同濟大學信號與系統(tǒng)第一章第2講基本信號

1、信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 1 1、單位斜坡函數(shù)、單位斜坡函數(shù)2 2、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù)3 3、單位沖激函數(shù)、單位沖激函數(shù) (t)(t)4 4、單位沖激偶、單位沖激偶 (t)(t)奇異函數(shù)的綜合：奇異函數(shù)的綜合：1.4 1.4 階躍信號與沖擊信號（奇異信號）階躍信號與沖擊信號（奇異信號）信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 奇異信號定義：奇異信號定義：奇異信號是一類特殊的連續(xù)時間信號，其函數(shù)本身有不連續(xù)點奇異信號是一類特殊的連續(xù)時間信號，其函數(shù)本身有不連續(xù)點（跳變點），或其函數(shù)的導數(shù)與積分有不連續(xù)點。（跳變點），或其函數(shù)的導數(shù)與積分有不連續(xù)點。它們是從實際信號中抽象出來的理想

2、化了的信號，在信號與系它們是從實際信號中抽象出來的理想化了的信號，在信號與系統(tǒng)分析中占有很重要的地位。統(tǒng)分析中占有很重要的地位。常見的奇異信號：常見的奇異信號：單位斜坡函數(shù)，單位斜坡函數(shù)，單位階躍函數(shù)，單位階躍函數(shù)，單位沖激函數(shù)等。單位沖激函數(shù)等。奇異信號奇異信號信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 000)(ttttRR(t)11t1t0tR(t-t0)單位斜坡函數(shù)定義：單位斜坡函數(shù)定義：從從t=0t=0開始，隨后具有單位斜率的時間函數(shù)。它的導開始，隨后具有單位斜率的時間函數(shù)。它的導數(shù)在數(shù)在t=0t=0處不連續(xù)。處不連續(xù)。如果將起始點移至如果將起始點移至t t0 0，則，則: :000)(t

3、tttR)(0tt )(0tt 1、單位斜坡函數(shù)、單位斜坡函數(shù)信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 單位階躍函數(shù)定義：零時刻前，函數(shù)值為單位階躍函數(shù)定義：零時刻前，函數(shù)值為0，隨后值，隨后值為為1。在。在t=0處未定義。有些書中將處未定義。有些書中將t=0處定義為處定義為1/2。0100)(tttu10u(t)t10u(t-t0)tt0若跳變點移至若跳變點移至t0，則，則 10)(0ttu)(0tt )(0tt 2、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù)信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 tdutR)()(單位階躍函數(shù)等于單位斜坡函數(shù)的導數(shù)單位階躍函數(shù)等于單位斜坡函數(shù)的導數(shù)單位階躍函數(shù)的特性：單位階躍函

4、數(shù)的特性：單位階躍函數(shù)的積分是單位斜坡函數(shù)單位階躍函數(shù)的積分是單位斜坡函數(shù)dttdRtu/)()(信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 單位階躍函數(shù)的接入特性：單位階躍函數(shù)的接入特性：在實際應用中，常用單位階躍信號與某函數(shù)在實際應用中，常用單位階躍信號與某函數(shù)的乘積來表示信號的接入特性的乘積來表示信號的接入特性)(sin)(tuttf 信號在信號在t t0 0時刻接入：時刻接入：sin t u(t)0t)(sin)(0ttuttf sin （t) u(t-t0)tt00信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 10u(t)tt00( )( )()G tu tu t t門函數(shù)與任意函數(shù)相乘，門函數(shù)與

5、任意函數(shù)相乘，在在 外為外為0，在，在 內(nèi)為內(nèi)為f(t)10G(t)tt0門函數(shù)門函數(shù):單位階躍函數(shù)的派生函數(shù)：單位階躍函數(shù)的派生函數(shù)：u(t)與與-u(t-t0)疊加，得到矩形脈沖疊加，得到矩形脈沖門函數(shù)門函數(shù)信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 202u(t)t10sgn(t)t01011)(2)sgn(tttut在此，符號函數(shù)在跳變點也不予定義。有些書中規(guī)定在此，符號函數(shù)在跳變點也不予定義。有些書中規(guī)定sgn(0)=0符號函數(shù)符號函數(shù):單位階躍函數(shù)的派生函數(shù)：單位階躍函數(shù)的派生函數(shù)：符號函數(shù)符號函數(shù)信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 3、單位沖激函數(shù)、單位沖激函數(shù) (t):沖激函數(shù)是對

6、于作用時間極短，而相應物理量強度極沖激函數(shù)是對于作用時間極短，而相應物理量強度極大的物理過程的理想描述。大的物理過程的理想描述。例如物體在受到短時沖擊力例如物體在受到短時沖擊力F的作用，如果沖量的作用，如果沖量F t為為常數(shù)，當常數(shù)，當 t趨于趨于0時，沖擊力時，沖擊力F趨于無窮大趨于無窮大。以這樣一類現(xiàn)象為背景，抽象出以這樣一類現(xiàn)象為背景，抽象出“單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)”或或稱稱“ 函數(shù)函數(shù)”，用它來描述上述物理現(xiàn)象。，用它來描述上述物理現(xiàn)象。 3、單位沖激函數(shù)、單位沖激函數(shù) (t)信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 矩形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)矩形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù):單位沖激函數(shù)可視為幅度單

7、位沖激函數(shù)可視為幅度1/ 與脈寬與脈寬 的乘積（矩形的乘積（矩形的面積）為的面積）為1個單位的矩形脈沖。個單位的矩形脈沖。 當當 趨于趨于0時，脈沖的幅度趨于無窮大。時，脈沖的幅度趨于無窮大。 tG(t) 12 2 0t0(1) (t)0沖激函數(shù)定義沖激函數(shù)定義信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 因此，因此， (t)為為)2()2(1)(lim0tutut該條件又稱狄拉克條件。該條件又稱狄拉克條件。00)(1)(ttdtt狄拉克（狄拉克（Dirac）定義）定義沖激函數(shù)定義沖激函數(shù)定義信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 t0(1)(t)圖中圖中(1)表示強度為表示強度為1，或稱所圍面，或稱所

8、圍面積為積為1，而不是指幅值為，而不是指幅值為1。定義中沒有給出定義中沒有給出t=0時刻的函數(shù)值，可見它不是通常意時刻的函數(shù)值，可見它不是通常意義下的函數(shù)，稱為義下的函數(shù)，稱為“廣義函數(shù)廣義函數(shù)”。 函數(shù)有多種定義方法，其中根據(jù)廣義函數(shù)的定義，函數(shù)有多種定義方法，其中根據(jù)廣義函數(shù)的定義，是嚴格的數(shù)學定義。是嚴格的數(shù)學定義。信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 t0(1)(t-t0)t0若沖激點在若沖激點在t=tt=t0 0處，則定義式為：處，則定義式為： 0)(1)(00ttdttt )(0tt 信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 由定義知由定義知 當當t0t0t0時時所以所以 函數(shù)的積分為

9、：函數(shù)的積分為： td10)( ot ot 單位沖激函數(shù)的特性：單位沖激函數(shù)的特性：單位沖激函數(shù)的積分是單位階躍函數(shù)單位沖激函數(shù)的積分是單位階躍函數(shù)信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 所以，所以， u(t)u(t)與與 函數(shù)的關系為函數(shù)的關系為tdtu)()(或或)()(tudtdt u(t)u(t)在在t=0t=0處是不連續(xù)的，按經(jīng)典的函數(shù)可微性來處是不連續(xù)的，按經(jīng)典的函數(shù)可微性來判斷，上式是無法理解的。廣義函數(shù)把經(jīng)典的函數(shù)判斷，上式是無法理解的。廣義函數(shù)把經(jīng)典的函數(shù)微分及其概念加以推廣，使微分及其概念加以推廣，使 函數(shù)及其它奇異函數(shù)的函數(shù)及其它奇異函數(shù)的定義與特性有了嚴格的理論基礎。定義

10、與特性有了嚴格的理論基礎。信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 ( ) ( )(0) ( )f ttft若沖激點在若沖激點在t0處，且處，且f(t)在在t0處連續(xù)，則處連續(xù)，則)()()()(000tttftttf證明：證明：因為在因為在t t 0 0（或（或t t t t0 0）處，）處， (t)(t)（或（或 (t-t(t-t0 0) )）為）為0 0，所，所以上式成立。以上式成立。連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)f(t)f(t)與單位沖激函數(shù)的乘積等于沖激點的函與單位沖激函數(shù)的乘積等于沖激點的函數(shù)值與數(shù)值與 (t)(t)相乘相乘信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 )0()()(fdtttf或或 )()

11、()(00tfdttttf 證明：證明： (t)(t)在在t t 0 0處為處為0 0 00)()0()()(dttfdtttf )0()()0(00fdttf 單位沖激函數(shù)與連續(xù)函數(shù)單位沖激函數(shù)與連續(xù)函數(shù)f(t)f(t)的乘積的積分等于沖激的乘積的積分等于沖激點的函數(shù)值點的函數(shù)值沖激函數(shù)的篩選特性沖激函數(shù)的篩選特性信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 0)(1)(ataat證明：證明：1、當、當a0時，令時，令 =at)()()( addtat ada1)(1 沖激函數(shù)的沖激函數(shù)的尺度變換尺度變換信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 1 1、當、當a0a0時，令時，令 = =atat)()(

12、)( addtat ada1)(1 )0()(1)(ataat信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 )()(tt證明：當證明：當a=-1a=-1時，由尺度變換公式即可得時，由尺度變換公式即可得沖激函數(shù)的奇偶性沖激函數(shù)的奇偶性信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 ( )0( )00dtttdtt單位沖激偶定義：單位沖激偶定義：單位沖激偶就是單位沖激函數(shù)的導數(shù)，表達式為：單位沖激偶就是單位沖激函數(shù)的導數(shù)，表達式為：4、單位沖激偶、單位沖激偶 (t)它在它在t=0處有一對正負沖激函數(shù)，其強度都為無窮大。處有一對正負沖激函數(shù)，其強度都為無窮大。信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 )2()2(1)(

13、tututG利用矩形脈沖取極限的方法，可導出上述結(jié)果利用矩形脈沖取極限的方法，可導出上述結(jié)果: (t)可以看作脈寬為可以看作脈寬為 ，幅值為，幅值為1/ 的門函數(shù)的門函數(shù)G(t)當當0時的極限。時的極限。 (t) 可以看作可以看作G(t)求導后，再取求導后，再取當當0時的極限。時的極限。求導得求導得)2(1)2(1)( ttdttdG信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 tG(t) 12 2 0t0(1) (t)0求導求導0tG(t)1( 2 2 0t0( ) (t)圖解單位沖激與沖激偶圖解單位沖激與沖激偶信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 tdt)()()0()()(fdtttf證明：利用

14、分部積分法：證明：利用分部積分法：2、單位沖激偶的抽樣特性：、單位沖激偶的抽樣特性：1、單位沖激偶的積分等于單位沖激函數(shù)、單位沖激偶的積分等于單位沖激函數(shù)單位沖激偶的特性單位沖激偶的特性信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 dttftttf)()(|)()( dtttf)()( )0(f 推廣：推廣：)()()(00tfdttttf 0)( dtt 3、單位沖激偶是奇函數(shù)：、單位沖激偶是奇函數(shù)：由定義可見，由定義可見， (t)是奇函數(shù)，所以包含面積為是奇函數(shù)，所以包含面積為0。信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 1、R(t)的導數(shù)是的導數(shù)是u(t)； u(t)的導數(shù)是的導數(shù)是 (t)； (t

15、)的導數(shù)是的導數(shù)是 (t)。2、 u(t)是物理量的單位躍變的抽象是物理量的單位躍變的抽象3、 (t)是物理量產(chǎn)生單位躍變速度的抽象是物理量產(chǎn)生單位躍變速度的抽象4、 (t)是物理量產(chǎn)生單位躍變加速度的抽象是物理量產(chǎn)生單位躍變加速度的抽象奇異函數(shù)的綜合奇異函數(shù)的綜合信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 為便于研究信號的傳輸和處理，往往將信號分解為為便于研究信號的傳輸和處理，往往將信號分解為比較簡單的基本信號分量之和，信號可以從不同角度比較簡單的基本信號分量之和，信號可以從不同角度分解：分解： 1.5 信號的分解信號的分解 直流分量和交流分量直流分量和交流分量 偶分量與奇分量偶分量與奇分量 脈沖

16、分量脈沖分量 實部分量與虛部分量實部分量與虛部分量 正交分量正交分量信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 直流分量 交流分量 信號平均值)()(tfftfADDf)(tfA)(tf直流分量和交流分量直流分量和交流分量信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 偶分量與奇分量偶分量與奇分量)()(tftfee)()(tftfoo偶分量定義偶分量定義奇分量定義奇分量定義任何信號都可以分解為偶分量和奇分量之和任何信號都可以分解為偶分量和奇分量之和)()()()(21)()(21)(tftftftftftftfoe信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 )()()(tuAtuAtfA t0A t0矩形脈沖矩形

17、脈沖信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 0)()()(nnTtunTtuAtf A t0TT+ 用一系列階躍函數(shù)之和近似表示任意函數(shù)用一系列階躍函數(shù)之和近似表示任意函數(shù)f(0)f(t)k t t 2 tt將時間區(qū)間將時間區(qū)間(0,t)平均平均分成分成n等份，等份， t=t/n。2、任意信號函數(shù)、任意信號函數(shù)信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 第一個階躍第一個階躍f0(t)在在t=0時時刻加入。刻加入。第二個階躍第二個階躍f1(t)在在t= t時刻加入，迭加在第一個階躍時刻加入，迭加在第一個階躍上，高度為上，高度為 f(t)=f( t)-f(0)。)()0()(0tuftf )()0()()

18、(1ttuftftf f(0)f(t)ktt 2tt)()0()(ttuttftf 信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 )()(ttutttftt 同理，同理，t=k t處應迭加一高度為處應迭加一高度為 f(t)=f(k t)-f(k t- t)的階躍函數(shù)，即：的階躍函數(shù)，即：)()()()(tktuttkftkftfk)()(tktutttftkt 將上述各階躍函數(shù)將上述各階躍函數(shù)f0(t), f1(t),. fk(t), fn(t)迭加起來，迭加起來，成為一階梯形函數(shù)，近似表示成為一階梯形函數(shù)，近似表示f(t)。信號與系統(tǒng) 同濟大學汽車學院 魏學哲 )()()()(10tftftftfn )()()()()()0(tktutttfttutttftuftkttt )()()()0(1tk