高中數學第二章數列2.4等比數列第2課時課件新人教A版必修

1、 2.4 等等 比比 數數 列列 （第（第2課時）課時） 定義：一般地，如果一個數列從第定義：一般地，如果一個數列從第2 2項起，項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數等比數列的公比，列的公比，公比通常用字母公比通常用字母q q表示表示(q0).(q0).n 1naq(qn,q0a是與 無關的數或式子 且）如果一個數列如果一個數列是等比數列，它的公比是是等比數列，它的公比是q q，那么，那么,1a,2a,3a,na，21aa q由此可知，等比數列由此可知，等比數列 的通項公

2、式為的通項公式為 na2321aaqa q3431aa qa q4541aaqa qn 1n11aa qa ,q0（）(1) 1，2，4，8，16，觀察數列觀察數列1 1 1(2) 8,4,2,1,2 4 8(3) 4，4，4，4，4，4，4，(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，公比公比 q=2公比公比 q=12公比公比 q=1公比公比 q=-1探究點探究點1 1：等比數列的圖象等比數列的圖象等比數列的圖象1數列：數列：1，2，4，8，16，123456789102468101214161820o遞增數列遞增數列通過圖象觀察性質通過圖象觀察性質等比數列的圖象212345678910o數列

3、：數列：,81,41,21, 1 , 2, 4, 812345678910遞減數列遞減數列等比數列的圖象3123456789102468101214161820o數列：數列：4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4，4 4， 常數列常數列等比數列的圖象412345678910o12345678910數列：數列：1，-1，1，-1，1，-1，1，擺動數列擺動數列- -1 類比等差數列的性質，類比等差數列的性質， 等比數列有哪些性質呢？等比數列有哪些性質呢？探究點探究點2 2：等差、等比數列的性質比較等差、等比數列的性質比較an-an-1=d （n2） 等差數列等差數列等比數列等比數列 常數

4、常數減減除除加加乘乘dnaan) 1(1) 0(111qaqaann加加- -乘乘乘乘乘方乘方 迭加法迭加法迭乘法迭乘法等比數列用等比數列用“比比”代替了等差數列中的代替了等差數列中的“差差”定義定義數學表數學表達式達式通項公通項公式證明式證明通項通項 公式公式1(0n2)nnaq qa，,由等差數列的性質，猜想等比數列的性質aan n 是公差為是公差為d d的等差數列的等差數列bbn n 是公比為是公比為q q的等比數列的等比數列性質性質1 1： a an n=a=am m+(n-m)d+(n-m)d性質性質2 2：若：若a an-kn-k,a,an n,a,an+kn+k是是aan n 中

5、的三項中的三項 ， 則則2a2an n= =a an+kn+k+ a+ an-kn-k 猜想猜想2 2：性質性質3 3： 若若n+mn+m= =p+qp+q, ,則則a am m+a+an n= =a ap p+a+aq q猜想猜想1 1：n mnmb b q 若若b bn-kn-k,b,bn n,b,bn+kn+k 是是 b bn n 中的三項中的三項, ,則則若若n+mn+m= =p+qp+q，則，則b bn nbbm m= =b bp pbbq q2nn kn kbbb猜想猜想3 3：性質性質4 4：從原數列中取出：從原數列中取出偶數項組成的新數列公偶數項組成的新數列公差為差為2d.2d

6、.( (可推廣可推廣) )性質性質5: 5: 若若ccn n 是公差為是公差為dd的等差數列，則數列的等差數列，則數列 a an n+c+cn n 是公差為是公差為d+dd+d的的等差數列等差數列. . 若若 d dn n 是公比為是公比為qq的等比數列的等比數列, ,則數列則數列 b bn nddn n 是公比為是公比為qqqq的等比數列的等比數列. .猜想猜想4 4：從原數列中?。簭脑瓟盗兄腥〕雠紨淀?，組成的新出偶數項，組成的新數列公比為數列公比為 ( (可推可推廣廣) ) 2q猜想猜想5 5：若數列an是公比為q的等比數列,則(1)當q1,a10或0q1,a11, a10或0q0時, a

7、n是遞減數列; 當q=1時, an是常數列; 當q0.(3)an=amqn-m(n,mn*).(4)當n+m=p+q(n,m,p,qn*)時,有anam=apaq.(5)當an是有窮數列時,與首末兩項等距離的兩項的積都相等,且等于首末兩項的積.【知識提升知識提升】(7)若bn是公比為q的等比數列,則數列an bn 是公比為qq的等比數列.(6)數列an(為不等于零的常數)仍是公比為q的等比數列.(9)在an中,每隔k(kn*)項取出一項,按原來順序排列,所得的新數列仍為等比數列,且公比為qk+1.(10)當m，n，p(m，n，pn*)成等差數列時，am , an , ap 成等比數列.(8)數

8、列是公比為 的等比數列.q1na1例1、等比數列 an 中， a 4 a 7 = 512，a 3 + a 8 = 124, 公比q為整數，求a10法一：直接列方程組求：直接列方程組求 a 1、q法二：由：由 a 4 a 7 = a 3 a 8 = 5120512124323 aa412833 aa或或 128441288383aaaa或或 公比公比 q 為整數為整數 128483aa3241285 q2 q a 10 = a 3q 10 3= 4(-2) 7= 512例例2.已知已知an、bn是項數相同的等比數是項數相同的等比數列，求證列，求證an bn是等比數列是等比數列. 當當數數項項數數

9、兩兩個個數數時時數數數數數數嗎嗎為為類類證證nnnnnnnn1212列列 a、a、b是b是相相同同的的等等差差列列，列列 pa +qb其pa +qb其中中p,q是p,q是常常也也是是等等差差列列？是是的的，公公差差pd +qd .可pd +qd .可分分以以：比比析析明明. .證明：設數列an的首項是a1，公比為q1; bn的首項為b1，公比為q2，那么數列anbn的第n項與第n+1項分別為：n 1n 1nn11121112aqbqaqbq,與n-1nn-1n1112111211121112即即a b(q q ) 與a b(q q ) 與a b(q q ) .a b(q q ) .為為n nn

10、+1n+11112n+1n+111121212n-1n-1nn1112nn1112aba b(q q )aba b(q q )因因= q q .= q q .aba b(q q )aba b(q q )它是一個與它是一個與n n無關的常數，所以無關的常數，所以 a an n b bn n 是一個是一個以以q q1 1q q2 2為公比的等比數列為公比的等比數列. .思考思考:1. an是等比數列，是等比數列，c是不為是不為0的常數，的常數，數列數列can是等比數列嗎？是等比數列嗎？2. 已知已知an，bn是項數相同的等比數列是項數相同的等比數列， 是等比數列嗎？是等比數列嗎？ nnbaa7 b

11、.5 c-5 d-7na472aa568a a 110aa472aa56474784,2a aa aaa 1.已知為等比數列，解析:選d. ，4747110110471011102,4,4,28,17,2,48,17. 或或aaaaaaaaaaaaaad d（ ）則2. 在等差數列an中，a3a118，數列bn是等比數列，且b7a7，則b6b8的值為 ()a2 b4 c8 d16d d解析：解析：選選d.d.因為因為 a an n 為等差數列，所以為等差數列，所以 4 4b b7 7. .又又 b bn n 為等比數列，所為等比數列，所以以b b6 6b b8 8 16.16.3117=2 a

12、aa27b3.3.（真題（真題福建高考）已知等比數列福建高考）已知等比數列 的公比為的公比為q q，記記 ，cn= am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m ，則以下結則以下結論一定正確的是（）論一定正確的是（）a. a. 數列數列 為等差數列，公差為為等差數列，公差為 b. b. 數列數列 為等比數列，公比為為等比數列，公比為q q2m2m c. c. 數列數列 為等比數列，公比為為等比數列，公比為 d. d. 數列數列 為等比數列，公比為為等比數列，公比為 namnmnmnmnaaab )1(2)1(1)1(*,nnm nbmq2mqmmq nb nc ncc c【解題指南】

13、如何判定一個數列是等差或等比數列，注意一定是作差，或作比，看看是不是常數.(1) 1(1) 2(1)nm nm nm nmcaaa112nmnmnmn mcaaa2112(1) 1(1) 2(1)()mmmm mmnmnmnmn mnm nm nm nmcaaaq qqqqcaaa 解析解析: :選選c.c.顯然，顯然， 不可能是等比數列；不可能是等比數列； 是等比數是等比數列；證明如下：列；證明如下： nb nc4.4.在等比數列在等比數列aan n 中，中，a an n0 0，a a2 2 a a4 4+2a+2a3 3a a5 5+a+a4 4a a6 6=36,=36,那么那么a a3

14、 3+a+a5 5= _= _ . .5.5.在等比數列在等比數列aan n 中，中， a a1515 =10, a=10, a4545=90,=90,則則 a a3030 =_. =_. 6.6.在等比數列在等比數列aan n 中，中，a a1 1+a+a2 2 =30=30, , a a3 3+a+a4 4 =120, =120, 則則a a5 5+a+a6 6=_.=_.6 63030480480或或-30-307 7.32323232與的等比中項是的等比中項是_.8 8.已知正數等比數列已知正數等比數列na 中，中，12nnnaaana9 9.設數列設數列是等比數列，且是等比數列，且5681,aa則則3132310loglog+log_.aaa1對所有的自然數對所有的自然數 n 都成立，則公比都成立，則公比 q =_.5 1220課堂小結課堂小結1. 等比中項的定義；等比中項的定義；2. 等比數列的性質；等比數列的性質；3. 判斷數列是否為等比數列的方法判斷數列是否為等比數列的方法數數 列列等等 差差 數數 列列等等 比比 數數 列列關關 系系 式式性性 質質中中 項項 構造三數