人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1課件：第二章2.2-2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程22橢2. 2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 了解橢圓的實(shí)際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程.2.了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及簡(jiǎn)化過(guò)程.3.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何圖形（重點(diǎn)、難點(diǎn)）.預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)思維啟動(dòng)知識(shí)提煉梳理1.橢圓的定義(1)前提要素:平面內(nèi)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)F2, 一個(gè)常數(shù)2么(2)滿(mǎn)足關(guān)系：IMF丄I + IMF為常數(shù).限制條件：常數(shù)大于矽丄型.(4)相關(guān)概念:兩個(gè)定點(diǎn)Fi，八叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩111溫馨提示1 橢圓定義的集合語(yǔ)言敘述為：點(diǎn)集P二MlIMFil+ MF2 = 2a ,2a> IF/，其中，兩定點(diǎn)碼、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的

2、距離叫橢圓的焦距2 當(dāng)2。=屮問(wèn)時(shí),軌跡是線(xiàn)段；當(dāng)2a < FtF2時(shí),軌跡不存在2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸焦點(diǎn)在兀軸上焦點(diǎn)在丿軸上標(biāo)準(zhǔn)方程2 2篤+討1 a b2 2書(shū)+討1a b圖形yM亠I-y0 Fy）兀0 ”焦點(diǎn)坐標(biāo)(±c, 0)(0, 土c)a, b, c的關(guān)系a2=b2+c2點(diǎn)M在橢圓上IMFil + IMF2l=2a溫馨提示橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)(1)相同點(diǎn)：它們的大小和形狀都相同，都有a>b>0 ;a2 = b2 + c2 ,焦距都是2c ,橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和 均為2a.(2)不同點(diǎn)：兩類(lèi)橢圓的焦點(diǎn)位置不同，即焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸

3、不同，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同.思考嘗試夯基1.已知橢圓的焦點(diǎn)為(一1，0)和(1, 0),點(diǎn)P(2, 0)111在橢圓上，則橢圓的方程為(111）解析：c = l, °=孰（2+1） 2+0+P（21） 2+0=2,所以 b2=a2c2答案：A2 2,橢圓的方程為專(zhuān)+葺=1Ill*2Ill2.橢圓后+丿2=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A. 5B. 6C. 7D. I解析：由橢圓定義知點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是103.已知Fi，巧是定點(diǎn)，IFiF2l=8,動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足IMF)+ IMF2I=8,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(A.橢圓B.直線(xiàn)D.線(xiàn)段解析：因?yàn)镸Fil +

4、 IMF"IF/,所以點(diǎn)M的軌跡是線(xiàn)段FiF2.答案：D1114.已知橢圓焦點(diǎn)在兀軸上，且a=4, c=2,則橢圓方程為解析：依題意2=16, b2=a2-c2=164=12f 又2 2焦點(diǎn)在兀軸上，所以橢圓方程為話(huà)+臺(tái)=1答案:16+12=1=1的焦距等于2,則加的值是解析：焦點(diǎn)在工軸上時(shí),/« - 15 = l=>/n = 16 ；焦點(diǎn)在y軸上時(shí) ,15 - zw = l=>m = 14.答案：16或14核心突破講練互動(dòng)類(lèi)型1橢圓定義的應(yīng)用（自主研析）典例1橢圓=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（A. 5B. 6C. 4D. 10解

5、：由于點(diǎn)P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2« =10，故 10 5 = 5.答案：A橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若IMFjl + MF2 =2a(2a > IFI),則點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.(2)橢圓的定義能夠?qū)σ恍┚嚯x進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過(guò)程因此，解題過(guò)程中遇到涉及曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn) 的距離問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解.變式訓(xùn)練尸2是橢圓園的焦點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn)，則APFiF2的周長(zhǎng)為（A. 16 B. 18 C. 20 D.不確定解析：PFH 的周長(zhǎng)為 IPFil + PF2 += 2a +所以周

6、長(zhǎng)為10 +答案：B類(lèi)型2利用橢圓的定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例2已知圓A： (x+3)2+/=100,圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3, 0),圓P過(guò)B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡til111方程.解：設(shè)圓P的半:又圓P過(guò)點(diǎn)B ,所以PB=r , 又因?yàn)閳AP與圓A內(nèi)切,圓A的半徑為10 所以?xún)蓤A的圓心距IB4l = 10 -r ,即IB4I + PB = 10（大于IABI）.所以點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓.所以 2« = 10 , 2c = IABI = 6 ,河ftt = 5 f c = 3.所以方2*2. c2 = 25 9 = 162 2即點(diǎn)P的軌跡方程為言+話(huà)定義法求欄圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1

7、.先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)具有的條件，驗(yàn)證是否符合橢圓的定義，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是否是一常數(shù)，且該常數(shù)（定 值）大于兩定點(diǎn)間的距離.2.若符合，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，且兩定點(diǎn)間的距離為焦距力，距離之和是常數(shù)加.從而可以確定橢圓的方變式訓(xùn)練如圖，在圓G (x+1)2+/=25內(nèi)有一點(diǎn)A(l, 0), 0為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線(xiàn)與C, Q的連線(xiàn)交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程.解:由題意,知點(diǎn)M在線(xiàn)段C0上,所以 IC0I = MQ + MC. 因?yàn)辄c(diǎn)M在A0的垂直平分線(xiàn)上,所以 MA = MQ 所以 IMA I + MC = CQ = 5.因?yàn)?A(1 , 0) , C( - 1 , 0),所以點(diǎn)M的軌跡是

8、以(1 ,0) ,(- 1 ,0)為焦點(diǎn)的橢圓 且2« = 5.所以a = | , c = 1 ,滬=/ . /二孚1 =乎.2 2故點(diǎn)M的軌跡方程為言+ 21 = 1-審題指導(dǎo)：由余弦定理結(jié)合橢圓的定義求出IPFil,再代入三角形的面積公式求解規(guī)范解答由已知“=2, b=書(shū), 得0=也2_方2=寸4_3=, IFiF2I=2c=2.在PF1F2中，由余弦定理，得 PF22=IPF112+IFiFzl2 - 2PFr IIF1F2I cos 120°, 即 IPF2卩=IPFil2+4+2IPFil,由橢圓定義，得IPFil + lPF2l=4,gpiPF2l=4-IPFi

9、l.代入解得1"11=畧所以SAPFlF2=PFl IF/ sin 120°=|x|x2XBP APF1F2的面積是歸納升華 對(duì)于橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，尸2構(gòu)成的FiPF29求其三角形的面積時(shí)注意整體思想的應(yīng)用，如已知ZF1PF2，可利用S=absin CffilPFil IPF2I看成一 個(gè)整體，運(yùn)用公AIPFiI2+IPF212=(IPFiI + IPF2I)2- 2IPF1IPF2R余弦定理求出IPFilIPF2I,而無(wú)需單獨(dú) 求出LPFil和IP/Q，這樣可以減少運(yùn)算量.變式訓(xùn)練將典例中的“ZPFiF2=120。"改 為 “ZFiPF2=60&#

10、176; ”，求PFg 的面積.解：由已知a=2, b=,得 c=la2b2=寸 4_3=1.所以IFiF2l=2c=2,在PF1F2中，由余弦定理得 FxF22=PFXI2+IPF2I2-2IPFjIPF21 cos 60° , 即 4=(IPFi I + IPF2I)2-2IPFiIIPF2I 一2IPF1I PF2 cos 60° 所以 4=16-3IPFiIIPF2I.所以 11=4.所以SAPF1F2=|lPF1IIPF2l sin 60° =|x4X=/3.類(lèi)型4由標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)的取值范圍（誤區(qū)警示）2 2典例4若方程苣兀+芝=1表示橢圓,求&

11、的取值范圍.易錯(cuò)提示：解答本題易忽略橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a>b這個(gè)條件，當(dāng)a = b時(shí)，方程并不表示橢圓.防范措施:橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，分母都大于零且不相等,在解題時(shí)，不僅要注意分母都大于零，還要注意分母相等時(shí)該方程就變成了圓的方程.5 - A: > 0 ,解：由題意可知泌3>0 , 解得3vv5且疋工45 - k主k - 3 ,類(lèi)題嘗試若方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的求疋的取值范圍.解：原方程可化為y+=l.因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在y軸上的橢圓，所以2 解得0 VA：V1.故氐的取值范圍是(0 , 1).課堂小結(jié)1 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fi, F2的距離之和為常數(shù),即IMFilMF2=2a.當(dāng)2a>IF/2l時(shí)，軌跡是橢圓;(2) 當(dāng)2a = IFxF2咐，軌跡是一條線(xiàn)段Fi"(3) 當(dāng)2aVIF/2l時(shí)，軌跡不存在.2. 求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法：可以通過(guò)待定系數(shù)