-偏導數(shù)與全微分

1、第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)與全微分一、偏導數(shù)一、偏導數(shù)二、全微分二、全微分三、高階偏導數(shù)三、高階偏導數(shù)一一 偏導數(shù)偏導數(shù)函數(shù)對函數(shù)對x偏增量偏增量定義定義),(yxfz 在點在點), (), (lim000yfyfx 存在存在, ,xyxyxfz對對在點在點),(),(00 的的偏導數(shù)偏導數(shù)，記為，記為;),(00yxxz ),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi);),(00yxxf xx 00 x則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)如果極限如果極限設函數(shù)設函數(shù)x;),(00yxfx;),(00yxxz100(,) .fxy1 偏導數(shù)及其計算偏導數(shù)及其計算xyxfyxxfx ),(),(lim0

2、00000),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx注意注意:有定義，有定義，函數(shù)對函數(shù)對 y 的偏增量的偏增量0),(dd0yyyxfy 同樣可定義對同樣可定義對 lim0 y),(00yxfy,xzxfxz 則該偏導數(shù)稱為則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù)偏導函數(shù), ,也簡稱為也簡稱為偏導數(shù)偏導數(shù) , ,1( , ) ,( , )xfx yfx y2( , ) ,( , )yfx yfx y) ,(0 xf),(0 xf y記為記為yy 00y,yzyfyz y的偏導數(shù)的偏導數(shù)或或若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D 內(nèi)每一點內(nèi)每一點),(yx處對處對 xy偏導數(shù)存在，偏導數(shù)存在，),(zy

3、xfx例如例如, 三元函數(shù)三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點在點 (x , y , z) 處對處對 x 的的偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyf x xx?),( zyxfy?),( zyxfzx偏導數(shù)定義為偏導數(shù)定義為(請自己寫出請自己寫出)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立解解 xz 22211yxx|22y

4、yx .|22yxy |)|(2yy xyxx223222)(yxy yz22211yxx |22yyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在 yyxx22322)()(yxxy 22arcsinyxxz 例例4 4 設設(1)yzxy求求,zzxy解解zx ln(1)yxyze zy (1)yxy( ln(1)yyxy ln(1)1xyxyxy 21(1)yyxy xxy)1( 1(1)yyxyy 1(1)yyxy ln(1)yxye 例例5 5 求求222zyxr 的偏導數(shù)的偏導數(shù) . . 解解: : xr yr2222zyx x2rx zr,ry 2222zyx y

5、22222zyx z2rz ,( ,),(0, 0),(0, 0).xyzf x yxyff例如 設求例如 設求有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明：、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 2 2 偏導數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系所以函數(shù)在該點處并不連續(xù)所以函數(shù)在該點處并不連續(xù). .偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). .一元函數(shù)中在某點可導一元函數(shù)中在某點可導 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，因為因為2200limyx

6、xyyx 不存在不存在3 3 偏導數(shù)的幾何意義偏導數(shù)的幾何意義00000(,(,)( , ),Mxyf xyzf x y 設設為為曲曲面面上上一一點點00),(dd00 xxyxfxxfxxyy 0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲線是曲線 0),(xxyxfzyTM0在點在點 M0 處的切線處的切線對對 x 軸的斜率軸的斜率.在點在點M0 處的切線處的切線斜率斜率.是曲線是曲線對對 y 軸的軸的yxz0 xyTo0y0MxT1 1 全微分的定義全微分的定義二二 全微分全微分, z ),(yxfz ),(yxP函數(shù)函數(shù)在點在點的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)

7、有定義，z ),(),(yxfyyxxf 即即 = =),(yyxxP 為這鄰域內(nèi)的任意一點，為這鄰域內(nèi)的任意一點，并設并設記為記為),(),(yxfyyxxf yx ,為函數(shù)在點為函數(shù)在點P P 對應于自變量增量對應于自變量增量的的全增量全增量，稱這兩點的函數(shù)值之差稱這兩點的函數(shù)值之差 則則),(),(yxfyxxf ),(),(yxfyyxf x二元函數(shù)對二元函數(shù)對的的偏增量偏增量y二元函數(shù)對二元函數(shù)對的的偏增量偏增量, )( oyBxAz 其中其中 A , B 不依賴于不依賴于 x , y , 僅與僅與 x , y 有關(guān)，有關(guān)，若函數(shù)在域若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微內(nèi)各點都可微,22)(

8、)(yx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點在點( x, y) 可微可微，如果函數(shù)如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域在定義域 D 的內(nèi)點的內(nèi)點( x , y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成處全增量處全增量則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxf在點在點 (x, y) 的的全微分全微分, yBxA 定義定義yBxAfz dd記作記作事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf ),(yxfz ),(yx 如果函數(shù)如果函數(shù)在點在點可微分可微分, , 則

9、則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù). ),(yxfz ),(yx故函數(shù)故函數(shù)在點在點處連續(xù)處連續(xù). .2 可微的條件可微的條件定理定理1 1（必要條件）（必要條件）),(yxfz ),(yx在點在點可微分，可微分，如果函數(shù)如果函數(shù)),(yx、xz yz 的偏導數(shù)的偏導數(shù)必存在，必存在，則該函數(shù)在點則該函數(shù)在點),(yxfz ),(yxyyzxxzdz 在點在點的全微分為的全微分為 且函數(shù)且函數(shù)),(),(yxfyxxfzx xz 同樣可證同樣可證,Byz yyzxxzz d證證: 由全增量公式由全增量公式, )( oyBxAz ,0 y令令)(xoxA 得到對得到對 x 的偏增量的偏增量因此有因此

10、有 xzxx 0limA 一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf)0 , 0(xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0在點在點處有處有000lim0 xx0)0 , 0( yf同樣可得同樣可得)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 0 當當 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 說明說明：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在

11、并不能保證全微：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全微分存在，分存在，證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 （依偏導數(shù)的連續(xù)性）（依偏導數(shù)的連續(xù)性）xxyxfx 1),( xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 習慣上，習慣上，當當.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元

12、函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況全微分全微分寫寫為為,x y自變量時，自變量時，記記,dxx dyy 例如例如),(zyxuu 解解 xzyz )1 , 2(xz )1 , 2(yz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分,xyye,xyxe ,2e ,22e 解解xz yz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 ),2sin(yxy ),2sin(2)2cos(yxyyx 解解xu yu

13、,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 2cos21y ,yzze 多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)可導函數(shù)可導全微分在近似計算中的應用全微分在近似計算中的應用( , )( , )( , ),( , ),xyzf x yP x yfx yfx yxy 當二元函數(shù)在點的兩個偏導數(shù)當二元函數(shù)在點的兩個偏導數(shù)連續(xù)，且都較小時，有近似等連續(xù)，且都較小時，有近似等式式.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(),(),(yyxfxyx

14、fyxfyyxxfyx 解解( , ).yf x yx 設函數(shù)設函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 設設 z = f (x , y)在域在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx 若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 則稱它們是則稱它們是

15、z = f ( x , y ) 的的二階偏導數(shù)二階偏導數(shù) . 按求導順序不同按求導順序不同, 有下列四個二階偏導有下列四個二階偏導22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx );,(2yxfxyzxy x 數(shù)數(shù):二階混和偏導數(shù)二階混和偏導數(shù)三、三、 高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)高階偏導數(shù). .類似可以定義更高階的偏導數(shù)類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導數(shù)為的三階偏導數(shù)為3322)(xzxzx z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的的 n 1 階偏導數(shù)階偏導數(shù)

16、, 再關(guān)于再關(guān)于 y 的一階的一階) (y yxznn 1偏導數(shù)為偏導數(shù)為11 nnxz解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx解解xu yu 22xu 22yu yxu 2xyu 2,cosbyaeax ;sinbybeax ,cos2byeaax ,cos2byebax ,sinbyabeax .sinbyabeax 例例8 8設設sinzxxy 求求222,zzx yx 解解zx 22zx 2coscossinyxyyxyxyxy22s

17、inycoxyxyxy2zx y 2coscossinxxyxxyx yxy22 cossinxxyx yxysincosxyxyxy解解),ln(21ln2222yxyx xu yu 22xu 22yu 2222yuxu. 0 . 02222 yuxu)(222yx x2,22yxx ,22yxy 222)(yx ,)(22222yxxy xx 2 )(22yx .)(22222yxyx 22222)(2)(yxyyyx 22222)(yxxy 22222)(yxyx 例例10 10 設設2,xyuexyz求求22.uux yx z 解解ux 2xyyeyz 2ux y xyxyexye2z 2ux z 0 2yz 2yz 問題：問題： 混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？混合偏導數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？,),()()(00連續(xù)連續(xù)都在點都在點和和若若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx 則則定理定理.例如例如, 對三元函數(shù)對三元函數(shù) u = f (x , y