




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
1、第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)二、全微分二、全微分三、高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)一一 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)對函數(shù)對x偏增量偏增量定義定義),(yxfz 在點在點), (), (lim000yfyfx 存在存在, ,xyxyxfz對對在點在點),(),(00 的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù),記為,記為;),(00yxxz ),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi);),(00yxxf xx 00 x則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)如果極限如果極限設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)x;),(00yxfx;),(00yxxz100(,) .fxy1 偏導(dǎo)數(shù)及其計算偏導(dǎo)數(shù)及其計算xyxfyxxfx ),(),(lim0
2、00000),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx注意注意:有定義,有定義,函數(shù)對函數(shù)對 y 的偏增量的偏增量0),(dd0yyyxfy 同樣可定義對同樣可定義對 lim0 y),(00yxfy,xzxfxz 則該偏導(dǎo)數(shù)稱為則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù), ,也簡稱為也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) , ,1( , ) ,( , )xfx yfx y2( , ) ,( , )yfx yfx y) ,(0 xf),(0 xf y記為記為yy 00y,yzyfyz y的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或或若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D 內(nèi)每一點內(nèi)每一點),(yx處對處對 xy偏導(dǎo)數(shù)存在,偏導(dǎo)數(shù)存在,),(zy
3、xfx例如例如, 三元函數(shù)三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點在點 (x , y , z) 處對處對 x 的的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyf x xx?),( zyxfy?),( zyxfzx偏導(dǎo)數(shù)定義為偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出請自己寫出)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立解解 xz 22211yxx|22y
4、yx .|22yxy |)|(2yy xyxx223222)(yxy yz22211yxx |22yyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在 yyxx22322)()(yxxy 22arcsinyxxz 例例4 4 設(shè)設(shè)(1)yzxy求求,zzxy解解zx ln(1)yxyze zy (1)yxy( ln(1)yyxy ln(1)1xyxyxy 21(1)yyxy xxy)1( 1(1)yyxyy 1(1)yyxy ln(1)yxye 例例5 5 求求222zyxr 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) . . 解解: : xr yr2222zyx x2rx zr,ry 2222zyx y
5、22222zyx z2rz ,( ,),(0, 0),(0, 0).xyzf x yxyff例如 設(shè)求例如 設(shè)求有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明:有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明:、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求;定義求;解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 2 2 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系所以函數(shù)在該點處并不連續(xù)所以函數(shù)在該點處并不連續(xù). .偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). .一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù),連續(xù),多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù),連續(xù),因為因為2200limyx
6、xyyx 不存在不存在3 3 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義00000(,(,)( , ),Mxyf xyzf x y 設(shè)設(shè)為為曲曲面面上上一一點點00),(dd00 xxyxfxxfxxyy 0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲線是曲線 0),(xxyxfzyTM0在點在點 M0 處的切線處的切線對對 x 軸的斜率軸的斜率.在點在點M0 處的切線處的切線斜率斜率.是曲線是曲線對對 y 軸的軸的yxz0 xyTo0y0MxT1 1 全微分的定義全微分的定義二二 全微分全微分, z ),(yxfz ),(yxP函數(shù)函數(shù)在點在點的某鄰域內(nèi)有定義,的某鄰域內(nèi)
7、有定義,z ),(),(yxfyyxxf 即即 = =),(yyxxP 為這鄰域內(nèi)的任意一點,為這鄰域內(nèi)的任意一點,并設(shè)并設(shè)記為記為),(),(yxfyyxxf yx ,為函數(shù)在點為函數(shù)在點P P 對應(yīng)于自變量增量對應(yīng)于自變量增量的的全增量全增量,稱這兩點的函數(shù)值之差稱這兩點的函數(shù)值之差 則則),(),(yxfyxxf ),(),(yxfyyxf x二元函數(shù)對二元函數(shù)對的的偏增量偏增量y二元函數(shù)對二元函數(shù)對的的偏增量偏增量, )( oyBxAz 其中其中 A , B 不依賴于不依賴于 x , y , 僅與僅與 x , y 有關(guān),有關(guān),若函數(shù)在域若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微內(nèi)各點都可微,22)(
8、)(yx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點在點( x, y) 可微可微,如果函數(shù)如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域在定義域 D 的內(nèi)點的內(nèi)點( x , y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成處全增量處全增量則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxf在點在點 (x, y) 的的全微分全微分, yBxA 定義定義yBxAfz dd記作記作事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf ),(yxfz ),(yx 如果函數(shù)如果函數(shù)在點在點可微分可微分, , 則
9、則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù). ),(yxfz ),(yx故函數(shù)故函數(shù)在點在點處連續(xù)處連續(xù). .2 可微的條件可微的條件定理定理1 1(必要條件)(必要條件)),(yxfz ),(yx在點在點可微分,可微分,如果函數(shù)如果函數(shù)),(yx、xz yz 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)必存在,必存在,則該函數(shù)在點則該函數(shù)在點),(yxfz ),(yxyyzxxzdz 在點在點的全微分為的全微分為 且函數(shù)且函數(shù)),(),(yxfyxxfzx xz 同樣可證同樣可證,Byz yyzxxzz d證證: 由全增量公式由全增量公式, )( oyBxAz ,0 y令令)(xoxA 得到對得到對 x 的偏增量的偏增量因此有因此
10、有 xzxx 0limA 一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如,例如,.000),(222222 yxyxyxxyyxf)0 , 0(xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0在點在點處有處有000lim0 xx0)0 , 0( yf同樣可得同樣可得)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 0 當當 時,時,),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 說明說明:多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在
11、并不能保證全微:多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在,分存在,證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 (依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性)(依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性)xxyxfx 1),( xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 習(xí)慣上,習(xí)慣上,當當.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元
12、函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況全微分全微分寫寫為為,x y自變量時,自變量時,記記,dxx dyy 例如例如),(zyxuu 解解 xzyz )1 , 2(xz )1 , 2(yz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分,xyye,xyxe ,2e ,22e 解解xz yz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 ),2sin(yxy ),2sin(2)2cos(yxyyx 解解xu yu
13、,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 2cos21y ,yzze 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)全微分在近似計算中的應(yīng)用全微分在近似計算中的應(yīng)用( , )( , )( , ),( , ),xyzf x yP x yfx yfx yxy 當二元函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)當二元函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),且都較小時,有近似等連續(xù),且都較小時,有近似等式式.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成.),(),(),(),(yyxfxyx
14、fyxfyyxxfyx 解解( , ).yf x yx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 設(shè)設(shè) z = f (x , y)在域在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx 若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù),若這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù),)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 則稱它們是則稱它們是
15、z = f ( x , y ) 的的二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個二階偏導(dǎo)有下列四個二階偏導(dǎo)22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx );,(2yxfxyzxy x 數(shù)數(shù):二階混和偏導(dǎo)數(shù)二階混和偏導(dǎo)數(shù)三、三、 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù). .類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如,例如,z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzx z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)
16、, 再關(guān)于再關(guān)于 y 的一階的一階) (y yxznn 1偏導(dǎo)數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)為11 nnxz解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx解解xu yu 22xu 22yu yxu 2xyu 2,cosbyaeax ;sinbybeax ,cos2byeaax ,cos2byebax ,sinbyabeax .sinbyabeax 例例8 8設(shè)設(shè)sinzxxy 求求222,zzx yx 解解zx 22zx 2coscossinyxyyxyxyxy22s
17、inycoxyxyxy2zx y 2coscossinxxyxxyx yxy22 cossinxxyx yxysincosxyxyxy解解),ln(21ln2222yxyx xu yu 22xu 22yu 2222yuxu. 0 . 02222 yuxu)(222yx x2,22yxx ,22yxy 222)(yx ,)(22222yxxy xx 2 )(22yx .)(22222yxyx 22222)(2)(yxyyyx 22222)(yxxy 22222)(yxyx 例例10 10 設(shè)設(shè)2,xyuexyz求求22.uux yx z 解解ux 2xyyeyz 2ux y xyxyexye2z 2ux z 0 2yz 2yz 問題:問題: 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?具備怎樣的條件才相等?混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?具備怎樣的條件才相等?,),()()(00連續(xù)連續(xù)都在點都在點和和若若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx 則則定理定理.例如例如, 對三元函數(shù)對三元函數(shù) u = f (x , y
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 河北女子職業(yè)技術(shù)學(xué)院《BM三維建?!?023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 四川省宜賓市翠屏區(qū)2025年初三下學(xué)期第四次模擬語文試題含解析
- 新疆昌吉二中2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月統(tǒng)一聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析
- 西南林業(yè)大學(xué)《服務(wù)器虛擬化技術(shù)》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 重慶智能工程職業(yè)學(xué)院《合唱與指揮(3)》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 延邊職業(yè)技術(shù)學(xué)院《智能終端與移動應(yīng)用開發(fā)》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 水果種植園農(nóng)業(yè)土壤健康與肥力提升考核試卷
- 電池制造過程中的電氣安全考核試卷
- 水產(chǎn)品加工設(shè)備智能化改造與升級考核試卷
- 漆器制作與非物質(zhì)文化遺產(chǎn)傳承考核試卷
- 2025年全國大學(xué)生環(huán)保知識競答題庫及答案(共180題)
- 2025年度河南省水務(wù)規(guī)劃設(shè)計研究有限公司人才招聘28人筆試參考題庫附帶答案詳解
- 云南省氣象局歷年招聘考試真題庫
- 人力資源外包投標方案
- 圖書館建筑設(shè)計規(guī)范講解課件
- 考研考博-英語-北京建筑大學(xué)考試押題卷含答案詳解3
- 愛蓮說-王崧舟
- 光伏支架安裝施工協(xié)議
- 保定市縣級地圖PPT可編輯矢量行政區(qū)劃(河北省)
- 第四章通道內(nèi)非耦合層流的
- 供水管網(wǎng)施工組織設(shè)計
評論
0/150
提交評論