸入激勵(lì)勵(lì)e(t)，就可以確定就可以確定tt0后電路的全部性狀后電路的全部性狀(響應(yīng)響應(yīng))。狀態(tài)變量狀態(tài)變量 X(t0)激激 勵(lì)勵(lì) e(t) (tt0) Y(t) (tt0) 響應(yīng)響應(yīng)注意這里講的為數(shù)最少的變量必須是互相獨(dú)立的。這里講的為數(shù)最少的變量必須是互相獨(dú)立的。返 回已知已知: :0)0(V3)0()sin(20)(30iuLCotte 求：求：).0(),0(),0(),0(uiuiRRLC解解V7)0(uLV3)0(RuA1)0(A1)0(CRiie(0)=10V0)0(V3)0(CiuL例例下 頁(yè)上 頁(yè)3

15、LCe(t)+iLiC+-uC-uo返 回同理可推廣至任一時(shí)刻同理可推廣至任一時(shí)刻t1由由)()()(11C1titutLe)()()()(1C111tititutuRLR (1)狀態(tài)變量和儲(chǔ)能元件有關(guān)狀態(tài)變量和儲(chǔ)能元件有關(guān) (2)有幾個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，就有幾個(gè)狀態(tài)變量有幾個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，就有幾個(gè)狀態(tài)變量 (3)狀態(tài)變量的選擇不唯一。狀態(tài)變量的選擇不唯一。求出求出下 頁(yè)上 頁(yè)表明返 回設(shè)設(shè) uc、iL 為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量RuituCiCLCCddRCuituCLCCddLuLtetiCL)(dd整理得整理得 每一個(gè)狀態(tài)方程中只含有一個(gè)狀態(tài)變量的一每一個(gè)狀態(tài)方程中只含有一個(gè)狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)

16、。對(duì)簡(jiǎn)單電路采用階導(dǎo)數(shù)。對(duì)簡(jiǎn)單電路采用直觀編寫法。直觀編寫法。狀態(tài)方程狀態(tài)方程下 頁(yè)上 頁(yè)2. 2. 狀態(tài)方程的列寫狀態(tài)方程的列寫3LCe(t)+iLiC+-uC-uoCLL)(ddutetiLu返 回矩陣形式矩陣形式)(100111ddddteLLCRCttiuiuLCLC03)0(X 聯(lián)立的一階微分方程組聯(lián)立的一階微分方程組 左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù) 右端含狀態(tài)變量和輸入量右端含狀態(tài)變量和輸入量下 頁(yè)上 頁(yè)特點(diǎn)返 回 AXBVX一般形式一般形式下 頁(yè)上 頁(yè)返 回12ddddddTnxxxXttt 12,TnXx xx電路的輸出方程電路的輸出方程)(000100101

17、111teRRuiuiuiLCRRCL代數(shù)方程代數(shù)方程 用狀態(tài)變量和輸入量表示輸出量用狀態(tài)變量和輸入量表示輸出量一般形式一般形式Y(jié)=CX+DV下 頁(yè)上 頁(yè)3LCe(t)+iLiC+-uC-uC特點(diǎn)電路中某些感興趣的量與狀態(tài)電路中某些感興趣的量與狀態(tài)變量和輸入量之間的關(guān)系變量和輸入量之間的關(guān)系 返 回下 頁(yè)上 頁(yè)例例列出電路的狀態(tài)方程列出電路的狀態(tài)方程L1CuS+iL1iS+-uC-R1R2iL2L21212解解對(duì)結(jié)點(diǎn)對(duì)結(jié)點(diǎn)列出列出KCL方程方程21ddLLCiituC返 回下 頁(yè)上 頁(yè)112211S22Sddd()dLCLLCLiLuRiutiLuR iit121S1S111222222d11

18、000dd1100dd100dCCLLutCCuiRuiitLLLiiRRtLLL 對(duì)回路對(duì)回路1和回路和回路2列出列出KVL方程方程把以上方程整理成矩陣形式有把以上方程整理成矩陣形式有返 回下 頁(yè)上 頁(yè)n1Cuu2n2S2()Luii R2Sn122n2S100000CLuuuiRRui若以結(jié)點(diǎn)若以結(jié)點(diǎn)、的電壓作為輸出，則有的電壓作為輸出，則有整理并寫成矩陣形式有整理并寫成矩陣形式有返 回1.1.動(dòng)態(tài)電路微分方程的階數(shù)與電路結(jié)構(gòu)的關(guān)系動(dòng)態(tài)電路微分方程的階數(shù)與電路結(jié)構(gòu)的關(guān)系 動(dòng)態(tài)電路微分方程的階數(shù)與電路中所含的獨(dú)立動(dòng)態(tài)電路微分方程的階數(shù)與電路中所含的獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)相等。動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)相等。

19、下 頁(yè)上 頁(yè)7.117.11* * 動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問題動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析中的幾個(gè)問題當(dāng)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中存在純電容回路，由當(dāng)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中存在純電容回路，由KVL可知其中可知其中必有一個(gè)電容電壓可由回路中其它元件的電壓求必有一個(gè)電容電壓可由回路中其它元件的電壓求出，此電容電壓為非獨(dú)立的電容電壓。出，此電容電壓為非獨(dú)立的電容電壓。例例返 回下 頁(yè)上 頁(yè)當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中存在純電感結(jié)點(diǎn)，由當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中存在純電感結(jié)點(diǎn)，由KCL可知其中必可知其中必有一個(gè)電感電流可由其它元件的電流求出，此有一個(gè)電感電流可由其它元件的電流求出，此電感電流時(shí)非獨(dú)立的。電感電流時(shí)非獨(dú)立的。網(wǎng)絡(luò)中與獨(dú)立電壓源并聯(lián)的電容元件，其電壓網(wǎng)絡(luò)中與獨(dú)立電壓源并聯(lián)的電容元件，其電壓uC由由uS決定。決定。網(wǎng)絡(luò)中與獨(dú)立電流源串聯(lián)的電感元件，其網(wǎng)絡(luò)中與獨(dú)立電流源串聯(lián)的電感元件，其iL由由iS決定。決定。返 回 以上四種請(qǐng)況中非獨(dú)立的以上四種請(qǐng)況中非獨(dú)立的uC和和iL不能作為狀態(tài)不能作為狀態(tài)變量，不含以上四種情況的網(wǎng)絡(luò)稱為常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。狀變量，不含以上四種情況的網(wǎng)絡(luò)稱為常態(tài)網(wǎng)絡(luò)。狀態(tài)變量數(shù)等于態(tài)變量數(shù)等于C、L元件總數(shù)。含有以上四種情況元件總數(shù)。含有以上四種情況的網(wǎng)絡(luò)稱為非常態(tài)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量數(shù)小于網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)稱為非常