同濟(jì)大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)第一章第2講基本信號(hào)

1、信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 1 1、單位斜坡函數(shù)、單位斜坡函數(shù)2 2、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù)3 3、單位沖激函數(shù)、單位沖激函數(shù) (t)(t)4 4、單位沖激偶、單位沖激偶 (t)(t)奇異函數(shù)的綜合：奇異函數(shù)的綜合：1.4 1.4 階躍信號(hào)與沖擊信號(hào)（奇異信號(hào)）階躍信號(hào)與沖擊信號(hào)（奇異信號(hào)）信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 奇異信號(hào)定義：奇異信號(hào)定義：奇異信號(hào)是一類特殊的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，其函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)奇異信號(hào)是一類特殊的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，其函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)（跳變點(diǎn)），或其函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)。（跳變點(diǎn)），或其函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)。它們是從實(shí)際信號(hào)中抽象出來的理想

2、化了的信號(hào)，在信號(hào)與系它們是從實(shí)際信號(hào)中抽象出來的理想化了的信號(hào)，在信號(hào)與系統(tǒng)分析中占有很重要的地位。統(tǒng)分析中占有很重要的地位。常見的奇異信號(hào)：常見的奇異信號(hào)：單位斜坡函數(shù)，單位斜坡函數(shù)，單位階躍函數(shù)，單位階躍函數(shù)，單位沖激函數(shù)等。單位沖激函數(shù)等。奇異信號(hào)奇異信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 000)(ttttRR(t)11t1t0tR(t-t0)單位斜坡函數(shù)定義：單位斜坡函數(shù)定義：從從t=0t=0開始，隨后具有單位斜率的時(shí)間函數(shù)。它的導(dǎo)開始，隨后具有單位斜率的時(shí)間函數(shù)。它的導(dǎo)數(shù)在數(shù)在t=0t=0處不連續(xù)。處不連續(xù)。如果將起始點(diǎn)移至如果將起始點(diǎn)移至t t0 0，則，則: :000)(t

3、tttR)(0tt )(0tt 1、單位斜坡函數(shù)、單位斜坡函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 單位階躍函數(shù)定義：零時(shí)刻前，函數(shù)值為單位階躍函數(shù)定義：零時(shí)刻前，函數(shù)值為0，隨后值，隨后值為為1。在。在t=0處未定義。有些書中將處未定義。有些書中將t=0處定義為處定義為1/2。0100)(tttu10u(t)t10u(t-t0)tt0若跳變點(diǎn)移至若跳變點(diǎn)移至t0，則，則 10)(0ttu)(0tt )(0tt 2、單位階躍函數(shù)、單位階躍函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 tdutR)()(單位階躍函數(shù)等于單位斜坡函數(shù)的導(dǎo)數(shù)單位階躍函數(shù)等于單位斜坡函數(shù)的導(dǎo)數(shù)單位階躍函數(shù)的特性：單位階躍函

4、數(shù)的特性：單位階躍函數(shù)的積分是單位斜坡函數(shù)單位階躍函數(shù)的積分是單位斜坡函數(shù)dttdRtu/)()(信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 單位階躍函數(shù)的接入特性：單位階躍函數(shù)的接入特性：在實(shí)際應(yīng)用中，常用單位階躍信號(hào)與某函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中，常用單位階躍信號(hào)與某函數(shù)的乘積來表示信號(hào)的接入特性的乘積來表示信號(hào)的接入特性)(sin)(tuttf 信號(hào)在信號(hào)在t t0 0時(shí)刻接入：時(shí)刻接入：sin t u(t)0t)(sin)(0ttuttf sin （t) u(t-t0)tt00信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 10u(t)tt00( )( )()G tu tu t t門函數(shù)與任意函數(shù)相乘，門函數(shù)與

5、任意函數(shù)相乘，在在 外為外為0，在，在 內(nèi)為內(nèi)為f(t)10G(t)tt0門函數(shù)門函數(shù):單位階躍函數(shù)的派生函數(shù)：單位階躍函數(shù)的派生函數(shù)：u(t)與與-u(t-t0)疊加，得到矩形脈沖疊加，得到矩形脈沖門函數(shù)門函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 202u(t)t10sgn(t)t01011)(2)sgn(tttut在此，符號(hào)函數(shù)在跳變點(diǎn)也不予定義。有些書中規(guī)定在此，符號(hào)函數(shù)在跳變點(diǎn)也不予定義。有些書中規(guī)定sgn(0)=0符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù):單位階躍函數(shù)的派生函數(shù)：單位階躍函數(shù)的派生函數(shù)：符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 3、單位沖激函數(shù)、單位沖激函數(shù) (t):沖激函數(shù)是對(duì)

6、于作用時(shí)間極短，而相應(yīng)物理量強(qiáng)度極沖激函數(shù)是對(duì)于作用時(shí)間極短，而相應(yīng)物理量強(qiáng)度極大的物理過程的理想描述。大的物理過程的理想描述。例如物體在受到短時(shí)沖擊力例如物體在受到短時(shí)沖擊力F的作用，如果沖量的作用，如果沖量F t為為常數(shù)，當(dāng)常數(shù)，當(dāng) t趨于趨于0時(shí)，沖擊力時(shí)，沖擊力F趨于無窮大趨于無窮大。以這樣一類現(xiàn)象為背景，抽象出以這樣一類現(xiàn)象為背景，抽象出“單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)”或或稱稱“ 函數(shù)函數(shù)”，用它來描述上述物理現(xiàn)象。，用它來描述上述物理現(xiàn)象。 3、單位沖激函數(shù)、單位沖激函數(shù) (t)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 矩形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù)矩形脈沖演變?yōu)闆_激函數(shù):單位沖激函數(shù)可視為幅度單

7、位沖激函數(shù)可視為幅度1/ 與脈寬與脈寬 的乘積（矩形的乘積（矩形的面積）為的面積）為1個(gè)單位的矩形脈沖。個(gè)單位的矩形脈沖。 當(dāng)當(dāng) 趨于趨于0時(shí)，脈沖的幅度趨于無窮大。時(shí)，脈沖的幅度趨于無窮大。 tG(t) 12 2 0t0(1) (t)0沖激函數(shù)定義沖激函數(shù)定義信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 因此，因此， (t)為為)2()2(1)(lim0tutut該條件又稱狄拉克條件。該條件又稱狄拉克條件。00)(1)(ttdtt狄拉克（狄拉克（Dirac）定義）定義沖激函數(shù)定義沖激函數(shù)定義信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 t0(1)(t)圖中圖中(1)表示強(qiáng)度為表示強(qiáng)度為1，或稱所圍面，或稱所

8、圍面積為積為1，而不是指幅值為，而不是指幅值為1。定義中沒有給出定義中沒有給出t=0時(shí)刻的函數(shù)值，可見它不是通常意時(shí)刻的函數(shù)值，可見它不是通常意義下的函數(shù)，稱為義下的函數(shù)，稱為“廣義函數(shù)廣義函數(shù)”。 函數(shù)有多種定義方法，其中根據(jù)廣義函數(shù)的定義，函數(shù)有多種定義方法，其中根據(jù)廣義函數(shù)的定義，是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 t0(1)(t-t0)t0若沖激點(diǎn)在若沖激點(diǎn)在t=tt=t0 0處，則定義式為：處，則定義式為： 0)(1)(00ttdttt )(0tt 信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 由定義知由定義知 當(dāng)當(dāng)t0t0t0時(shí)時(shí)所以所以 函數(shù)的積分為

9、：函數(shù)的積分為： td10)( ot ot 單位沖激函數(shù)的特性：單位沖激函數(shù)的特性：單位沖激函數(shù)的積分是單位階躍函數(shù)單位沖激函數(shù)的積分是單位階躍函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 所以，所以， u(t)u(t)與與 函數(shù)的關(guān)系為函數(shù)的關(guān)系為tdtu)()(或或)()(tudtdt u(t)u(t)在在t=0t=0處是不連續(xù)的，按經(jīng)典的函數(shù)可微性來處是不連續(xù)的，按經(jīng)典的函數(shù)可微性來判斷，上式是無法理解的。廣義函數(shù)把經(jīng)典的函數(shù)判斷，上式是無法理解的。廣義函數(shù)把經(jīng)典的函數(shù)微分及其概念加以推廣，使微分及其概念加以推廣，使 函數(shù)及其它奇異函數(shù)的函數(shù)及其它奇異函數(shù)的定義與特性有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。定義

10、與特性有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 ( ) ( )(0) ( )f ttft若沖激點(diǎn)在若沖激點(diǎn)在t0處，且處，且f(t)在在t0處連續(xù)，則處連續(xù)，則)()()()(000tttftttf證明：證明：因?yàn)樵谝驗(yàn)樵趖 t 0 0（或（或t t t t0 0）處，）處， (t)(t)（或（或 (t-t(t-t0 0) )）為）為0 0，所，所以上式成立。以上式成立。連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)f(t)f(t)與單位沖激函數(shù)的乘積等于沖激點(diǎn)的函與單位沖激函數(shù)的乘積等于沖激點(diǎn)的函數(shù)值與數(shù)值與 (t)(t)相乘相乘信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 )0()()(fdtttf或或 )()

11、()(00tfdttttf 證明：證明： (t)(t)在在t t 0 0處為處為0 0 00)()0()()(dttfdtttf )0()()0(00fdttf 單位沖激函數(shù)與連續(xù)函數(shù)單位沖激函數(shù)與連續(xù)函數(shù)f(t)f(t)的乘積的積分等于沖激的乘積的積分等于沖激點(diǎn)的函數(shù)值點(diǎn)的函數(shù)值沖激函數(shù)的篩選特性沖激函數(shù)的篩選特性信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 0)(1)(ataat證明：證明：1、當(dāng)、當(dāng)a0時(shí)，令時(shí)，令 =at)()()( addtat ada1)(1 沖激函數(shù)的沖激函數(shù)的尺度變換尺度變換信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 1 1、當(dāng)、當(dāng)a0a0時(shí)，令時(shí)，令 = =atat)()(

12、)( addtat ada1)(1 )0()(1)(ataat信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 )()(tt證明：當(dāng)證明：當(dāng)a=-1a=-1時(shí)，由尺度變換公式即可得時(shí)，由尺度變換公式即可得沖激函數(shù)的奇偶性沖激函數(shù)的奇偶性信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 ( )0( )00dtttdtt單位沖激偶定義：單位沖激偶定義：單位沖激偶就是單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表達(dá)式為：單位沖激偶就是單位沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表達(dá)式為：4、單位沖激偶、單位沖激偶 (t)它在它在t=0處有一對(duì)正負(fù)沖激函數(shù)，其強(qiáng)度都為無窮大。處有一對(duì)正負(fù)沖激函數(shù)，其強(qiáng)度都為無窮大。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 )2()2(1)(

13、tututG利用矩形脈沖取極限的方法，可導(dǎo)出上述結(jié)果利用矩形脈沖取極限的方法，可導(dǎo)出上述結(jié)果: (t)可以看作脈寬為可以看作脈寬為 ，幅值為，幅值為1/ 的門函數(shù)的門函數(shù)G(t)當(dāng)當(dāng)0時(shí)的極限。時(shí)的極限。 (t) 可以看作可以看作G(t)求導(dǎo)后，再取求導(dǎo)后，再取當(dāng)當(dāng)0時(shí)的極限。時(shí)的極限。求導(dǎo)得求導(dǎo)得)2(1)2(1)( ttdttdG信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 tG(t) 12 2 0t0(1) (t)0求導(dǎo)求導(dǎo)0tG(t)1( 2 2 0t0( ) (t)圖解單位沖激與沖激偶圖解單位沖激與沖激偶信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 tdt)()()0()()(fdtttf證明：利用

14、分部積分法：證明：利用分部積分法：2、單位沖激偶的抽樣特性：、單位沖激偶的抽樣特性：1、單位沖激偶的積分等于單位沖激函數(shù)、單位沖激偶的積分等于單位沖激函數(shù)單位沖激偶的特性單位沖激偶的特性信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 dttftttf)()(|)()( dtttf)()( )0(f 推廣：推廣：)()()(00tfdttttf 0)( dtt 3、單位沖激偶是奇函數(shù)：、單位沖激偶是奇函數(shù)：由定義可見，由定義可見， (t)是奇函數(shù)，所以包含面積為是奇函數(shù)，所以包含面積為0。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 1、R(t)的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是u(t)； u(t)的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是 (t)； (t

15、)的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是 (t)。2、 u(t)是物理量的單位躍變的抽象是物理量的單位躍變的抽象3、 (t)是物理量產(chǎn)生單位躍變速度的抽象是物理量產(chǎn)生單位躍變速度的抽象4、 (t)是物理量產(chǎn)生單位躍變加速度的抽象是物理量產(chǎn)生單位躍變加速度的抽象奇異函數(shù)的綜合奇異函數(shù)的綜合信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 為便于研究信號(hào)的傳輸和處理，往往將信號(hào)分解為為便于研究信號(hào)的傳輸和處理，往往將信號(hào)分解為比較簡單的基本信號(hào)分量之和，信號(hào)可以從不同角度比較簡單的基本信號(hào)分量之和，信號(hào)可以從不同角度分解：分解： 1.5 信號(hào)的分解信號(hào)的分解 直流分量和交流分量直流分量和交流分量 偶分量與奇分量偶分量與奇分量 脈沖

16、分量脈沖分量 實(shí)部分量與虛部分量實(shí)部分量與虛部分量 正交分量正交分量信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 直流分量 交流分量 信號(hào)平均值)()(tfftfADDf)(tfA)(tf直流分量和交流分量直流分量和交流分量信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 偶分量與奇分量偶分量與奇分量)()(tftfee)()(tftfoo偶分量定義偶分量定義奇分量定義奇分量定義任何信號(hào)都可以分解為偶分量和奇分量之和任何信號(hào)都可以分解為偶分量和奇分量之和)()()()(21)()(21)(tftftftftftftfoe信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 )()()(tuAtuAtfA t0A t0矩形脈沖矩形

17、脈沖信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 0)()()(nnTtunTtuAtf A t0TT+ 用一系列階躍函數(shù)之和近似表示任意函數(shù)用一系列階躍函數(shù)之和近似表示任意函數(shù)f(0)f(t)k t t 2 tt將時(shí)間區(qū)間將時(shí)間區(qū)間(0,t)平均平均分成分成n等份，等份， t=t/n。2、任意信號(hào)函數(shù)、任意信號(hào)函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 第一個(gè)階躍第一個(gè)階躍f0(t)在在t=0時(shí)時(shí)刻加入?？碳尤?。第二個(gè)階躍第二個(gè)階躍f1(t)在在t= t時(shí)刻加入，迭加在第一個(gè)階躍時(shí)刻加入，迭加在第一個(gè)階躍上，高度為上，高度為 f(t)=f( t)-f(0)。)()0()(0tuftf )()0()()

18、(1ttuftftf f(0)f(t)ktt 2tt)()0()(ttuttftf 信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 )()(ttutttftt 同理，同理，t=k t處應(yīng)迭加一高度為處應(yīng)迭加一高度為 f(t)=f(k t)-f(k t- t)的階躍函數(shù)，即：的階躍函數(shù)，即：)()()()(tktuttkftkftfk)()(tktutttftkt 將上述各階躍函數(shù)將上述各階躍函數(shù)f0(t), f1(t),. fk(t), fn(t)迭加起來，迭加起來，成為一階梯形函數(shù)，近似表示成為一階梯形函數(shù)，近似表示f(t)。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 )()()()(10tftftftfn )()()()()()0(tktutttfttutttftuftkttt )()()()0(1tk